【正文】 I RR???? ??? ???? ? ?? ? ? ?? ?? []xn 是一個離散時間信號，其 DTFT 為 ()X? ，由于 ()X? 是連續(xù)變量 ? 的函數(shù)，除非 ()X? 可以表示為封閉形式，否則不能保存在數(shù)字計算及的存儲器中。 []xn 有一般意義的 DTFT 的充分條件是 []xn 絕對可和，即： | [ ]|n xn???? ??? 如果是時限的離散時間信號，顯然，上式中的和是有限值，類似這樣的信號都存在一般意義下的 DTFT。利用下面的關(guān)系，可以由直角坐標表達式換成極坐標表達式： 22| ( ) | ( ) ( )X R I? ? ??? ()a r c t a n , ( ) 0()()()a r c t a n , ( ) 0()I RRXI RR? ???????? ????? ?? ???? 離散時間信號的傅里葉分析 DTFT 已知一個離散時間信號 []xn ,他的離散時間傅里葉變換（ DTFT）定義為： ( ) [ ] jnnX x n e? ??????? ? (116) 一般地，由上式定義的 DTFT ()X? 是實變量 ? 的復(fù)值函數(shù)。下面將定義這兩種形式。 如前所述， ()X? 是實變量 ? 的復(fù)值函數(shù)，換句話說，若給定 ? ，則 ()X? 通常是復(fù)數(shù)。除了脈沖信號，我們感興趣的大部分信 號都是“表現(xiàn)良好”的。如果 ()xt是“表現(xiàn)良好”的和絕對可積的，那么積分就是收斂的。 式（ 110）的復(fù)指數(shù)級數(shù)的系數(shù) kc 可由如下公式計算得出： 001c ( ) , 0 , 1 , 2 ,T jk w tk x t e d t kT ?? ? ? ?? (111) 應(yīng)該注意到，式（ 111）給定的也能在任何整周期上的積分計算出來，例如： 0/2/21c ( ) , 0 , 1 , 2 ,T jk w tk T x t e d t kT ??? ? ? ?? (112) 傅里葉變換及其直角和極坐標表達式 給定一個信號 ()xt ，其傅里葉變換 ()X? 被定成頻率函數(shù)： ( ) ( ) ,jw tX x t e dt t? ? ???? ? ? ? ? ?? (113) 式中， ? 是連續(xù)頻率分量。 由式（ 12）給定的三角傅里葉級數(shù)可以在寫成余弦函數(shù)和相位的形式： 0 k 0 k1( ) a A c o s ( t + )kx t k?????? ? , t??? ?? (17) 式中： 22k k kA = , 1, 2 ,a b k?? (18) 并且： kkkkkkka r c ta n ( ) , 1 , 2 , , a 0=a r c ta n ( ) , 1 , 2 , , a 0b kab ka??? ? ? ????? ? ? ? ???當(dāng)當(dāng) (19) 由式（ 12）給定的三角傅里葉級數(shù)可以表示成如下的指數(shù)形式： 0k( ) ,ik w tkx t c e t?? ??? ? ? ? ? ?? (110) 在式（ 110）中， 0c 是實數(shù)，對于 k0? ， kc 一般是復(fù)數(shù)。注意，組成 ()xt 的諧波頻率為 0? 整數(shù)倍 0k? 。例如 T/ 20 T / 22a ( ) s in ( )k x t k t d tT ?? ?, 1,2,k? (15) 在式（ 12）中， 0a 項是常數(shù)，或者是 ()xt 的直流成分，由式（ 16）確定： T001a = ( )x t dtT ? (16) 表達式（ 12）叫做周期信號 ()xt 的三角傅里葉級數(shù)。 設(shè) ()xt 是基本周期為 T 的周期信號，則 ()xt 可以表示成復(fù)指數(shù)和（一般為無窮項）的形式： 0 k 0 k 01( ) a [ c o s ( t ) + b s i n ( t ) ]kx t a k k?????? ?, t??? ?? (12) 在式（ 12）中， 0a 、 ak 和 bk 都是實數(shù)， 0? 是基波頻率（ rad/s），且 0? =2? /T ， T 是周期。值得注意的是式（ 11）定義的信號完全由頻率，振幅和相信的相位所確定。例如，有限項正弦波疊加而成的連續(xù)時間信號 ()xt 為： k1( ) c o s ( t+ ),Nkkkx t A ???? ? t??? ?? （ 11） 式中， N 是正整數(shù)， kA （假設(shè)為非）是正弦波的振幅， k? （ rad/s）是正弦波的頻率， k? 是正弦波的相位。同時，若原信號是周 期性的，那該信號在頻率軸上將只占據(jù)有限個點，分析難度更是大大減小。傅里葉變換之后，依然是一個疊加的問題，只不過由時間角度的疊加變成了頻率角度的疊加，這時每一個信號分量都覆蓋了一個時間域上的整個區(qū)間，并且每一個 信號分量都是周期性的（三角函數(shù)的周期性），這樣，只需要知道每個信號分量的幅值、頻率、相位就能在時間軸上 得到它的所有信息，而所有信號分量的疊加就得到了原來的信號。而進行傅里葉變換之后，我們就能很好達到這個目的 —— 用一種方法來研究所有的信號（這些信號也需要滿足一定的條件，但范圍是非常廣的）。 關(guān)鍵詞： 傅里葉變換； DFT； FFT； 倒位序 1 背景知識 為什么要進行傅里葉變換 在進行科學(xué)研究的過程中，很重要的一點就是為一個系列的問題找到一個通法，從而為實際的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。然后進行 DFT 變換和 FFT 變換，兩者結(jié)果應(yīng)該是一樣的。 華中科技大學(xué) 信號與系統(tǒng)課程設(shè)論文 快速傅里葉變換 （ FFT） 的計算機實現(xiàn) 摘 要 用 C 語言編程完成對輸入波形的時域采樣的 FFT 變換以及頻域分析，同時用 DFT變換來驗證 FFT 變換結(jié)果的正確性。時域信號的輸入有兩種方式：一種是依次輸入時域信號（僅支持多個正弦及余弦信號之和的形式）各諧波分量的幅值和角頻率值，另一種是直接輸入時域信號的采樣值。 DFT 變換的實現(xiàn)直接脫胎于定義， FFT 變換采用的是 基 2 時間抽取算法， 用倒位序算法和蝶形算法實現(xiàn)。 在信號分析這個方向，如果直接對時域信號進行分析，那么我們將發(fā)現(xiàn)，很難找到一種固定的方法來進行分析，這是因為信號對時間 t的函數(shù)形式存在無數(shù)種，我們是無法將這些函數(shù)以及這些函數(shù)的各種形式的組合都統(tǒng)一起來進行研究的。 那么為什么傅里葉變換可以達到這樣的目的呢？對于一個時域信號，我們習(xí)慣從時間的角度進行理解，也就是以時間為自變量，以信號值為因變量，一個信號是該信號在所有的時間點的值的疊加，每個信號分量在時間域上只占據(jù)了一個點，要想得到這個信號的所有信息，我們需要知道這個信號在時間軸上每一點的值，缺一不可。并且 我們并非需要將所有信號分量都疊加起來，這是因為傅里葉變換之后，隨著信號分量頻率值的上升，信號分量幅值呈一個較快的下降趨勢，在精度允許的范圍內(nèi)，我們并不需要去考慮頻率 值 超出 某個范圍的那部分信號分量，我們所考慮的那個頻率區(qū)間 的信號分量的疊加已經(jīng)能夠很好的還原出原信號 ，而這個頻率區(qū)間只占據(jù)了頻率軸很少的部分，從而簡化了后面的分析過程。 對于時域信號來說，頻率含量就是信號被分成的正弦波簇所確定的所有頻率分量。 根據(jù)式（ 11）“信號中存在的”頻率就是組成該信號的正弦波頻率 12 N? ? ?， , ... ,其頻率成分就是組成信號的正弦波 k cos( t )kkA ??? 。 由式（ 11）定義的信號特征，可以通過對組成該信號的正弦頻率，振幅，相位來研究。系數(shù) ak 和 bk 可由下面的公式計算出來： 002a (