華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)-展示頁
2025-05-25 17:50本頁面
【正文】 由于 是任意常數(shù)， 我們可以這樣取值： 使一般項系數(shù)中 與 有 相同的次數(shù) ，并且同時 使 分母簡化 。 為此取 利用 遞推公式 則一般項系數(shù)變?yōu)? 將此系數(shù)表達(dá)式代回 (13)中， ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) ,)()2)(1(!2)1( 2 02 mnnnm aa mmm ?????? ?18 nmnmmn xaxJ202)(????? ,)1(!2)1(022??????????? m mnmnmmnmx)(xJn.0)( 222 ??????? ynxyxyx (12) ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) 得到方程 (12)的一個 特解 ，記作 )(xJnmmm uu 1lim ??? )1)(1(4l i m2???? ?? mnmxm(18) 稱為 階 第一類貝塞爾函數(shù) 。 11 二、貝塞爾函數(shù) .0)( 222 ??????? ynxyxyx (12) ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?askas ,).,2,1,0( ? ?k????????01 ,)(kksk xksay???????????02))(1(kksk xksksay由微分方程解的理論知：方程 (12)有如下形式 的廣義 冪級數(shù)解 ： (13) 其中 為常數(shù)， 下面來確定 為此，將 (13)以及 帶入方程 (12) 12 .0)( 222 ??????? ynxyxyx (12) ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a????????01 ,)(kksk xksay ???????????02))(1(kksk xksksay(13) 可得 ?????02kksk xan??????0)(kksk xksa???????0))(1(kksk xksksa,002 ?? ?????kksk xa? ???????????02)())(1(kksk xnksksksa ,022 ?? ?????kksk xa13 .0)( 222 ??????? ynxyxyx (12) ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) ? ???????022)(kksk xnksa ,022 ?? ?????kksk xa? ????????222)(kksk xnksa ,022 ?? ?????kksk xasxans 022 )( ? 1122 ])1[( ???? sxanssxans 022 )( ? 1122 ])1[( ???? sxans? ?? ? ,0)(2222 ????? ?????kkskk xaanks14 sxans 022 )( ? 1122 ])1[( ???? sxans? ?? ? ,0)(2222 ????? ?????kkskk xaanks,0)( 022 ?? ans,0])1[( 122 ??? ans),3,2(0])[( 222 ? ????? ? kaanks kk?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) ,00 ?a ,1 ns ? .2 ns ??比較上式兩邊系數(shù)則有 (14) (15) (16) 由于 從 (14)可得 下面分三種情形討論 15 ,0])1[( 122 ??? ans?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) (15) ),3,2(0])[( 222 ? ????? ? kaanks kk(16) nnss 221 ?? ,1 ns ?,01 ?a.)2( 2 knk aa kk ??? ?,0531 ???? ?aaa情形 1 如果 不為整數(shù) (包括 0)和半奇數(shù)， 則 也不為整數(shù)。 若令 并記 (11) 將上式代入方程 (11)可得 則 (12) 方程 (12)是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程， 它的解稱為 貝塞爾函數(shù) 。 為此，令 代入方程 (1)得 用 乘之，得 5 ,02 ??? TaT ?.0??? VVV yyxx ?.)( 2 taAetT ???,0)(| 222 ??? tTV Ryx.0| 222 ??? RyxV于是有 2 2 2 2( ) ( ) ,t x x y yu a u u x y R? ? ? ?,0| 222 ??? Ryxu).,(| 0 yxu t ???(2) (1) (3) (4) (5) 方程 (4)的解為 亥姆霍茲方程 由邊界條件 (2)有 (6) 6 ,0??? VVV yyxx ?.0| 222 ??? RyxV),0(011 22222RrVVrrVrrV ???????????? ??.0| ??RrV2 2 2 2( ) ( ) ,t x x y yu a u u x y R? ? ? ?,0| 222 ??? Ryxu).,(| 0 yxu t ???(2) (1) (3) 為了求解方程 (5)滿足條件 (6)的非零解， (5) (6) 我們采用平面上的 極坐標(biāo)系 ，則得定解
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