【正文】 方向與拋物線 y=ax2 相同． 注意： 二次函數(shù) y=ax2 與 y=－ ax2 的圖像關(guān)于 x 軸對稱。 2 解題小訣竅： 二次函數(shù)上兩點(diǎn)坐標(biāo)為（ yx,1 ），（ yx ,2 ），即兩點(diǎn)縱坐標(biāo) 相等，則其對稱軸為直線2 21 xxx ??。 ⑵ 二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 的圖象是一條拋物線．頂點(diǎn)為（－ 2ba ， 244acba? ），對稱軸 x=－ 2ba ；當(dāng) a＞ 0 時，拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，且 x＞－ 2ba ， y 隨 x 的增大而增大， x＜－ 2ba ， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng) a＜ 0 時，拋物線開口向下，圖象有最高點(diǎn)，且 x＞－ 2ba ， y 隨 x 的增大而減小， x＜－ 2ba ， y 隨 x 的增大而增大． 注意： 分析二次函數(shù)增減性時，一定要以對稱軸為分界線。 中考要求 ： 1．經(jīng)歷 探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法描述變量之間的數(shù)量關(guān)系． 2．能用表格、表達(dá)式、圖象表示變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，發(fā)展有條理的思考和語言表達(dá)能力；能根據(jù)具體問題，選取適當(dāng)?shù)姆椒ū硎咀兞恐g的二次函數(shù)關(guān)系． 3．會作二次函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象對二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，逐步積累研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)． 4．能根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式確定二次函數(shù)的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 5．理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，并能利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根． 6．能利用二次函 數(shù)解決實(shí)際問題，能對變量的變化趨勢進(jìn)行預(yù)測． 二、中考卷研究 (一 )中考對知識點(diǎn)的考查： 202 2022 年部分省市課標(biāo)中考涉及的知識點(diǎn)如下表 : 序號 所考知識點(diǎn) 比率 1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ~3% 2 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的 關(guān)系 6% 3 二次函數(shù)解析式的求法 ~% 4 二次函數(shù)解決實(shí)際問題 8~10% (二 )中考熱點(diǎn)： 二次函數(shù)知識是每年中考的重點(diǎn)知識，是每卷必考的主要內(nèi)容，本章主要考查二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用，這些知識是考查學(xué)生綜合能力，解決實(shí)際問題 的能力．因此函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是中考的熱點(diǎn)，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點(diǎn)問題． 三、中考命題趨勢及復(fù)習(xí)對策 二次函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，題量約占全部試題的 10％～ 15％，分值約占總分的 10％～ 15％，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現(xiàn)了設(shè)計新穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數(shù)應(yīng)用題，這部分試題包括了初中代數(shù)的所有數(shù)學(xué)思想和方法，全面地考查學(xué)生的計算能力，邏輯思維能力，空間想象能力和創(chuàng)造能力。 針對中考命題趨勢，在復(fù)習(xí)時應(yīng) 首先理解二次函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)和圖象，還應(yīng)注重其應(yīng)用以及二次函數(shù)與幾何圖形的聯(lián)系，此外對各種函數(shù)的綜合應(yīng)用還應(yīng)多加練習(xí) . 考點(diǎn) 1：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 一、考點(diǎn)講解 ： 1．二次函數(shù)的定義：形如 cbxaxy ??? 2 （ a≠ 0， a， b， c 為常數(shù)）的函數(shù)為二次函數(shù)． 2．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)： ⑴ 二次函數(shù) y=ax2 (a≠ 0）的圖象是一條拋物線，其頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是 y 軸；當(dāng) a＞ 0 時，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；當(dāng) a＜ 0時，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)； a 越小，拋物線開口越大． y=a(x－ h)2＋ k 的對稱軸是 x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ h， k）。首先要看所要分析的點(diǎn)是否是在對稱軸同側(cè)還是異側(cè)，然后再根據(jù)具體情況分析其大小情況。 ⑶ 當(dāng) a＞ 0 時，當(dāng) x=－ 2ba 時，函數(shù)有最小值 244acba? ；當(dāng) a＜ 0 時，當(dāng) x=－ 2ba 時，函數(shù)有最大值 244acba? 。平移的簡記口訣是“ 上加下減，左加右減”。 cbxxy ???? 2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ 2， － 1），則 b=_______， c=_______。 當(dāng) m 的值變化時， x、 y 的值隨之變化，因而 y 值也隨 x 值的變化而變化，將③代人④，得 y=2x— 1l⑤．可見，不論 m 取任何實(shí)數(shù)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 和橫坐標(biāo) x 都滿足 y=2x－ 1，回答問題：（ 1）在上述過程中，由①到②所用的數(shù)學(xué)方法是 ________，其中運(yùn)用了 _________公式，由③④得到⑤所用的數(shù)學(xué)方法是 ______；（ 2）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線 222 2 3 1y x m x m m? ? ? ? ?頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo) x 之間的關(guān)系式 _________. 14 拋物線經(jīng)過第一、三、四象限，則拋物線的頂點(diǎn)必在（ ） A．第一象限 B．第二象限 yO x3 x=1 4 C．第三象限 D．第四象限 15 已知 M、 N 兩點(diǎn)關(guān)于 y 軸對稱，且點(diǎn) M 在雙曲線 y= 12x 上，點(diǎn) N 在直線 y=x+3 上，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (a， b)，則拋物線 y=－ abx2+(a＋ b） x 的頂點(diǎn)坐標(biāo) 為 ___. 16 當(dāng) b＜ 0 時，一次函數(shù) y=ax+b 和二次函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c 在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是圖 1－ 2－ 9 中的（ ） 考點(diǎn) 2：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系 一、考點(diǎn)講解： a 的符號： a 的符號由拋物線的開口方向決定．拋物線開口向上，則 a＞ 0；拋物線開口向下，則 a＜ 0． b 的符號由對稱軸決定，若對稱軸是 y 軸，則 b=0；若拋物線的頂點(diǎn)在 y 軸左側(cè)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)－ 2ba ＜ 0，即 2ba ＞ 0，則 a、 b 為同號 ；若拋物線的頂點(diǎn)在 y 軸右側(cè)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)－ 2ba ＞ 0，即 2ba ＜ 0．則 a、 b 異號．間“左同右異”． 3． c 的符號： c 的符號由拋物線與 y 軸的交點(diǎn)位置確定．若拋物線交 y 軸于正半，則 c＞ 0，拋物線交 y 軸于負(fù)半軸．則c＜ 0；若拋物線過原點(diǎn)，則 c=0． 4． △ 的符號： △ 的符號由拋物線與 x 軸的交點(diǎn)個數(shù)決定 ．若拋物線與 x 軸只有一個交點(diǎn)，則 △ =0；有兩個交點(diǎn)，則 △＞ 0．沒有交點(diǎn)，則 △ ＜ 0 ． a+b+c 與 a－ b+c 的符號： a+b+c 是拋物線 cbxaxy ??? 2 (a≠ 0） 上的點(diǎn) (1， a+b+c） 的縱坐標(biāo)， a－ b+c 是拋物線cbxaxy ??? 2 (a≠ 0）上的點(diǎn)（－ 1， a－ b＋ c）的縱坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)的位置，可確定它們的符號 . 二 、經(jīng)典考題剖析 ： 【考題 1】 （ 202濰坊）已知二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 的圖象如圖 l－ 2－ 2 所示，則 a、 b、 c 滿足（ ） A． a＜ 0， b＜ 0， c＞ 0 B． a＜ 0， b＜ 0， c＜ 0 C． a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0 D． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0 【考題 2】 （ 202天津）已知二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 (a≠0）且 a＜ 0， a－ b+c＞ 0，則一定有（ ） A． b2－ 4ac＞ 0 B． b2－ 4ac＝ 0 C． b2－ 4ac＜ 0 D． b2－ 4ac≤0 【考題 ３ 】 （ 202重慶）二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 的圖象如圖 1－ 2－ 10，則點(diǎn)（ b， ca ）在（ ） A．第一象限 B．第 二 象限 C． 第三象限 D．第四象限 三、針對性訓(xùn)練： 1．已知函數(shù) cbxaxy ??? 2 的圖象如圖 1－ 2－ 11 所示，給出下列關(guān)于系數(shù) a、 b、 c 的不等式： ① a＜ 0， ② b＜ 0， ③ c＞0， ④ 2a＋ b ＜ 0， ⑤ a＋ b＋ c＞ 0．其中正確的不等式的序號為 ___________ 2．已知拋物線 cbxaxy ??? 2 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 － 1，則 a＋ c=_________. 3．拋物線 cbxaxy ??? 2 中，已知 a： b： c=l： 2： 3，最小值為 6，則此拋 物 線 的解析式為 ____________ 4．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，且與 y 軸的正半軸相交，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)解析式： _______________. 5．拋物線 cbxaxy ??? 2 如圖 1－ 2－ 12 所示，則它關(guān)于 y 軸對稱的拋物線的解析式是 ___________. 6．若拋物線過點(diǎn) (1， 0)且其解析式中二次項系數(shù)為 1，則它的解析式為 ___________．（任寫一個） 5 7．已知二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 的圖象與 x 軸交于點(diǎn)（ － 2， 0）， (x1， 0)且 1＜ x1＜ 2，與 y ⑵ 頂點(diǎn)式法 ： 若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，則可采用頂點(diǎn)式： 2()y a x h k? ? ?其中頂點(diǎn)為 (h， k)， 對稱軸為直線 x=h； ⑶ 交點(diǎn)式法： 若已知拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用交點(diǎn)式： 12( )( )y a x x x x? ? ?,其中與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ x1， 0），（ x2， 0） 。例如，已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)可設(shè) 2axy? ；已知頂點(diǎn)（ 0， c），即在 y 軸上時可設(shè) caxy ?? 2 ；已知頂點(diǎn)（ h， 0）即頂點(diǎn)在 x 軸上可設(shè)2)( hxay ?? . 注意 ：當(dāng)涉及面積周長的問題時，一定要注意自變量的取值范圍。 (1)設(shè)矩形 EFGH 的長 HG=y，寬 HE=x，確定 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng) x 為何值時，矩形 EFGH 的面積 S 最大？ (3)以面積最大的矩形 EFGH 為側(cè)面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣圍時，才能使鐵桶的體積較大？請說明理由 (注：圍鐵桶側(cè)面時，接縫無重疊，底面另用材料配備 ) 6