【正文】 (1 ) (1 )(1 ) ( ) (1 )( 2 ) ( 2 3 1 ) ,t O C t t O B t O At O C t t O A O C t O At t O C t t O A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 把 ? ? ? ?2 ,1 , 2 ,1O A O C? ? ?代入，得 ? ? ? ?? ? ? ?222 2 22 ( 2 ) 2 ( 2 3 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 , 2 , 0 , 1 ,( 2 ) ( 2 3 1 ) ( 1 2 ) 0 , 1 , 0 , 1 .x t t t t t ty t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? 消去參數(shù) t ，得 ? ?2 , 2, 24xyx? ? ? ． 注： 這就把一道高考題化歸為課本的例題了，其主體是向 量 運(yùn) 算 ． 如 果 一 開 始 就 把 , OAOC 表 示 為 單 位 向 量? ? ? ?1, 0 , 0,1ij??，那書寫還可以連貫． 解法 2 設(shè) ? ? ? ?1, 0 , 0,1ij??，由已知有， 2 , 2 , ,O A i j O C i j O B j? ? ? ? ? ? ? 進(jìn)而由人教版高中課本 109p? 例 5，有 (1 )(1 ) ( 2 )( 2 2 ) (1 2 ) ,O D tO B t O At j t i jt i t j? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 同理 (1 ) ,OE t OC t OB? ? ? ( 2 ) (1 2 )t i t j? ? ? ? ， 2( 1 )( 2 ) ( 1 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 2 )2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ,O M t O E t O Dt t i t j t t i t jt i t j? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?得 ? ? ? ?? ? ? ?22( 1 2 ) 2 , 2 , 0 , 1:( 1 2 ) 0 , 1 , 0 , 1x t tMy t t? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? 消去參數(shù) t ，得 ? ?2 , 2, 24xyx? ? ? ． 圖 6 注： 這個(gè)方法很容易得出推廣 . 若 22,O A i j O C i jkk? ? ? ? ?則 22 (1 2 ),(1 2 ) ,xtM kyt? ????????得 2 2 22,4ky x x kk??? ? ?????。 (2)課本是高考命題的基本依據(jù)。 21 案例 1— 2022 陜西理 2 的討論 知識(shí)基礎(chǔ) 例 1 復(fù)數(shù) 2(1 )1 ii?? 等于 （ A） 1i? （ B） 1i? （ C） 1i?? （ D） 1i?? 解法 1：先處理分母 ? ?? ? ? ?22 (1 ) 1(1 ) 11 1 1iii ii i i??? ? ? ? ? ?? ? ? 解法 2：先處理 分子 2(1 ) 2 1 11 1 1i i i ii i i??? ? ? ? ?? ? ? 解法 3：分子分母乘以 i 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 (1 ) 1i i i i i iii i i i? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 解法 4：分母提取 i ? ?22(1 ) (1 ) 1 111i i i ii i i i? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 解法 5：分子提取 i ? ?22 ( 1 )(1 ) ( 1 )11iii iiii??? ? ? ? ??? 解法 6：用恒等式 ? ? ? ?221 1 0ii? ? ? ? 解法 7：用 i 的定義， 1111iii ii?? ? ??? 解法 8：倒推，把四個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證（結(jié)論也是已知信息） （ A） ? ? ? ?221 1 ?ii? ? ? （ B） ? ? ? ?? ?21 1 1 ?i i i? ? ? ? （ C） ? ? ? ?2211ii? ? ? ? （ D） ? ? ? ?? ?21 1 1 ?i i i? ? ? ? ? 解法 9：輻角象限的直觀選擇（結(jié)論也是已知信息） 解法 10 ?? 22 案例 2— 2022 陜西理 8 的討論 邏輯基礎(chǔ) 例 1 已知不等式 ? ? 1 9axyxy??? ? ?????對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,xy恒成立，則正實(shí)數(shù) a 的最小值為 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 這是一道不等式恒成立的參數(shù)確定問題，結(jié)論似乎不難得出，但解題依據(jù)卻未必能說清楚． 221 多種解法的思考 解法 1 條件變形后，應(yīng)用二元均值不等式 . ? ? 1 axy xy???????? ① 112y axaxyaa? ? ? ?? ? ? ? ?21,a?? ② 于是，只要 ? ?219a? ? ?4a? ，得 a 的最小值為 （ B） . 解法 2. 條件變形后，應(yīng)用三元均值不等式 . ? ? 11axyxyy axaxy????????? ? ? ? 313 y axa xy? ? ? ? ③ 3 21 3 ,a?? ④ 于是，只要 3 2 161 3 9 6 ,9aa? ? ? ?得 a 的最小值為163,9 選擇支無一為所求 . 解法 3 條件變形后，應(yīng)用四元均值不等式 . ? ? 11axyxyy axaxy????????? ? ? ? 4414,y axaxya? ? ? ?? 于是，只要 814 9 ,16aa? ? ?得 a 的最小值為 81 16? 選擇支無一為所求 . 解法 4 應(yīng)用二元均值不等式消去 ,xy，有 ? ? 1 2 2 4 ,aax y x y ax y x y??? ? ? ? ????? 于是，只要 814 9 ,16aa? ? ? 得 a 的最小值為81 16? 選擇支無一為所求 . 解法 5 由 ? ? 1 9axy xy??? ? ????? 22 9x y y ax ax y x y? ? ? ? ? 22 8,a x y a x y x y? ? ? ? 得等號(hào)成立的條件是 22 2,2 8 ,a x y a x yaa? ???????? 解方程得 4a? ，得 a 的最小值為 4. 選（ B） . 解法 6 同上有 22 8ax y ax y x y? ? ? 2 2 2 233ax y ax y ax y ax y? ? ? 得 3 2 163 8 69aa? ? ? 222 思考：錯(cuò)在那里？原因是什么？ （ 1）選擇支設(shè)計(jì)的典型性： 2， 6， 8 是本題的典型錯(cuò)誤嗎？ （ 2）為什么用不同的均值不等式會(huì)得出不同的結(jié)果？哪些解法是對(duì)的？哪些解法是錯(cuò)的？ （ 3）對(duì) ? ? ? ?f a g a? 能否說當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí) ??fa取最小值 .？為什么由 ? ? 1 axy xy???????? ≥ ? ?21 a? ， 能推出 ? ?21 a? ≥ 9？ （ 4）不等式 ? ? 1 axy xy???????? ≥ ? ?21 a? ， ? ? 1 axy xy???????? 313 y axa xy? ? ? ? 3 21 3 ,a?? ? ? 1 axy xy???????? 441 y axa xy? ? ? ? 4,a? 能取等號(hào)碼？對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,xy恒成立嗎？ （ 5）設(shè) y t y txx ? ? ? ，有 ? ? 1 axy xy???????? 1()(1 ) 11,ax txx txattaatt??? ? ???????? ? ?????? ? ? ? 一般地，函數(shù) ? ? 1 ag t a t t? ? ? ?的最小值與定義域有關(guān) .請思考 例 2 ? ? 221xcfx xc??? ?（ c 為非負(fù)常數(shù)）， ? ? 2211xcfx x??? ?（ c 為非負(fù)常數(shù) 的最小值？ 223. 解法 解法 7 轉(zhuǎn)化為 ? ? 1m in 9axyxy????? ? ?????????.由條件變形后配方有 ? ? 1 axy xy???????? ? ?2211y axaxyy axaxy? ? ? ???? ? ? ????? ? ?21,a?? 當(dāng) y ax y a xxy? ? ?時(shí)，函數(shù) ? ?,F xy =? ? 1 axyxy????????取到最小值? ?21,a? 故有 ? ?219a?? ， 得 4a? ，故 a 的最小值為 （ B） . 說明 這個(gè)解法的實(shí)質(zhì)步驟是用二維柯西不等式求? ? 1 axy xy????????的最小值 . 解法 8 轉(zhuǎn)化為 ? ?? ?224 4 .xya m a xx x y?????? ? ?????? 由 ? ? 1 9axyxy??? ? ????? ? ? ? ?? ?22 28 4 xyx y yax x y x x y??? ? ? ??? 得，不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,xy恒成立，因而 ? ?? ?224 4 .xya m a xx x y?????? ? ?????? 當(dāng) 2yx? 時(shí)，正實(shí)數(shù) a 取最小值 4. 選（ B） . 解法 9 由 ? ? 1 axy xy????????1 y axa xy? ? ? ? 把 2,4,6,8a? 依次代入 221 2 3 3 2 2y x y xx y x y? ? ? ? ? ? ? ? 不能對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,xy恒大于 9（ 2yx? 就不成立） . 441 4 5 5 4y x y xx y x y? ? ? ? ? ? ? ?， 可以保證對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,xy恒大于 9. 故得 a 的最小值為 4. 選（ B） . 23 案例 3— 2022 陜西理 19 的討論 模式識(shí)別 這是一道常規(guī)立體幾何題，對(duì)學(xué)生來說情境并不陌生，課本有這樣的原型（人教版《 數(shù)學(xué)》第二冊下 A 第 40 頁），近年高考有 “形似題”．它的求解體現(xiàn)了高考解題的基本策略 (模式識(shí)別 )： ●化歸為課本已經(jīng)解決過的問題 . ●化歸為往屆高考題 . 例 1 如圖 1， , , , ,l A B? ? ? ? ? ?? ? ? ?點(diǎn) A 在直線 l 上的射影為 1A ，點(diǎn) B 在直線 l 上的射影為 已知2AB? ， 111, 2AA BB??，求： （ 1）直線 AB 分別與平面 ,??所成角的 大小； 圖 1 （ 2）二面角 11A AB B??的大小 . 這道題目的一個(gè)突出特征是垂直：條件中，平面是互相垂直的（ ??? ），射影也源于垂直（ 11,AA l BBl? ）；結(jié)論中，線面所成的角依賴于線面垂直，面面所成的角依賴于線面垂直或線線垂直 .為什么高考立體幾何題這么喜歡垂直呢？我們認(rèn)為這與立體幾何的學(xué)科特點(diǎn)有關(guān)． 23 1 立體幾何解題要抓垂直 從學(xué)科特點(diǎn)和高考命題上分析，垂直都是解立體幾何題的一個(gè)關(guān)鍵突破 口，可以從三個(gè)方面提出論據(jù)． （１）垂直是立體幾何核心知識(shí)中的核心． ●一方面它是定義立體幾何新概念的重要工具．