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第八章因子分析-展示頁

2024-09-13 08:36本頁面
  

【正文】 表 當(dāng) m=1和 m=2時的主成分解 變 量 m=1 m=2 因子載荷 共性方差 因子載荷 共性方差 f1 f2 f1 f2 : 100米 : 200米 : 400米 : 800米 : 1500米 : 5000米 : 10000米 : 馬拉松 所解釋的總方 差的累計(jì)比例 1f2?ih*1x23456782?ih*1x*2x*3x*4x*5x*6x*7x*8x26 主成分解的近似關(guān)系式 ? 主成分解的因子解釋與主成分的解釋完全相同。 ? 稱 為 殘差矩陣 , ? 對于 主成分解, 有 ? 當(dāng) p個原始變量的單位不同,或雖單位相同,但各變量的數(shù)值變異性相差較大時,我們應(yīng)首先對原始變量作標(biāo)準(zhǔn)化 變換。 雖然第 j個因子與第 j個主成分的解釋完全相同,但主成分法與主成分分析本質(zhì)上卻是兩個不同的概念。 11? ?pm iiii??????1 1 1 1 1 11 1 11? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?m m m m m m p p pmmm? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?S t t t t t t t tt t t t D A A D? ? ? ?11? ? ?? ? ?, m m ija????A t t? ?221? ? ?d ia g , , ,p???D?A ?D221? ?mi i i ijjsa???? ?12? ? ?, , , pt t t12? ? ? 0p? ? ?? ? ? ?24 ? 對主成分解,當(dāng)因子數(shù)增加時,原來因子的估計(jì)載荷并不變,第 j個因子 fj對 x的總方差貢獻(xiàn)仍為 。選取相對較小的因子數(shù) m ,并使得累計(jì)貢獻(xiàn)率 達(dá)到一個較高的百分比,則S可近似分解如下: 其中 為 p m矩陣, , i=1,2,?,p。 ? ? 221pj ijiga?? ?221, 1 , 2 , ,pj i jig a j m????2jg? ? ? ? ? ? ? ?22111 1 1 12 2 211p p p pi i i m m ii i i ipmiiV x a V f a V f Vgg??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??2 2 2 21 1 1 1 1 1p p pm m mi i j i j ji i j j i jh a a g? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?22 167。 ? ? ? ? ? ?1C ov , C ov , C ov ,mi j i j i j ijx f a f f f a?????? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?C ov , C ov ,iji j i j ijijxfx f x f aV x V f? ? ? ?19 ? xi=μi+ai1f1+ai2f2+?+aimfm+εi 令 于是 221mi ijjha?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 21 1 2 22 2 2 212 , 1 , 2 , ,i i i im m ii i im iV x a V f a V f a V f Va a a i p??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?221, 1 , 2 , ,mi ijjh a i p????20 ? 反映了公共因子對 xi的影響,可以看成是公共因子 f1,f2,?,fm對 xi的方差貢獻(xiàn),稱為 共性方差(munality);而 是特殊因子 εi對 xi的方差貢獻(xiàn),稱為 特殊方差 (specific variance)。 17 三、因子載荷矩陣的統(tǒng)計(jì)意義 ? aij ? ? 221mi ijjha?? ?221pj ijiga?? ?18 aij ? xi=μi+ai1f1+ai2f2+?+aimfm+εi 即 aij是 xi與 fj之間的 協(xié)方差 。 Σ也可分解為 Σ=A*A*′+D ? 因此,因子載荷矩陣 A不是惟一的,在實(shí)際應(yīng)用中常常利用這一點(diǎn),通過因子的旋轉(zhuǎn)(見稍后的 167。 14 ? 將 x的單位作變化,通常是作一變換 x*=Cx,這里C=diag(c1,c2,?,cp), ci> 0, i=1,2,?,p,于是 x*=Cμ+CAf+Cε 令 μ*=Cμ, A*=CA, ε*=Cε,則有 x*=μ*+A*f+ε* 這個模型能滿足類似于 前述因子模型 的假定,即 15 其中 因此,單位變換后新的模型仍為正交因子模型。一般來說, m選取得越小,上述近似效果就越差,即因子模型擬合得越不理想。 ? 如果 x為各分量已標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機(jī)向量,則 Σ就是相關(guān)陣 R,即有 R =AA′+D 12 ? 例 設(shè)隨機(jī)向量 x=(x1,x2,x3,x4)′的協(xié)方差矩陣為 則 Σ可分解為 Σ=AA′+D 其中 9 11 5 2 011 27 17 425 17 52 52 0 42 5 86?????????????????Σ2 1 4 0 0 04 3 0 2 0 0,1 7 0 0 2 09 2 0 0 0 1?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?AD13 ? 若取 A= Σ1/2, D=0,則有分解式 Σ=Σ1/2Σ1/2+0 此時 m=p,沒有達(dá)到降維目的,故所作的因子分析沒有意義。 ? ?12, , , mf f f ??f ?, , , p? ? ? ?ε? ? :ija p m??A? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 212di a g , , ,C ov ,pEEVVE? ? ?? ???????????? ????fεfIε Df ε f ε00010 二、正交因子模型的性質(zhì) ? 1. x的協(xié)差陣 Σ的分解 ? ? 11 1. x的協(xié)差陣 Σ的分解 ? Σ=V(Af+ε)=V(Af )+V(ε)
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