【正文】 hat at all times ????? 21 tt （ 1） At any given time, the two bodies are said to be in contact along a subset C of their boundaries if, and only if, ???????? Ctt :21 (2) It follows from the above defiion that the boundary of each body can be uniquely deposed into three mutually exclusive regions according to Cqut ??????? ??? Where Dirichlet and Neumann boundary conditions are enforced on ?u? and ?q? , respectively. Although not explicitly noted, it should be clear from the above that ?u? , ?q? and C generally depend on time. Gap functions )(?g , possibly multivalued, can be defined on the boundary of each body as follows: for each 22 tx ??? , ?????? ?12)1( : ttg is given by 112)1( )( nxxg ??? （ 2a） Where )。 A NOVEL FINITE ELEMENT FORMULATION FOR FRICTIONLESS CONTACT PROBLEMS 7 SUMMARY This article advocates a new methodology for the finite element solution of contact problems involving bodies that may undergo finite motions and deformations. The analysis is based on a deposition of the twobody contact problem into two simultaneous subproblems, and results naturally in geometrically unbiased discretization of the contacting surfaces. A proposed twodimensional contact element is specifically designed to unconditionally allow for exact transmission of constant normal traction through interacting surfaces. KEY WORDS frictionless contact。 因此，一般情況下在 )(?C 上的數(shù)值積分是不準確的，所有的引入錯誤的積分規(guī)則直接影響到用公式的確切表示。不考慮離散化使用空間的元素（例如三角形的三個定點和四邊形的四個點）的線性規(guī)則。這種收斂性分析，目前盡管并不適用于這里的兩體接觸問題的動非線性這方面，但是它為可允許區(qū)域的選擇提供了一個準則。 有限元區(qū)域 在這節(jié)中假設一個具體的接觸有限元是建立 在方程式 (10a) 的 (12)的基礎上。這里目的不是設法回避這個問題，盡管它的結果不可忽略，特別是在滾動問題中。因此每個接觸單元 )(?eC 在接觸面 )(?C 上的立體空間元素與其對立面相聯(lián)系。 撇開推行細節(jié)，接觸面 )1(C 是被一系列正常的從1t?? 到 2t?? 的投影（ 不定靠近點）所離散，如圖表 2 中所示。這里待確定的兩個關鍵問題是接觸單元 的幾何作圖和有限元近似值的可允許區(qū)域的選擇。 這里提出的事態(tài)發(fā)展可以很容易地 靠歸納兩體問題擴展到 多體接觸問題 。在提出的明確表達中關鍵的一步是 (10a) 和 (10b),易于接受的規(guī)則化的罰數(shù)的引入，例如 ???? )()( ?? ? gp 由 (12)，等式 (10a)可以寫為 5 }:{ )(2 1 ???? ???? ? dtwdvbwpdvtdi v w q xtt nxxx ??? ? ? ??? ? ???? 0)2()1( 22)2(11)1( ??????????? ?? CC dnwgdnwg ???? (13) 上面的 (13)中的任意兩個積分在形式上是相同的， 即積分邊界來源于一個新問題的規(guī)則化罰數(shù)。約束條件 (4d)是無約束的（因此允許受約束的滲透來替代）替代區(qū)域是確定的，則有 ???? ? ??????????? ? ??? ? Cnxxx dynwwgdtwdvbwpdvtdi v w q xtt 0)(}:{ 221)(2 1 ????? ???? ? (11) 在約束條件下，原始的無約束問題等同與一個凸面的最小化問題 ，序列的解決方案 ??u 當 ??? 時表明收斂是約束問題的解決方案 (5).12 實踐中，罰數(shù)方法成功的用在平衡狀態(tài)下與最小總勢能不相關的情況下 。 當 . (9)式的推導用下面的程序，等式 (5a) 和 (5b)被記作 ???? ? ??????? ? ??? ? 0}:{ )()(2 1 dynwpdtwdvbwpdvtdi v w xxnxxx q xtt ????? ? ???? (10a) ? ?? ??2 1 )( 0)(? ? dynXq xxC x (10b) 當 )2()1( qq ? ，對所用可容許的 ?w 和 )(?q 都適用。 4 整式 (9)表明，在每個物體的范圍內(nèi)，適當?shù)慕o定一個 拉 格朗日區(qū)域 )(?p ， (5b)可以在每個接觸面上分別作用。而且由于 0)( ??pg on ?t?? (8) 不等式 (5b)是從 (4d)的形式中得到的，而且假定 q 是非負的。 為了證明方程式 (5a)的正確性，把這項工作看做是允許函數(shù) 1w 和 2w 上沿 C 的觸點壓力，即為 ? ? ??????? C Cc dnwwpdnwwpW ?? 221121 )()( (6) 在 C 上，在沒有摩擦和回顧時 21 nn ?? ，柯西引理應力矢量意味著 12 )(1 )( :21 pntt nn ???? (7) 借助于方程 (7)，方程 (6)可寫為 ?? ??????? CCc dynwwpdynwwpW 221121 )()( 這表明 拉 格朗日乘數(shù)區(qū)域是自然等同于正常的在接觸范圍內(nèi)的牽動引力（壓力）。在大部分的缺失 )2(g 不被用在 方程 (5a)中時，則不連續(xù)函數(shù)定義在 C 上。 在不存在慣性效應時，方程式的局部形式控制著如下給出的每個物體的運動， div 0?? ??? ? bt in ?t? (4a) ?? ??uu on ?u? （ 4b） ??? ?ntnt ? on ?q? (4c) 0)( ??g on ?t? (4d) 當 ?t 是克西的應力張量， ?? 是質(zhì)量密度， ?b 是每單位質(zhì)量的質(zhì)量力， ?u 是法定的界壁位移， ??nt是在 ?q? 上的法定牽引向量。()。( 2122 nxxx ? 滿足 0)( 221 ??? nxx 。 1?? 的凸面性使)1(g 的值是惟一的，盡管有如此的一個幾何條件的限制也不能強加在開端。 不連續(xù)函數(shù) )(?g ，可能是多值的，每個物體的邊界按照如下的定義：對每一個22 tx ??? ， ?????? ?12)1( : ttg 是給定的為 112)1( )( nxxg ??? （ 2a） 當 )。這意味著這兩機構問題一直有 ????? 21 tt （ 1） 在任何給定的時間上，所說的這兩個機構都與它們的邊界子集 C 有聯(lián)系，當且僅當 ???????? Ctt :21 (2) 根據(jù)上面的定義，每個物體的定義可以被唯一 的分為三個相互排斥的區(qū)域 ，根據(jù)下面的式子 Cqut ??????? ??? 當?shù)依锟巳R和諾艾曼邊界條件 分別地 被強加在 ?u? 上 ?q? 。并且 ?t?? 的外在的單位標準記作 ?n 。 假定至少在 ?? 內(nèi)，映射 ?? 在定義域內(nèi)是連續(xù)和可轉置的。至少有一個物體是假定可變的。在第 5 節(jié)中，給出了結束的評論。 接觸力學的一個簡潔的闡述在第 2 節(jié)中出現(xiàn)，特