【正文】 模型，要引起重視并注意應(yīng)用。綜上所述：函數(shù) 在 和 上分別為增函數(shù)，在,ba?????????fx,a????????,??????和 ,??,0????【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。設(shè) ， 由于 故當(dāng)120?????12121axbfxf???12? 時(shí) ，此時(shí)函數(shù) 在 上增函數(shù)，同理可12,bxa?????????120ff?f,a???????證函數(shù) 在 上為減函數(shù)。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是12,xD?????1212ffffx??12,函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。0,bfax??【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。1()()fbafb???【練 6】 （1） （99 全國(guó)高考題）已知 ，則如下結(jié)論正確的是（）()2xef??A、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函數(shù)??fx ??fC、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函數(shù)x答案：A（2） （2022 天津卷）設(shè) 是函數(shù) 的反函數(shù)，則使 成立的??1fx?????112xfa?????1fx??的取值范圍為（）A、 B、 C、 D、x2(,)a??(,)2(,)a(,)a??答案：A （ 時(shí)， 單調(diào)增函數(shù)，所以 .）1???fx??????211 1fxfxffa?? ?????【易錯(cuò)點(diǎn) 7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。 （4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。 （2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。故 分別在 和 上分別??f1,2????????,?????????1fx??0,???,0?為增函數(shù)。??解析： ，故 為奇函數(shù)從而 為212121logllogxxxf??????????ffx??1fx?奇函數(shù)。【思維分析】可求 的表達(dá)式，再證明。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。??fx??fxf?或 ??fxf?常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。??2lgfx???fxf?【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。??2lg1()xf??【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù) 為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。y1?【練 4】 （2022 高考福建卷）已知函數(shù) y=log2x 的反函數(shù)是 y=f1(x)，則函數(shù) y= f1(1x)的圖象是（）答案：B【易錯(cuò)點(diǎn) 5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。正確答案：B1yf??g【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù) 與函數(shù) 并不互為反函數(shù)，他只是表示??1yfx????1yfx??中 x 用 x1 替代后的反函數(shù)值。【練 3】（2022 全國(guó)理）函數(shù) 的反函數(shù)是（）????1fxx????A、 B、21yx????2y3C、 D、 ??21yx?????21yx???答案：B【易錯(cuò)點(diǎn) 4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位例 已知函數(shù) ，函數(shù) 的圖像與 的圖象關(guān)于直線??1xf???ygx??1yfx??對(duì)稱，則 的解析式為（）yx?ygA、 B、 C、 D、??32xg???2x????2x???32gx?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由 與 互為反函數(shù)，而認(rèn)為y1yf?的反函數(shù)是 則 = = 而??1yfx????fx??gxf??13x??錯(cuò)選 A。解析：（1）利用 （或 ）求得 a=1.??0fxf???0f（2）由 即 ，設(shè) ,則 由于 故 ，a?21xf??yfx?21xy???1y?2xy???，而 所以12logyx????21xf ?,x?????112logxf????【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 （1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)?R 可省略） ?！揪?2】 （05 高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線 上變化，則 的最大值為214xb????0?2xy?（）（A） （B） （C） （D）??240b?????????20b??????24b答案：A【易錯(cuò)點(diǎn) 3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。故 x2+y2的取值范圍是[1, 3283838]【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件 對(duì) x、y 的限制，??214x??顯然方程表示以（2，0）為中心的橢圓，則易知3≤x≤1， 。例 已知 ,求 的取值范圍??214yx??2xy?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y 滿足 這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。答案： 或 。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用。將集合所表?????22,|34Bxyyr???0?AB??達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合 A 表示以原點(diǎn)為圓心以 2 的半徑的圓，集合 B 表示以（3，4）為圓心，以 r 為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑 r 的取值范圍。3?510,35??????328?【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 （1）在應(yīng)用條件 A∪B＝Ｂ A∩B＝Ａ Ａ Ｂ時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，?將集合Ａ是空集 Φ 的情況優(yōu)先進(jìn)行討論．（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。解析：集合 A 化簡(jiǎn)得 ，由 知 故（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，即方程3,5????無解，此時(shí) a=0 符合已知條件（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，即方程 的解為 3 或 5，代入得10ax?B??10ax?或 ?！疽族e(cuò)點(diǎn) 1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。1高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的 66 個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)。例 設(shè) ， ，若 ，求實(shí)數(shù) a 組成的集??2|8150Ax??????|10Bxa??AB??合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件 易知 ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極?A?易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的 a 值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。綜上滿足條件的 a 組成的集合為 ，故其子集共有 個(gè)。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如： ，????2,|4Axy???，其中 ,若 求 r 的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。【練 1】已知集合 、 ，若 ，?2|40Ax??????22|10Bxax????A?則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 。1a??【易錯(cuò)點(diǎn) 2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。??2y2解析：由于 得(x+2) 2=1 ≤1，∴3≤x≤1 從而 x2+y2=3x216x12=??214yx??4y+ 因此當(dāng) x=1 時(shí) x2+y2有最小值 1, 當(dāng) x= 時(shí)，x 2+y2有最大值 。此外本題還可通過三角換元2y??轉(zhuǎn)化為三角最值求解。例 是 R 上的奇函數(shù)， （1）求 a 的值（2）求的反函數(shù)??21xaf???? ??1fx?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。（2）應(yīng)用 可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和()()fbafb???函數(shù)值要互換。解析：由 得 從而 再求??21fx???12fx???????121yfxx???的反函數(shù)得 。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè) 則??1f? ??1yfx??，y?再將 x、y 互換即得 的反函數(shù)為 ，故??1xf????1fx????1yfx??的反函數(shù)不是 ，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。4例 判斷函數(shù) 的奇偶性。??2lg1()xff?????fx解析：由函數(shù)的解析式知 x 滿足 即函數(shù)的定義域?yàn)?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，210?????????1,0,??在定義域下 易證 即函數(shù)為奇函數(shù)。（2）函數(shù) 具有奇偶性，則 是對(duì)定義域內(nèi) x 的恒等式?！揪?5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：① ② ③??244fxx?????1xfx?????1sincoxf???答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn) 6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。例 函數(shù) 的反函數(shù)為 ，證明 是奇函數(shù)且??211log2xf x???????????或 ??1fx???1fx?在其定義域上是增函數(shù)。若注意到 與 具有相同的單調(diào)性和奇偶性，1fx? 1f?f只需研究原函數(shù) 的單調(diào)性和奇偶性即可。又令 在 和 上均為增函數(shù)且 為增函數(shù)，tx,???????,??????2logty?故 在 和 上分別為增函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。 （3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。即 5。例 試判斷函數(shù) 的單調(diào)性并給出證明。特別注意定義中的 的任意性。解析：由于 即函數(shù) 為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)fxf??f ??fx0,??性即可。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在 為減函數(shù)，在??f0,?? ,0b???為增函數(shù)。6（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式： 在 上是增函數(shù) ， 在??fx??,ab??120fxf?????fx上是減函數(shù) ，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩??,ab??120fxf???點(diǎn) 連線的斜率都大于（小于）零。但注意本題中?0,bax???不能說 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù),??f,?????????,ba????????0,ba???????0???????在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“∪”和“或”，【練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題） （1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù) 在????xfx?????fx上的單調(diào)性。??0,?0??ga??yga?答案：（1）函數(shù)在 為增函數(shù)在 為減函數(shù)。 （1）求 a 的值（2）試判斷函數(shù)在0???xef??上的單調(diào)性并給出證明。例 （2022 全國(guó)高考卷）已知函數(shù) 上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍。3fx?230fx???解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1）當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)，則??26a????????fx故 解得 。 （3）當(dāng) 時(shí)，??332189fxxx???????????? a??在 R 上存在一個(gè)區(qū)間在其上有 ，所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 不是減函數(shù)，綜上，所求 a??0f??a???fx的取值范圍是 。如函數(shù)0)(??xf)(f 0)(??f)(xf在 上單調(diào)遞增，但 ，∴ 是 為增函數(shù)的充分不必要3?,?????0??)(xf條件?！喈?dāng) 時(shí)，0x)(xf 0)(??xf是 為增函數(shù)的充分必要條件。當(dāng)函數(shù)?? x0)(??xf)(??xf在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。在解題中誤將必要條件作充分3a???條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性。 （提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知 ，但 是函數(shù)在 上遞減，12k???20f???0f????1,在 上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由 求出 K 值后要檢驗(yàn)。8例 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。因此，8 不是最小值。5a5【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。固定部分為 a 元。ba【易錯(cuò)點(diǎn) 10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致 a 的范圍擴(kuò)大。故有 解得 a1。 不等式組無解?！揪?10】 （1） （黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè) ，且 試求函數(shù) 的的單調(diào)0a?1?2log43ayx???區(qū)間。3,42??????（2） （2022 高考天津）若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，則?????3log0,1afxxa????(,0)2?的取值范圍是（）A、 B、 C、 D、a1[,)4[,1)49(,)4??91,4答案：B.（記 ，則