【正文】 8 0xx? ? ?的兩個根 , 可得 2 2021 8 0aa? ? ?, 2 2021 8 0bb? ? ?, 及 2021ab? ?? , 8ab? , 則 22( 199 8 7 ) ( 200 2 9)a a b b? ? ? ? ( 200 0 8 2 1 ) ( 200 0 8 2 1 )a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 1)(2 1)ab? ? ? ? 4 2( ) 1ab a b? ? ? ? ? 32 4000 1? ? ? ? 3967? . 在解決一元二次方程的代數(shù)問題時 , 要認真觀察已知條件和所要求的式子 , 考察它們之 間有什么關(guān)聯(lián) , 再充分利用已知條件來解決所要求的問題 . 同時是要靈活應(yīng)用韋達定理 : 即 如果1x,2x為方程 2 0ax bx c? ? ? ( 0)a? 的兩個根 , 則12bxx a? ??, 12cxx a?. 在解這類問題時 , 可以從已知條件出發(fā) , 也可以從結(jié)論入手 , 關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)所要求式子的特點 . 三、變形技巧在因式分解中的應(yīng)用 多項式的因式分解 , 方法多樣 , 技巧性強 , 有些多項式喬裝打扮 , 貌似不能因式分解 ,但經(jīng)過適當(dāng)變形 , 創(chuàng)造條件 , 便可以進行因式分解 .[4] 因式分解的主要方法有符號變形、加減變形、換元變形、拆項變形、化簡變形等 , 利用這些常見的變形方法解決 7 一些具體的因式分解的問題 . 掌握了這些變形方法后 , 這類因式分解問題就可以迎刃而解了 . 1. 換元變形 例 3 分解因式 ( 1 ) ( 2)( 3 ) ( 4) 1a a a a? ? ? ? ?. 分析 : 直接展開項數(shù)較多 , 也不利于進一步因式分解 , 可以將考慮將四個因子兩兩結(jié)合 , 并且使得兩兩結(jié)合之后的表達式盡可能接近 , 比如將 1a? 與 4a? 結(jié)合 , 2a? 與 3a? 結(jié)合 , 得到2 54aa??與 2 56aa??, 顯然它們有相同的項 2 5aa? , 還可以考慮將2 54aa??作 為相同的項 , 兩種情形都應(yīng)將相同的項作為一個整體 , 為計算方便 , 可作適當(dāng)?shù)膿Q元 . 解 : ( 1 ) ( 2)( 3 ) ( 4) 1a a a a? ? ? ? ? [ ( 1 ) ( 4) ] [ ( 2) ( 3 ) ] 1a a a a? ? ? ? ? ? 22( 5 4) ( 5 6) 1a a a a? ? ? ? ? ?, 若令 2 5a a m??, 則上式子變形為 ( 4)( 6) 1mm? ? ? 2 10 24 1mm? ? ? ? 2( 5)m??, 最后再將 2 5m a a??代入可得 ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 4) 1a a a a? ? ? ? ?22( 5 5)aa? ? ? . 若將 2 54aa??看成一整體 , 并令其為 m , 則上式變形為2( 2) 1 ( 1)m m m? ? ? ?, 原式解因式為 22( 5 5)aa??. 換元變形常用于較復(fù)雜的多項式 , 并且其中有相同的部分 , 將相同 的項看成整體進 8 行換元 , 掌握換元法 , 進行適當(dāng)變形 , 能靈活應(yīng)用于其他復(fù)雜的多項式因式分解中 . 2. 拆項變形 例 4 分解因式 33 4 1xx??. 分析 : 拆項變形是一種常見的分解因式的方法 , 拆項變形之后通常分組分解 , 觀察表達式 33 4 1xx??, 容易 想到把前兩項組合并提取 x , 得 2(3 4) 1xx??, 但這個表達式不能繼續(xù)分解下去了 , 需要調(diào)整 , 假如小括號中不是減 4 , 而是減 3 就簡單了 , 則可以考慮將 33x 與一次項結(jié)合 , 將一次項拆開 , 拆成 3xx??。 根據(jù)計算的結(jié)果 , 將具體方程或不等式的形式轉(zhuǎn)化為其具體的解 或解集等 . 2. 恒等變形 恒等變形是在 等價變形的思想指導(dǎo)下進行的 , 它的變形形式有代數(shù)式恒等變形、多項式 恒等變形、分式恒等變形、三角函數(shù)恒等變形、對數(shù)式恒等變形等 . 若將兩個代數(shù)式子中的 字母換成任意相同的數(shù)值 , 這兩個代數(shù)式的值都相等 , 我們就稱這兩個代數(shù)式恒等 , 表示兩 個代數(shù)式恒等的式子叫做恒等式 . 如8 6 (1 8 6)a a a a? ? ? ? ?是一個恒等式 , 把式子 86a a a??變?yōu)?(1 8 6)a?? 的這步變形 , 使變形的式子恒等 , 我們把這樣的變形 叫做恒等 變形 . 4 3. 同解變形 同解變形是在等價轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下 , 通過等價的變換 , 使得原來的等式與變形的等式 有相同的解 . 方程的同解變形的一般形式有 : 交換其中任意兩個方程的位置 , 其余不變 。 所在院系 : 專 業(yè) : 姓 名 : 學(xué) 號 : 指導(dǎo)教師 : 本科生畢業(yè)論文 題目 :例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 1120510125 論文完成日期 : 2021 年 5 月 2 日 目錄 摘要 ????????????????????? ????? 1 一、變形的相關(guān)理論 ??????????????????? 2 二、變形技巧在一元二次方程中的應(yīng)用 ??????????? 3 三、變形技巧在因式分解中的應(yīng)用 ????????????? 5 四、變形技巧在不等式中的應(yīng)用 ?????????????? 7 五、變形技巧在三角函數(shù)中的應(yīng)用 ????????????? 9 參考文獻 ???????????????????????? 11 1 摘要 :變形是數(shù)學(xué)解題的一種基本方法 , 變形能力的強弱制約著解題能力的高低 . 本文主要探討 變形技巧在 一元二次方程、因式分解 、 不等 式 和 三角函數(shù) 解題中的應(yīng)用 . 掌握并靈活運用好變形技巧 , 可以將復(fù)雜問題簡單化 , 減少麻木性 , 提高解題效率 . 關(guān)鍵詞 :數(shù)學(xué)解題；變形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函數(shù) 中圖分類號 :O119 文獻標(biāo)識碼 :A 2 例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 陳海霞（ 1120510125） 數(shù)學(xué)是個有機的整體 , 各部分之間相互聯(lián)系 , 相互滲透 , 從而構(gòu)成相互交錯的立體空間 , 對各部分知識間的靈活掌握 , 更需要融會貫 通 .[1] 近些年 , 數(shù)學(xué)題目越來越新 穎 , 技巧性強 ,對有些題目進行適當(dāng)變形 , 把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化 , 從而順利求得問題的答案 . 掌握并靈活運用好各類問題的變形技巧 , 有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力 , 運算能力和空間想象能力 ,同時 , 用變形的方法 , 有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì) , 它既是教師常用的一種重要數(shù)學(xué)方法 ,也是學(xué)生解題時一種非常有效的思想方法 . 此外 , 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容是有意義的 , 富有挑戰(zhàn)性的 , 要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)方法 , 充分利用數(shù)學(xué)變形技巧進行解題 , 不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì) .[2] 一、變形的 相關(guān)理論 變形是數(shù)學(xué)解題的一種常用方法 , 變形能力的強弱制約著解題能力的高低 .[1] 變形是為 了達到某種目的或需要而采取的一種手段 , 是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段 , 它屬于技能性 的知識 , 3 既靈活又多變 , 一個公式 , 一個法則 , 它的表達形式多種多樣 , 也存在技巧與方法 ,在實踐中反復(fù)操作才能把握 , 能夠讓學(xué)生更好的理解變形技巧 , 乃至靈活運用 . 變形的一般 形式主要有以下三種 : 1. 等價變形 等價變形就是利用等價關(guān)系進行的變形 , 在等價關(guān)系的條件下 , 通過等價變換的方式使 數(shù)學(xué)問題得到解決 , 等價變形 的本質(zhì)就是在保持原來各種量之間的關(guān)系不變的情況下 , 只是 改變它們的表達形式 . 常見的等價變形依據(jù)有 : 根據(jù)特定概念的定義 , 對數(shù)式 , 指數(shù)式的相 互轉(zhuǎn)化 , 如對數(shù)函數(shù) loga Nb? , 可以等價變形為 baN? 。 根據(jù)等式與不等式的基本性質(zhì) , 比如移項 , 系數(shù)化為 1。 將任一個方程乘以一個非零的常數(shù) , 其余不變 。 或者考慮將 33x與 常數(shù)項結(jié)合 , 將常數(shù)項拆開 , 拆成 43? . 這樣拆項 , 使復(fù)雜問題簡單化 , 更容易使問題得 到解決 . 解法一 : 拆一次項 33 4 1xx?? = 33 3 1x x x? ? ? = 23 ( 1) 1x x x? ? ? =3 ( 1)( 1) ( 1)x x x x? ? ? ? =( 1)[3 ( 1) 1]x x x? ? ? = 2( 1)[3 3 1]x x x? ? ?. 解法二 : 拆常數(shù)項 33 4 1xx?? = 23 4 4 3xx? ? ? = 33( 1) 4( 1)xx? ? ? = 23 ( 1 ) ( 1 ) 4( 1 )x x x x? ? ? ? ? = 2( 1)[3 ( 1) 4]x x x? ? ? ? 9 = 2( 1)[3 3 1]x x x? ? ?. 本題若先提取前兩項的公因子 x , 導(dǎo)致無法繼續(xù)分解下去 , 善于觀察所求分解的表達式 的特點 , 找出此題的關(guān)鍵是拆項 , 拆項后與 33x 結(jié)合進行分解 . 尋求多種方法進行解題 , 體會解決問題策略的多樣性 , 增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識 , 提高解決問題的能力 . 四、變形技巧在不等式中的應(yīng)用 不等式就是用不等號將兩個解析式連結(jié)起 來所成的式子 , 也就是在一個式子中 , 數(shù)的關(guān)系不全是等號，含不等符號的式子，那它就是一個不等式 . 在利用不等式求解函數(shù)最值問題時 , 有些問題可以直接利用公式求解 , 有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解 。 利用圖像法求解時 , 設(shè)1 2y x?為反比例函數(shù) , 其圖像為雙曲線 , 2 1yx??是一次函數(shù) , 其圖像為直線 , 求 2 1xx??的解集 , 即求雙曲線在直線上方時 x 的范圍 . 解法一 : 用代數(shù)法 , 分下列兩種情形 : ① 當(dāng) 0x? 時 , 不等式兩邊都乘以 x , 得 22 xx??, 即 ( 2)( 1) 0xx? ? ?,解得 12x? ? ? , 又 0x? , 所以不等式的解集為 ? ?02xx?? . ② 當(dāng) 0x? 時 , 不等式兩邊都乘以 x , 得 22 xx??, 即 ( 2)( 1) 0xx? ? ?, 解得 1x?? 或 2x? , 又 0x? , 所以不等式的解集 ? ?1xx?? . 綜合①②得 , 不等式的解集為 ? 02xx?? 或 ?1x?? . 解法二 : 用圖像法 . 設(shè)1 2y x?, 2 1yx??, 畫出這兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像 , 聯(lián)立方 程1 2y x?, 2 1yx??, 求出其交點 , 分別為( 1, 2)A?? 和 (2,1)B , 觀察圖像可得 : 當(dāng) 02x??或 1x?? 時 , 雙 11 曲線在直線上方 , 即 2 1xx??, 于是不等式的解集為 ? 02xx?? 或?1x?? . 代數(shù)法主要適用于計算題 , 能夠充分的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的嚴謹性；圖像法則更適用于選 擇題、填空題等類型 , 能很直觀的讓人理解和接受 . 無論是用代數(shù)法解題，還是用圖像法解題 , 都要對問題進行分析，找出恰當(dāng)?shù)姆椒?，適當(dāng)?shù)貙︻}目進行變形，使問題更有效率的得到解決 . 例 7 若 a ,b +R? 且滿足 4 16+ =1ab , 求 ab? 的最小值 .[6] 分析 : 本題要求 ab? 的值 , 自然想到將已知條件轉(zhuǎn)化為4 16a b ab??, 但轉(zhuǎn)化后也不 能求得 ab? 的最小值 , 通過“ 1”的代換 , 4 16ab? 1? , 得 ab? = 4 16( )( )abab??, 再利用均值不等式 2a b ab??得到最小值 . 解 : 由 a ,b +R? 且 4 16+ =1ab , 得 ab? =()ab? 4 16+ab（ ） = 4 16+ +20baab 4 1 62 + 2 0 = 3 6baab?? , 當(dāng)且僅當(dāng) 4 16=baab, 即 12a? 且 24b? 時 , 等號