【正文】 們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞ 內(nèi)的正整數(shù)， 若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。 注： 有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。 ⑸、 數(shù)列的有界性 ： 對于數(shù)列 ，若存在著正數(shù) M，使得一切 都滿足不等式 │ │≤M ，則稱數(shù)列 是 有界的 ，若正數(shù) M 不存在，則可說數(shù)列 是 無界的 。數(shù)列 極限為 a 的一個 幾何解釋 ：將常數(shù) a及數(shù)列 在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點 a 的 ε 鄰域即開區(qū)間 (aε ， a+ε) ，如下圖所示： 因不等式 與不等式 等價，故當(dāng) n＞ N 時，所有的點 都落在開區(qū)間 (aε ， a+ε) 內(nèi)，而只有有限個 (至多只有 N個 )在此區(qū)間以外。且定義中的正整數(shù) N 與任意給定的正數(shù) ε 是有關(guān)的，它是隨著 ε 的給定而選定的。 注： 上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽 (公元三世紀(jì) )的割圓術(shù)。 設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為 A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為 A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為 A3；依次循下去 (一般把內(nèi)接正 62 n1邊形的面積記為 An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積： A1， A2， A3， ? ， An， ? ，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。第 n 項 an叫做數(shù)列的 一般項或通項 . 注： 我們也可以把數(shù)列 an看作 自變量為正整數(shù) n的函數(shù)， 即： an= ，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、 極限 ： 極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。 雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) ⑴、 雙曲函數(shù) ： 在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是： (用表格來描述 ) 函數(shù)的名稱 函數(shù)的表達式 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 雙曲正弦 a)：其定義域為 :(∞,+∞) ； b)：是奇函數(shù)； c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增 雙曲余弦 a)：其定義域為 :(∞,+∞) ； b)：是偶函數(shù)； c)：其 圖像過點 (0,1)； 雙曲正切 a)：其定義域為 :(∞,+∞) ； b)：是奇函數(shù)； c)：其圖形夾在水平直線 y=1 及y=1 之間；在定域內(nèi)單調(diào)增； 我們再來看一下雙曲 函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別： 雙曲函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì) shx 與 thx 是奇函數(shù)， chx 是偶函數(shù) sinx 與 tanx 是奇函數(shù)， cosx 是偶函數(shù) 它們都不是周期函數(shù) 都是周期函數(shù) 雙曲函數(shù)也有和差公式： ⑵、 反雙曲函數(shù) ： 雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù) . a)：反雙曲正弦函數(shù) 其定義域為： (∞,+∞) ； b)：反雙曲余弦函數(shù) 其定義域為： [1,+∞) ； c)：反雙曲正切函數(shù) 其定義域為： (1,+1)； 數(shù)列的極限 我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。 b):當(dāng) m,n都是奇數(shù)時 ,y是奇函數(shù) 。 b):當(dāng) x=0時 ,y=1. 對數(shù)函數(shù) a):其圖形總位于 y 軸右側(cè) ,并過(1,0)點 b):當(dāng) a＞ 1 時 ,在區(qū)間 (0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間 (,+∞) 的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增 . 冪函數(shù) a 為任意實數(shù) 這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。 初等函數(shù) ⑴、 基本初等函數(shù) ： 我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。 例題： 函數(shù) 與函數(shù) 是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。如右圖所示： 復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 的定義 ： 若 y 是 u 的函數(shù)： ，而 u 又是 x 的 函數(shù)： ，且 的函數(shù)值的全部或部分在 的定義域內(nèi)，那末， y 通過 u 的聯(lián)系也是 x 的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及 復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作 ，其中 u 叫做中間變量。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增 (減 ). ⑶、 反函數(shù)的性質(zhì) ： 在同一坐標(biāo)平面內(nèi)， 與 的圖形是關(guān)于直線 y=x對稱的。 .若我們不加條件，由 y 的值就不能唯一確定 x 的值，也就是在區(qū)間 (∞,+∞) 上，函數(shù)不是嚴(yán)格增 (減 )，故其 沒有反函數(shù) 。 反函數(shù) ⑴、 反函數(shù)的定義 ： 設(shè)有函數(shù) ，若變量 y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值 y0時，變量 x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值 x0與之對應(yīng)，即 ，那末變量 x 是變量 y 的函數(shù) .這個函數(shù)用 來表示，稱為函數(shù) 的 反函數(shù) . 注： 由此定義可知，函數(shù) 也是函數(shù) 的反函數(shù)。 注： 我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。 注： 偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸 對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。 例題： 函數(shù) =x2在區(qū)間 (∞,0) 上是單調(diào)減小的，在區(qū)間 (0,+∞) 上是單調(diào)增加的。 注： 一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù) 例題： 函數(shù) cosx 在 (∞,+∞) 內(nèi)是有界的 . ⑵、 函數(shù)的單調(diào)性 ： 如果函 數(shù) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)隨著 x 增大而增大，即：對于 (a,b)內(nèi)任意兩點 x1及 x2，當(dāng) x1＜ x2時，有 ，則稱函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是 單調(diào)增加 的。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。 例： 在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。 ⑶、域 函數(shù)的表示 方法 a)： 解析法 ：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。 ⑵、 函數(shù)相等 由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做 單值函數(shù) ，否則叫做 多值函數(shù) 。 注 ： 為了表明 y 是 x 的函數(shù)，我們用記號 y=f(x)、 y=F(x)等等來表示 。 變量 x 的變化范圍叫做這個 函數(shù)的 定義域 。 ⑶、 鄰域 ： 設(shè) α 與 δ 是兩個實數(shù)，且 δ ＞ │x α│ ＜ δ 的實數(shù) x 的全體稱為點 α 的 δ 鄰域，點 α 稱為此鄰域的中心， δ 稱為此鄰域的半徑。在數(shù)軸上 來說， 區(qū)間 是指介于某兩點之間的線段上點的全體。 注： 在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。 已知集合 A={x|1≤ x≤ 3}， B＝ {x|(x1)(xa)=0}。⑴、 A∪ B；⑵、 A∩ B。 ⑶、一般地，對任意兩個集合 A、 B，有 card(A)+card(B)=card(A∪ B)+card(A∩ B) 我的問題： 學(xué)校里開運動會，設(shè) A＝｛ x|x 是參加一百米跑的同學(xué)｝， B＝｛ x|x 是參加二百米跑的同學(xué)｝， C＝｛ x|x 是參加四百米跑的同學(xué)｝。 ⑵、用 card 來表示有限集中元素的個數(shù)。 即 CUA＝｛ x|x∈ U，且 x A｝。 ②補集：對于一個集合 A，由全集 U 中不屬于集合 A 的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對于全集 U的補集。 ⑶、補集： ①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。記作 A∩ B。） 即 A∪ B＝｛ x|x∈ A，或 x∈ B｝。記作 A∪ B。 ③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。 ⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論： ①、任何一個集合是它本身的子集。 ⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。 ⑵相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此時集合 A 中的元素與集合 B 中的元素完全一樣，因此集合 A 與集合 B 相等，記作 A＝ B。 集合的表示方法 ⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。 ⑸、全體實數(shù)組成的 集合叫做實數(shù)集。 ⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。 ⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作 N ⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。如果 a 是集合 A 中的元素，就說 a 屬于 A，記作： a∈ A，否則就說 a 不屬于 A，記作： a A。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。 11 一、函數(shù)與極限 集合的概念 一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。 9 函數(shù)極限的運算規(guī)則 8 函數(shù)的極限 7 數(shù)列的極限 6 雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 5 復(fù)合函數(shù) 4 反函數(shù) 4 函數(shù)的簡單性態(tài) 高等數(shù)學(xué) (考研專用版 ) 目 錄 一、函數(shù)與極限 2 集合的概念 2 常量與變量 3 函數(shù) 6 初等函數(shù) 集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互 異性（給定集合中的元素是互不相同的）。 我們通常用大字拉丁字母 A、 B、 C、??表示集合，用小寫拉丁字母 a、 b、 c??表示集合中的元素。 ⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作 N+或 N+。記作 Z。記作 Q。記作 R。 集合間的基本關(guān)系 ⑴、子集：一般地，對于兩個集合 A、 B，如果集合 A 中的任意一個元素都是集合 B 的元素，我們就說 A、 B 有包含關(guān)系，稱集合 A 為集合 B 的子集，記作 A B（或 B A）。 ⑶、真子集：如何集合 A 是集合 B 的 子集，但存在一個元素屬于 B 但不屬于 A，我們稱集合 A 是集合B 的真子集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。即 A A ②、對于集合 A、 B、 C，如果 A 是 B 的子集， B 是 C 的子集，則 A 是 C 的子集。 集合的基本運算 ⑴、并集：一般地，由所有屬于集合 A 或?qū)儆诩?B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的并集。 （在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。 ⑵、交集：一般地，由所有屬于集合 A 且屬于集合 B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的交集。 即 A∩ B＝｛ x|x∈ A，且 x∈ B｝。通常記作 U。簡稱為集合 A 的補集，記作 CUA。 集 合中元素的個數(shù) ⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。例如 A＝｛ a,b,c｝，則 card(A)=3。學(xué)校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這 項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。 在平面直角坐標(biāo)系中，集合 C＝ {(x,y)|y=x}表示直線 y＝ x，從這個角度看，集合 D={(x,y)|方程組：2xy=1,x+4y=5}表示什么？集合 C、 D 之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。試判斷 B 是不是 A 的子集？是否存在實數(shù) a 使 A＝ B 成立？ 對于有限集合 A、 B、 C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？ 無限集 合 A＝｛ 1， 2， 3， 4，?， n，?｝， B＝｛ 2， 4， 6， 8，?， 2n，?｝，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？ 常量與變量 ⑴、 變量的定義 ： 我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為 常量 ；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量 。 ⑵、 變量的表示 ： 如果變量的變化是連續(xù)的，則常用 區(qū)間 來表示其變化范圍。 區(qū)間的名稱 區(qū)間的滿足的不等式 區(qū)間的記號 區(qū)間在數(shù)軸上的表示 閉區(qū)間 a≤x≤b [a， b] 開區(qū)間 a＜ x＜ b （ a， b） 半開區(qū)間 a＜ x≤b 或 a≤x ＜ b （ a， b]或 [a， b） 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間： [a， +∞) ：表示不小于 a 的實數(shù)的全體，也可記為： a≤x ＜ +∞ ； (∞ ， b)：表示小于 b 的實數(shù)的全體，也可記為： ∞ ＜ x＜ b； (∞ ， +∞) ：表示全體實數(shù)，也可記為： ∞ ＜ x＜ +∞ 注： 其中 ∞ 和 +∞ ，分別讀作 負(fù)無窮大 和 正無窮大 ,它們不是數(shù) ,僅僅是記號。 函數(shù) ⑴、 函數(shù)的定義 ： 如果當(dāng)變量 x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量 y 按照一定的法則 f 總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱 y 是 x 的 函數(shù) 。通常 x叫做 自變量 ， y叫做 函數(shù)值 （或 因變量 ） ， 變量 y 的變化范圍叫做這個 函數(shù)的 值