【正文】 )( 0_ xf )( 0xf?? ，則 )()( 00 xfxf ???? （或 )()( 00 xfxf ???? 。 2．由方程 0),( ?yxF 確定的隱函數(shù) )(xfy? 通過方程 0),( ?yxF 兩邊同時對變量 x 求導(dǎo)，得到一個含有 y? 的方程，從中解得 y? .(注意求導(dǎo)過程中要將 y 看作 x 的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)進行求導(dǎo) ) 3．冪指函數(shù) )()]([ xgxfy ? 10 ① 用對數(shù)求導(dǎo)法：對 )](ln [)(ln xfxgy ? 兩邊求導(dǎo)，從中解出 y? . ② 將函數(shù)改寫為 )](ln[)( xfxgey ? ，按復(fù)合函數(shù)進行求導(dǎo)。 ② 對含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要注意導(dǎo)數(shù)記號的使用。 3．函數(shù)微分法則 ① 微分的四則運算法則： 9 )0()()()()(2 ?????????vvudvv d uvududvv d uuvdC d uCuddvduvud ② 一階微分形式不變性： dxxgxgfxdgxgfxgdf )()]([)()]([)]([ ????? . 三．幾個高階導(dǎo)數(shù)公式 1． .)( )( baxnnbax eae ?? ? 2． ).2s i n()][s i n( )( ?nbaxabax nn ???? ).2c os ()][c os ( )( ?nbaxabax nn ???? 3．當 ? 不是正整數(shù)時， .)1()1()( )( nn xnx ????? ?? ??? ? 當 m 為正整數(shù)時， ??????,0,!()( )( mmmx nm.,)1()1nmnmnmxnm nm?????? ?? 4． .)( !)1()1( 1)( ????? nnnn bax nabax 5． ?? )()][ln( nbax .)( )!1()1(1nnnbax na? ??? 四 ． 函數(shù)求導(dǎo)方法 1．初等顯函數(shù) )(xfy? 用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則，并注意以下三點。 ⑤ 周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是周期函數(shù)，且周期不變。） ③ 導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系： )(xf 在 0x 點可導(dǎo) ? )( 0_ xf? 與 )( 0xf?? 存在，且相等。 5． 高階導(dǎo)數(shù)的定義 ① 遞推定義： )(11???nnnn dx yddxddx yd ，或 )(11 dxdydxddx ydnnnn??? . ② 分析定義： h xfhxfxf nnhn)()(l i m)( )1()1(0)(?????? . 特別：000 )()(lim)(0 xxxfxfxfxx ????????. 6． 導(dǎo)數(shù)與微分的性質(zhì) 8 ① 可導(dǎo)與可微的關(guān)系：函數(shù) )(xfy? 在 x 點可微 ? )(xfy? 在 x 點可導(dǎo)，且 .)()( dxxfxdf ?? ② 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。 ② 幾何意義： )( 0xf? 是曲線 )(xfy? 在 ))(,( 00 xfx 點的切線斜率。 內(nèi)容與方法精講： 7 一． 基本概念 1． 導(dǎo)數(shù)的定義 ① 在一點的導(dǎo)數(shù)：x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ??? )()(l i m)()(l i m)( 0000 00 0. ② 左導(dǎo)數(shù)x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ?? ???? )()(l i m)()(l i m)( 0000 00 0. ③ 右導(dǎo)數(shù)x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ?? ???? )()(l i m)()(l i m)( 0000 00 0. ④ 導(dǎo)函數(shù) .)()(l i m)()(l i m)(00 h xfhxfx xfxxfxf hx ???? ????? ??? 2． 微分定義 ① 函數(shù) )(xf 在 x 點可微 ? )( xoxAy ????? . （其中 )()( xfxxfy ????? ，常數(shù) A 與 x? 無關(guān)） ② 函數(shù) )(xf 在 x 點微分 xAdy ?? ，（即：是 y? 的線性主部）。 3．熟練掌握各類函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與微分的求法，會求高階導(dǎo)數(shù)。 第 二 章 總復(fù)習 內(nèi)容： 導(dǎo)數(shù)與微分 基本要求： 1．理解導(dǎo)數(shù)與微分定義，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解微分的幾何意義。 ③ 若 )( 0?xf 與 )( 0?xf 存在且相等，則 0x 是第一類中不可去（或跳躍）間斷點。 2． 間斷點的分類（以下 0x 都是間斷點） ① 若 )(lim0 xfxx?存在，則 0x 是第一類中可去間斷點，重新定義)(lim)( 00 xfxf xx?? ，則函數(shù)在 0x 點連續(xù)。 八． 間斷點的找法分類 1． 間斷點的找法 ① 對初等函數(shù)找無定義的點 0x （它一定是間斷點）。 3． 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ① 最值定理：若函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 [ ba, ]上連續(xù)，則 )(xf 在閉區(qū)間 [ ba, ]上 必取得最大值 M 與最小值 m . ② 有界性定理：若函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 [ ba, ]上連續(xù)，則 )(xf 在閉區(qū)間 [ ba, ] 6 上有界。 ③ 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 七． 函數(shù)連續(xù)性的概念 1． 連續(xù)性定義 ① 函數(shù) )(xf 在 0x 點連續(xù) ? 是 0lim0 ???? yx，其中).()( 00 xfxxfy ????? ② 函數(shù) )(xf 在 0x 點連續(xù) ? 是 ).()(lim00 xfxfxx ?? 2． 連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì) ① 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零時）是連續(xù)函數(shù)。 2．用夾逼準則。 5． ?1 型： ① 湊重要極限 5. ② 進行換底 ： )](ln [)()( lim)](lim [ xfxgxg exf ?. （化為 ??0 型） ③ 利用取對數(shù)法：設(shè) )()]([ xgxfy ? ，則 )](ln [)(ln xfxgy ? ， 5 如果 axfxgy ?? )](ln [)(limlnlim ，則 .)](lim [ )( axg exf ? 注：以上方法 ② 、 ③ 也適用于 0 型和 0? 型。 4． ??0 型： ① 將無窮小部分利用等價無窮小進行替代。 2． ?? 型： ① 分子分母同除一個適當?shù)臒o窮大。 ② 先將函數(shù)恒等變形（通常是有理化、三角變形等），然后再約分。 8． ).(~ ????? o??? 9．若在極限過程中 ???? ?? ~,~ ，且極限??? ?)(lim xf存在或為 ? ，則 ???)(lim xf ??? ?)(lim xf 四． 幾個重要極限 2． 1lim ??? nn a （ 0?a ） . 3．（ 00 型）在極限過程中，如果函數(shù) 0)( ?x? ，則 1)( )(sinlim ?xx??； 1)( )(tanlim ?x x??； 1)( )](1ln[lim ?? x x? ?； 1)( 1lim)( ??xex?? ； 1)( )(a rc sinlim ?x x? ?； 1)( )(a rc t a nlim ?x x? ?. 4．（ ?? 型）當 ??x 時，有理函數(shù)極限為 ???????????????? ??????????.,0,l i m0011101110nmnmnmbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx ?? （其中000 ?ba ） 5．（ ?1 型）在極限過程中，如果函數(shù) 0)( ?x? ，則 .)](1lim [ )(1 ex x ?? ?? 在極限過程中，如果函數(shù) ??)(x? ，則 .])(11lim [ )( ex x ?? ?? 五． 幾組常用的等價無窮小 1． 當 0?x 時，以下無窮小兩兩等價： 4 .a rc t a n,a rc s i n,1),1l n(,t a n,s i n, xxexxxx x ?? 2． 當 0?x 時， .2~cos1 2xx? 3． 當 0?x 時， .2~sintan 3xxx ? 4． 當 0?x 時， .~11 nxxn ?? 5． 當 0?x 時， axax ln~1? （ 0?a ） . 六． 極限計算方法 （一） 定式極限 1． 若函數(shù) )(xf 在 0x 點連續(xù)，則 ).()(lim00 xfxfxx ?? 2． 利用無窮小與無窮大的運算性質(zhì)。 6．無窮大之積為無窮大。 4．無窮小與無窮大互為倒數(shù)。 8． 極限與單側(cè)極限關(guān)系： AxfxfAxfxx ???? ??? )()()(l i m 000. 三． 無窮小與無窮大性質(zhì) 1． ).()()(l i m xAxfAxf ????? 2．無窮小的和、差、積仍為無窮小。 局部有界性：若 )(lim xf 存在，則函數(shù) )(xf 在局部有界。 2 對 0xx? ，意味著：“ ? 一個正實數(shù) ? ，當 ???? 00 xx 以后”。 注： 以上“總存在一個時刻，當這個時刻以后”指的是： 對 ??n ，意味著：“ ? 一個正整數(shù) N ，當 Nn? 以后”。 2． 無窮小定義 00)(lim ???? ?xf （無論 ? 多?。偞嬖谝粋€時刻，當這個時刻以后，恒有 ??)(xf . 實質(zhì)： )(xf 可以任意小。 5．了解函數(shù)連續(xù)性的運算性質(zhì)及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 3．熟練掌握各類極限的計算方法。 1 第一章 總復(fù)習 內(nèi)容： 極限與連續(xù) 基本要求： 1．理解極限定義，了解極限性質(zhì)。 2．理解無窮小、無窮大定義，掌握其性質(zhì)。 4．理解函數(shù)連續(xù)性的定義，會找函數(shù)的間斷點、并分類。 內(nèi)容與方法精講： 一． 極限的基本概念 1． 極限定義 0)(lim ???? ?Axf （無論 ? 多小），總存在一個時刻，當 這個時刻以后，恒有 ??? Axf )( . 實質(zhì)： Axf ?)( 可以任意小。 3． 無窮大定義 0)(lim ????? Mxf （無論 M 多大），總存在一個時刻，當這個時刻以后，恒有 Mxf ?)( . 實質(zhì)： )(xf 可以任意大。 對 ??x ，意味著：“ ? 一個正實數(shù) X ，當 Xx? 以后”。 4． 單側(cè)極限定義 左極限 Axfxfxx ?? ??? )(lim)( 00 0,0 ????? ?? ，當 00 xxx ???? 時，恒有 ??? Axf )( . 右極限 Axfxfxx ?? ??? )(lim)( 00 0,0 ????? ?? ，當 ???? 00 xxx 時，恒有 ??? Axf )( . 二． 極限的性質(zhì) 1． 惟一性：如果極限存在，則極限值是惟一的 2． 有界性：若數(shù)列 nx 收斂，則 nx 有界。 3． 局部保號性：若 0)(lim ?? Axf （或 0?A ），則在局部有 0)( ?xf （或0)( ?xf ） .反之，若 Axf ?)(lim ，且在局部有 0)( ?xf （或 0)( ?xf ），則 0?A （或 0?A ） . 4． 子列收斂性：