【正文】 口訣（ 5）：單調增加與減少；先算導數(shù)正與負。 3．單調性： （ i）定義： 設 ??xf 在 X 上 有定義，若對任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱??xf 在 X 上是單調增加的 [單調減少的 ]；若對任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? ，則稱 ??xf 在 X 上是單調不減 [單調不增 ] （注意：有些書上把這里單調增加稱為嚴格單調增加；把這里單調不減稱為單調增加。 （ ii） 圖像對稱性 ：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)圖象關于 y 軸對稱。 （ ii）例： xxf 1)( ? 在（ 0， 1）內無界，在（ 1/2， 1）內有界 2．奇偶性： （ i）定義： 設區(qū)間 X 關于原點對稱，若對 Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ??? ，則稱 ??xf 在 X 上是奇函數(shù)。 例 ：05)23s in ( ????? yxe yx 二、基本初等函數(shù)的概念、性質和圖像 （內容自己復習參考書，這里僅舉例說明其重要性） 例 1： 考察 xxxx arctanlim)( )( ???????? xy arctan? 的圖像 例 2： 考察 210lim xx e?? 因為 ????? )1(lim 20 xx 指數(shù)函數(shù) xey? 的圖像 因此 0lim 210 ??? xx e 三、復合函數(shù)與初等函數(shù) 1. 復合函數(shù) （ i）已知 )(xf ， )(xg ，求 )]([ xgf （ ii）已知 )]([ xgf ， )(xg ，求 )(xf 2. 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算或復合運算用一個表達式表示的函數(shù) 原則上來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù) 四、考研數(shù)學中常出現(xiàn)的非初等函數(shù) 1．用極限表示 的函數(shù) （ 1） ? ?xfynn ??? lim （ 2） ? ?xtfyxt ,lim?? 2．用變上、下限積分表示的函數(shù) （ 1） ? ???? xa dttfxFy )( 其中 ??tf 連續(xù)，則 ? ?xfdxdy? （ 2） ? ?? ?? ???? xx dttfxGy 21)( ?? 其中 ??x1? ， ??x2? 可導， ??tf 連續(xù)， 則 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxfdxdy1122 ???? ???? 口訣（ 3）：變限積分是函數(shù)；出現(xiàn)之后先求導。 4．隱函數(shù) 0),( ?yxF 確定 y與 x的函數(shù)關系 有些隱函數(shù)能化為顯函數(shù)，例： 122 ??yx ，21 xy ?? 和 21 xy ??? 。 3．反函數(shù) 例： 2xy? 的反函數(shù) yx ?? 由于不單值，所以要看作 yx? 和 yx ?? ，它們的圖像與 2xy? 一致。 口訣（ 1）：函 數(shù)概念五要素；對應關系最核心。 曲面積分 數(shù)學一全部內容結束 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 167。 三重積分 167。 微分方程的應用 （數(shù)學四考生結束） 167。 二重積分 （全體） 第四章 167?？佳薪虒W二教材下載 電子教材 我們講義共寫了八章，數(shù)學一的考生全部要學，而其它考生只需要其中的一部分。根據(jù)共同需要的內容先講的原則，講課內容與順序安排如下： 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) （全體） 第二章 一元函數(shù)微分學（全體） 第三章 一元函數(shù)積分學（全體） 第六章多元函數(shù)微分學 （全體） 第七章 167。 一階微分方程 167。 高階微分方程 （數(shù)學二考生結束） 第八章 無窮級數(shù) （數(shù)學三考生結束 ） 第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何 第七章 167。 曲線積分 167。 函數(shù) （甲） 內容要點 一、函數(shù)的概念 1. 定義 )(xfy? ， Ix? x 為自變量， y 為因變量或稱為函數(shù)值 yxf ?: 為對應關系 自變量在定義域里面取值的時候，所有的函數(shù)值的全體就稱為值域。 2. 分段函數(shù)（考研中用得很多） 例 1： 1, 1,13)(2????? ?? xxxxxf 例 2：0, 0, ??????? xxxxx 例 3：1,10,0,),m a x (3232??????????xxxxxxxxx 口訣（ 2）：分段函數(shù)分段點；左右運算要先行。 如果改變符號，寫成 xy? 和 xy ?? ，那么它們的圖像要變。 另 外 有 些 隱 函 數(shù) 則 不 能 化 為 顯 函 數(shù) 。 五、函數(shù)的幾種性質 1．有界性： （ i）定義：設函數(shù) ? ?xfy? 在 X 內有定義，若存在正數(shù) M ，使 Xx? 都有 ? ? Mxf ? ，則稱 ??xf 在 X 上是有界的。 若對 Xx? ，都 有 ? ? ? ?xfxf ?? ，則稱 ??xf 在 X 上是偶函數(shù) 。 常用公式：為偶函數(shù)當為奇函數(shù)當ff)(20)(0?????? ??? aaa dxxfdxxf 口訣（ 4）：奇偶函數(shù)常遇到；對稱性質不可忘。） （ ii）判別方法：在（ a， b）內，若 0)( ?? xf ，則 )(xf 單調增加；若 0)( ?? xf ，則單調減少。 4．周期性： （ i）定義： 設 ??xf 在 X 上有定義，如果存在常數(shù) 0?T ，使得任意 Xx? ， XTx ?? ，都有 ? ? ? ?xfTxf ?? ，則稱 ??xf 是周期函數(shù)，稱 T 為 ??xf 的周期。 （ ii）例： )0(s in)( ?? ??xxf 周期為 ??2?T ； 3c o s2s in)( xxxf ?? 周期為 12? 是 4? 和 6? 的最小公倍數(shù)；xxxf 2s ins in)( ?? ? 不是周期函數(shù)，因為 2 和 ? 沒有最小公倍數(shù)。 解： 2??x ， 1183 ???y ， 3 3 yx ?? ， 22 ??? x ， 753 ???? xy ， yx ??5 ， 2?x ， ? ? 121 2 ???? xy ， yx ??? 12 ， 所以 ? ?xfy? 的值域為 ? ? ? ? ? ????? ,117,31, ?? 反函數(shù)??????????????11,3.73,51,123 yyyyyyx 二、求復合函數(shù)有關表 達式 例 1．設 ? ?21 xxxf ?? ，求 ? ?? ?? ? ? ?xfxfff n?? n 重復合 解： ? ? ? ?? ? ? ?? ? 222222 211111 xxxxxxxfxfxffxf ?????????， 若 ? ?21 kxxxfk ?? ， 則 ? ? ? ?? ? ? ? 222221 111111 xkxkxxkxxxfxfxfkkk ?????????? 根據(jù)數(shù)學歸納法可知，對正整數(shù) n ， ? ?21 nxxxfn ?? 例 2．已知 ? ? xx xeef ??? ，且 ?? 01?f ，求 ??xf 解：令 tex? ， tx ln? ，因此 ? ? ? ? t ttfef x ln???? ， ? ? ? ? xxtdtt tfxf x 221 ln211ln21ln1 ???? ? ?? 01 ?f? ， ? ? xxf 2ln21?? 三、有關四種性質 例 1．設 ? ? ? ?xfxF ?? ，則下列結論正確的是 （ ） （ A）若 ??xf 為奇函數(shù)，則 ??xF 為偶函數(shù) （ B）若 ??xf 為偶函數(shù)，則 ??xF 為奇函數(shù) （ C）若 ??xf 為周期函數(shù)，則 ??xF 為周期函數(shù) （ D）若 ??xf 為單調函數(shù)，則 ??xF 為單調函數(shù) 解：（ B）的反例 23)( xxf ? ； 1)( 3 ?? xxF ；（ C）的反例 1cos)( ?? xxf 。 四、函數(shù)方程 例 1．設 ??xf 在 ? ???,0 上可導， ? ? 00 ?f ，反函數(shù)為 ??xg ，且 ? ?? ? xxf exdttg 20 ??，求 ??xf 。 口訣（ 6）：正反函數(shù)連續(xù)用；最后只留原變量。 思考題 設 ab? 均為常數(shù)，求方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 01lns i n1lns i n 22 ??????? ???????????? ????? axaxaxbxbxbx 的一個解。 極限 （甲）內容要點 一、極限的概念與基本性質 1．極限的概念 （ 1）數(shù)列的極限 Axnn ???lim （ 2）函數(shù)的極限 ? ? Axfx ????lim； ? ? Axfx ????lim； ? ? Axfx ???lim ? ? Axfxx ?? 0lim ； ? ? Axfxx ??? 0lim ； ? ? Axfxx ??? 0lim 2．極限 的基本性質 定理 1 （極限的唯一性）設 ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxf ?lim ，則 BA? 定理 2 （極限的不等式性質）設 ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 若 x 變化一定以后，總有 ? ? ? ?xgxf ? ，則 BA? 反之， BA? ，則 x 變化一定以后，有 ? ? ? ?xgxf ? （注：當 ? ? 0?xg ， 0?B 情形也稱為極限的保號性） 定理 3 （極限的局部有界性）設 ? ? Axf ?lim 則當 x 變化一定以后， ??xf 是有界的。 3．無窮小與無窮大的關系：在 x 的同一個變化過程中， 若 ??xf 為無窮大，則 ??xf1為無窮小， 若 ??xf 為無窮小，且 ? ? 0?xf ，則 ??xf1為無窮大。 （ 3） 1?l ，稱 ??xf 與 ??xg 是等階無窮小，記以 ? ? ? ?xgxf ~ 6．常見的等價無窮小，當 0?x 時 xx~sin ， xx~tan ， xx~arcsin ， xx~arctan ， 221~cos1 xx? ， xex ~1? ， ? ? xx ~1lim ? ， ? ? axx a ~11 ?? 。 口訣（ 8）：極限為零無窮?。怀擞薪缛詿o窮小。若 ? ? Axg ?lim ， ? ? Axh ?lim ，則 ? ? Axf ?lim 3．兩個重要公式 公式 1： 1sinlim0 ?? xxx 公式 2： ennn ??????? ???11lim ； eu uu ??????? ???11lim ； ? ? ev vv ???10 1lim 4．用無窮小重要性質和等價無窮小代換 5．用泰勒公式（比用等價無窮小更深刻）（數(shù)學一和數(shù)學二） 當 0?x 時， ? ?nnx xonxxxe ?????? !!21 2 ? 例：求32021lim xxxe xx????用 ? ?332 !3!21 xoxxxe x ????? （最后一項比 3x 高階無窮?。┰?61)(6lim3330 ???? xxoxx，這樣比用洛比達法則簡單 ? ? ? ? ? ?121253 !121!5!3s i n ?? ??????? nnn xonxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxx 2242 !21!4!21c o s ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxxx ??????? ? 132 1321ln ? ? ? ? ?1212153 12153ar ct an ??? ???????? nnn xonxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nna xoxn naaaxaaaxx ??????????? ! 11!2 111 2 ?? 6．洛必達 法則 專門來處理七種比較困難的極限： 00 ； ?? ； ?*0 ； ??? ； ?1 ； 0 ； 0? 第一層次：直接用洛比達法則可處理 00 和 ?? 兩種 法則 1：（ 00 型）設（ 1） ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg （ 2） x 變化過程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） （注：如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無窮大量情形，則不能