復(fù)變函數(shù)華中科技大學(xué)-展示頁
2025-05-27 01:34本頁面
【正文】 z zArg z Arg Arg zz????? ? ???????21()2211izr ezr????22112211zzzzzArg Argz Argzz??????????。 1 2 .z z A rgz z212 。 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z3)=(z1z2)z3 。 222111 , iyxziyxz ????設(shè) z1+z2=z2+z1 。 2 ) s i n c o s .55z i z ipp? ? ? ? ?[解 ] 1) | | 1 2 4 4 .rz? ? ? ?z在第三象限 , 因此 2 3 5a r c ta n a r c ta n .3612? p p p???? ? ? ? ? ??????因此 56554 c o s ( ) s in ( ) 466iz i e ppp ???? ? ? ? ?????2) 顯然 , r = | z | = 1, 又 3sin c o s c o s ,5 2 5 1 03c o s sin sin .5 2 5 1 0p p ppp p pp??? ? ???????? ? ?????因此 31033c o s s in1 0 1 0iz i e ppp? ? ?練習(xí)： 寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。 然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念 , 為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ) . x, y 分別稱為 Z 的 實部 和 虛部 , 記作 x=Re(Z), y=Im(Z), . 1i ??稱為 Z 的共軛復(fù)數(shù)。 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 167。 ? ?10 40xx??5 15 5 15? ? ? ?與c os si niei? ????a ib? 復(fù)變函數(shù)的 理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。例如大家所熟知的 Euler公式 揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之 間的關(guān)系。直到十七與十八世紀(jì)， 隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。在當(dāng)時， 包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。引 言 在十六世紀(jì)中葉， G. Cardano (15011576) 在研究一元二次 方程 時引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并 把這個方程的兩個根形式地表為 。事實上， 復(fù)數(shù)被 Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并 被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。特別是由于 的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。然而一直到 (挪威 .17451818)和 (法國 .17681822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示，以及 (德國 17771855)與 (愛爾蘭 18051865) 定義復(fù)數(shù) 為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性 的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和 發(fā)展。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。 一對有序?qū)崝?shù) （ ） 構(gòu)成一個 復(fù)數(shù) ， 記為 . 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù) , 它是本課程的研究對象 .由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運算 ,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補充 。 與實數(shù)不同 , 一般說來 , 任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小 . 兩個復(fù)數(shù)相等 他們的實部和虛部都相等 特別地， ? : iyxz ??復(fù)數(shù)的表示法 1)點表示 iyxz ??復(fù)數(shù) ( , )X O Y z x y? 平面 上的點y z(x,y) x x 0 y r ?復(fù)平面 實軸 虛軸 2) 向量表示 復(fù)數(shù) z的輻角 (argument) 記作 Arg z=? . 任何一個復(fù)數(shù) z?0有無窮多個幅角 ,將滿足 ?p ?0?p 的 ?0 稱為 Arg z的主值 , 記作 ?0=arg z .則 Arg z=?0+2kp =arg z +2kp (k為任意整數(shù) ) ?復(fù)數(shù)z= x+ iy 矢徑z0 x y x y ? z=x+iy z22z z r x y? ? ? ?復(fù)數(shù) z的模 zx ?與 軸正向的夾角|||||,||||||,||||,|||22zzzzyxzzyzx??????????
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