【正文】 ii ,2,1= ,1=)(,0=)( ?， qiyDyE ii ,2,1= ,1=)(,0)( ?，若記 ： ??????????????????????????????pp yyyyxxxx ?? 2121, 此時(shí) ，它們的協(xié)方差矩陣（也是相關(guān)系數(shù)矩陣）為： RRR RRyxD yyxy yxxx ?????????????????? ? 其中 ， ? ? ? ? yxxyyyxx RRyxC o vRyDRxD ???? ),(, 實(shí)際上，我們要找 ： ymvxlu 1111 , ???? 7598d14e6a212b8db2b4f9258f0234b1 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 2 of 44 使 1u 和 1v 的相關(guān)系數(shù) ),( 11 vu? 達(dá)到最大。直到進(jìn)行到找不到相關(guān)變量對(duì)時(shí)為止。這樣就把研究?jī)山M隨機(jī)變量間相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系。),( 21 pxxx ? 和 ),( 21 qyyy ? 可能是完 全不同的，但是它們的線性函數(shù)可能存在密切的關(guān)系，這種密切的關(guān)系能反映 ),( 21 pxxx ? 和 ),( 21 qyyy ? 之間的相關(guān)關(guān)系。 一、 典型相關(guān)分析 我們研究過(guò)兩個(gè)隨機(jī)變量間的相關(guān)，它們可以用相關(guān)系數(shù)表示。7598d14e6a212b8db2b4f9258f0234b1 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 1 of 44 第三十七課 典型相關(guān)分析 典型相關(guān)分析（ Canonical Correlation Analysis）是研究?jī)山M變量間相關(guān)關(guān)系的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法。它能夠揭示兩組變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，真正反映兩組變量間的線性相關(guān)情況。然而，在實(shí)際中常常會(huì)遇到要研究?jī)山M隨機(jī)變量間 ),( 21 pxxx ? 和 ),( 21 qyyy ? 的相關(guān)關(guān)系 問(wèn)題 。因此 ， 就要找出 ),( 21 pxxx ? 的一個(gè)線性組合 u 及 ),( 21 qyyy ? 的一個(gè)線性組合 v ，希望找到的 u 和 v之間有最大可能的相關(guān)系數(shù)，以充分反映兩組變量間的 關(guān)系。如果一對(duì)變量（ u ， v ）還不能完全刻 畫(huà) 兩組變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可以繼續(xù)找第二對(duì)變量，希望這對(duì)變量在與第一對(duì)變量（ u ，v ）不相關(guān)的情況下也具有盡可能大的相關(guān)系數(shù)。這便引導(dǎo)出典型相關(guān)變量的概念。由于對(duì)任意常數(shù) a ， b ， c ， d ， 有),(),( 1111 vudcvbau ?? ??? (其中 0?a ， 0?c )， 因而不妨假定 ： ? ? 1111 ??? lRluD xx () ? ? 1111 ??? mRmvD yy () 此時(shí) ， 111111 ),(),( mRlvuC o vvu xy???? 。若用一對(duì)變量還不足以完全反映兩組變量的相關(guān)時(shí)，可以定義第二對(duì)典型變量 ymvxlu 2222 , ???? ，這時(shí) 除要求 ? ? 12 ?uD ， ? ? 12 ?vD 外 ，還要求 ( ) 0=, 21 uuCov ， ? ? 0, 21 ?vuCov ，? ? 0, 21 ?uvCov 和 ? ? 0, 21 ?vvCov ，在這些條件下使 222222 ),(),( mRlvuC ovvu xy???? 達(dá)到最大。 2. 求法 我們采用 Lagrage 乘子法，從 1?j 開(kāi)始逐一求 jl 、 jm 。記 ： ? ? ? ? ? ?1212, 11111111 ???????? mRmlRlmRlml yyxxxy ??? () 其中 ， ? 、 ? 為 Lagrage 乘子，用 2?? 、 2?? 表示僅僅為了下面計(jì)算式的簡(jiǎn)單而已。再由 ()及 yyR 的非奇異性知 ： 111 1 lRRm yxyy?? ? () 將 其代入 式 ()，則 ： 1211 lRlRRR xxyxyyxy ??? () 再由 xxR 的非奇異性知 ： 12111 llRRRR yxyyxyxx ???? () 記 yxyyxyxx RRRRM 111 ??? ， 式 ()表明 2? 是 yxyyxyxx RRRR 11 ?? 的特征根， 1l 是其對(duì)應(yīng)的特征向量。第一典型相關(guān)系數(shù) 1? 是 yxyyxyxx RRRR 11 ?? 的最大特征根的算術(shù)根。由于 M1 與 M2 有相同的非零特征根，因此 ， 此時(shí)求出的 1m 和直接從 式 ()求出的 1m 是一致的。第 j 對(duì)典型變量對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù) j? 是 2j? 的算術(shù)根，這便是第 j 個(gè)典型相關(guān)系數(shù)， j = 1， 2， ? ， r，這里 r ≤ min(p ， q) 。 我們只能從樣本去其估計(jì) xxR? 、 xyR? 和 yyR? 。 二、 應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題 ? 典型相關(guān)是研究?jī)山M變量之間相關(guān)性的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。多重相關(guān)是典型相關(guān)的一個(gè)特例，簡(jiǎn)單相關(guān)是多重相關(guān)的一個(gè)特例。 ? 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的兩組變量間的典型相關(guān)系數(shù)與原始的兩組變量間的相應(yīng)典型相關(guān)系數(shù)是相同的。 ? 每個(gè)典型變量除在另一組里與其配對(duì)的那個(gè)典型變量外，它同所 有其他典型變量均不相關(guān)。 ? 至于選取多少對(duì)典型相關(guān)可通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)確定。簡(jiǎn)單相關(guān)和多重相關(guān)都是典型相關(guān)的特殊情況，此時(shí)兩組變量中有一組或兩組只含一個(gè)變量。 cancorr 過(guò)程一般由下列語(yǔ)句控制： 7598d14e6a212b8db2b4f9258f0234b1 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 5 of 44 proc cancorr data=數(shù)據(jù)集 選項(xiàng)列表 。 with 變量 。 freq 變量 。 by 變量列表 。 通常只有 var 與 with 語(yǔ)句經(jīng)常同 proc cancorr 語(yǔ)句一起使用。其余語(yǔ)句是可選擇的語(yǔ)句。 可以分成以下幾類(lèi)： （ 1） 有關(guān)輸出數(shù)據(jù)集選項(xiàng)。 ? outstat=輸出數(shù)據(jù)集 —— 存儲(chǔ)典型相關(guān)系數(shù)等統(tǒng)計(jì)數(shù)。 ? all—— 所有輸出項(xiàng)。 ? short—— 只輸出典型相關(guān)系數(shù)和多元分析統(tǒng)計(jì)數(shù)。 ? corr—— 相關(guān)系數(shù)。 ? vprefix=前綴名 —— 為 var語(yǔ)句的典型變量定義前綴。 ? wprefix=前綴名 —— 為 with 語(yǔ)句的典型變量定義前綴。 ? noint—— 模型中不包含回歸截距。 ? stb—— 輸出由回歸分析得到的標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)。 ? t—— 對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行 ｔ 檢驗(yàn)。 四、 實(shí)例分析 例 某康復(fù)俱樂(lè)部對(duì) 20 名中年人測(cè)量了三項(xiàng)生理指標(biāo)：體重（ weight ）、腰圍（ waist ）、脈搏（ pulse ）和三項(xiàng)訓(xùn)練指標(biāo)：引體向上（ chins ）、起坐次數(shù)（ situps ）、跳躍7598d14e6a212b8db2b4f9258f0234b1 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 6 of 44 次數(shù)（ jumps ）。試分析這兩組變量間的相關(guān)性。 input weight waist pulse chins situps jumps。 191 36 50 5 162 60 189 37 52 2 110 60 ? ? ? ? ? ? 138 33 68 2 110 43 。 數(shù)據(jù)步創(chuàng)建了康復(fù)俱樂(lè)部測(cè)試數(shù)據(jù)的 SAS 數(shù)據(jù)集，名為 fit，它有 20 個(gè)觀察， 6 個(gè)變量。 編程方法如下： 7598d14e6a212b8db2b4f9258f0234b1 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 7 of 44 proc cancorr data=fit all vprefix=PHYS vname=39。 wprefix=EXER wname=39。 var weight waist pulse。 run。選項(xiàng) all 要求輸出所有選擇的計(jì)算結(jié)果。 vname= 定義 了 來(lái)自 var 語(yǔ)句 中 第一 組 變量 的標(biāo) 簽 名為PhysiologicalMeasurements。 var 語(yǔ)句列出了第一組變量的名稱， with 語(yǔ)句列出了第二組變量的名稱。 表 均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù) Means and Standard Deviations 3 Physiological Measurements 3 Exercises 20 Observations Variable Mean Std Dev WEIGHT WAIST PULSE CHINS SITUPS JUMPS Correlations Among the Original Variables Correlations Among the Physiological Measurements WEIGHT WAIST PULSE WEIGHT WAIST PULSE Correlations Among the Exercises CHINS SITUPS JUMPS CHINS SITUPS JUMPS Correlations Between the Physiological Measurements and the Exercises CHINS SITUPS JUMPS WEIGHT WAIST PULSE 表 典型相關(guān)分析的一般結(jié)果 7598d14e6a212b8db2b4f9258f0234b1 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 8 of 44 Canonical Correlation Analysis Adjusted Approx Squared Canonical Canonical Standard Canonical Correlation Correlation Error Correlation 1 2