【正文】 等產量線都是雙曲線， 無限接近坐標軸，但不相交 柯布 道格拉斯函數 x x ya a1 21 2 ? y x xa a? 1 21 2x2 x1 所有的等產量線都是雙曲線， 無限接近坐標軸，但不相交 柯布 道格拉斯函數 x x ya a1 21 2 ? 39。 兩個投入變量的等產量線 Output, y x1 x2 y ????y ????兩個投入變量的等產量線 ?更多的等產量線告訴了我們更多的關于技術的信息。 ?假設生產函數為： y f x x x x? ?( , ) .1 2 11/ 3 21/ 32多種投入品的技術 ?例如投入束 (x1, x2) = (1, 8)的最大可行產出為： ?投入束 (x1,x2) = (8,8)的最大可行產出量為 ： y x x? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1 8 2 1 2 411/ 3 21/ 3 1/ 3 1/ 3 .y x x? ? ? ? ? ? ? ?2 2 8 8 2 2 2 811/ 3 21/ 3 1/ 3 1/ 3 .多種投入品的技術 Output, y x1 x2 (8,1) (8,8) 多種投入品的技術 ?產出 y的 等產量線 是指最大產出量為 y的所有投入束的集合。 y f x x n? ( , , )1 ?技術集 y = f(x) 為生產函數 x’ x 投入水平 產出水平 y’ y” y’ = f(x’) 為投入 x’可獲取的最大產出水平。 用向量 (x1, … , x n, y)來表示。 y f x x n? ( , , )1 ?生產函數 y = f(x) 為生產函數 x’ x 投入水平 產出水平 y’ y’ = f(x’) 表示投入 x’的可得到的最大產出量。 ?例如 (x1, x2, x3) = (6, 0, 9 3). 生產函數 ?y 表示產出水平。 也即投入品種 i的投入水平。 技術 ?一般來說集中技術能夠生產相同的產品 – 黑板和粉筆可以代替計算機和投影儀使用。第十八章 技術 技術 ?技術是只把投入轉換成產出的過程。 ?例如勞動力、計算機、投影儀、電力、和軟件等合起來上這堂課。 ?哪項技術是最好的？ ?我們對技術進行比較？ 投入束 ?xi 表示投入品種 i的投入量 i。 ?投入束 是投入品投入水平的向量，用 (x1, x2, … , x n)表示。 ?技術生產函數 表現了投入束的 最大 可能產出量。 一份投入，一份產出 技術集 ?一個 生產計劃 是一個投入束和一個產出水平。 ?生產計劃是可行的，假如他滿足下式 ?所有可行生產計劃集合就是 技術集。 一份投入一份產出 y” = f(x’) 投入 x’的可行產出量 技術集 技術集 為 T x x y y f x x andx xn nn? ?? ?{( , , , ) | ( , , ), , }.1 11 0 0? ??技術集 x’ x 投入水平 產出水平 y’ 一份投入一份產出 y” 技術集 技術集 x’ x 投入水平 產出水平 y’ 一份投入一份產出 y” 技術集 技術上無 效率的計劃 技術上有效率 的計劃 多種投入品的技術 ?假如投入品不止一種，那么技術會是什么樣子？ ?兩種投入品的例子 : 投入水平為 x1 和 x2. 產出水平為 y。 兩個投入變量的等產量線 y ????y ????x1 x2 兩個投入變量的等產量線 ?等產量線可以通過增加一條產出線，并把能夠產生相同產出的投入組合連接起來而得到。 兩個投入變量的等產量線 y ????y ????x1 x2 y ????y ????兩個投入變量的等產量線 Output, y x1 x2 y ????y ????y ????y ????含有多種投入要素的技術 ?所有等產量線的集合稱為 等產量線圖。x x ya a1 21 2 ? y x xa a? 1 21 2x2 x1 所有的等產量線都是雙曲線， 無限接近坐標軸，但不相交 柯布 道格拉斯函數 x x ya a1 21 2 ? 39。 y x xa a? 1 21 2固定比例生產函數 ?固定比例生產函數有如下形式： ?例如 其中 y a x a x a xn n? m i n { , , , }.1 1 2 2 ?y x x? m i n { , }1 22n a a n d a? ? ?2 1 21 2, .固定比例生產函數 x2 x1 min{x1,2x2} = 14 4 8 14 2 4 7 min{x1,2x2} = 8 min{x1,2x2} = 4 x1 = 2x2 y x x? m i n { , }1 22完全替代函數 ?完全替代函數有如下的形式： ? ?例如 其中 y a x a x a xn n? ? ? ?1 1 2 2 ? .y x x? ?1 23n a a n d a? ? ?2 1 31 2, .完全替代函數 9 3 18 6 24 8 x1 x2 x1 + 3x2 = 18 x1 + 3x2 = 36 x1 + 3x2 = 48 所有的等產量線都是線性的 和平行的 y x x? ?1 23邊際產品 ? 投入要素 i的邊際產出為在其它投入要素不變的情況下，產出變化與要素投入變化之比。例如假如 MP x x1 1 2 3 22 313? ? / /MP x x1 1 2 3 2 3 1 2 313 8 43? ?? ?/ / /假如 x2 = 27 那么 假如 x2 = 8,那么 MP x x1 1 2 3 2 3 1 2 313 27 3? ?? ?/ / / .邊際產品 ?邊際產品隨著投入要素 i的投入量的增加而 降低。 ?規(guī)模報酬 測度了 所有 投入要素 同等幅度改變時產出的變化。 例如 (k = 2) 所有要素加倍使得產出也加倍。 例如 (k = 2) 投入要素加倍但是產出并沒有加倍。 例如 (k = 2) 投入要素加倍導致產出 水平增加超過兩倍。 規(guī)模報酬 y = f(x) x 投入水平 產出水平 一分投入一份產出 規(guī)模報酬遞減 規(guī)模報酬遞增 規(guī)模報酬的例子 y a x a x a xn n? ? ? ?1 1 2 2 ? .完全替代生產函數為： 所有投入要素都擴大 k倍。產出變?yōu)椋? a kx a kx a kxk a x a x a xn nn n1 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( )( )? ? ?? ? ? ???規(guī)模報酬的例子 y a x a x a xn n? ? ? ?1 1 2 2 ? .完全替代生產函數為： 所有投入要素都擴大 k倍。 規(guī)模報酬的例子 y a x a x a xn n? m i n { , , , }.1 1 2 2 ?完全互補生產函數為： 所有投入要素都擴大 k倍，產出變?yōu)椋? m i n { ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2 ?規(guī)模報酬的例子 y a x a x a xn n? m i n { , , , }.1 1 2 2 ?完全互補生產函數為： 所有投入要素都擴大 k倍，產出變?yōu)椋? m in{ ( ), ( ), , ( )}( m in{ , , , })a kx a kx a kxk a x a x a xn nn n1 1 2 21 1 2 2???規(guī)模報酬的例子 y a x a x a xn n? m i n { , , , }.1 1 2 2 ?完全互補生產函數為： 所有投入要素都擴大 k倍，產出變?yōu)椋? m in{ ( ), ( ), , ( )}( m in{ , , , }).a kx a kx a kxk a x a x a xkyn nn n1 1 2 21 1 2 2????完全互補生產函數為規(guī)模報酬不變的生產函數。 假如 a1+ … + a n = 1 規(guī)模報酬的例子 y x x xa a na n? 1 21 2 ? .柯布 道格拉斯生產函數為： ( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a n a a an n1 21 2 1? ?? ? ?柯布 道格拉斯函數的規(guī)模報酬是 不變的 。 假如 a1+ … + a n = 1 遞增的 假如 a1+ … + a n 1 遞減的 假如 a1+ … + a n 1. 規(guī)模報酬 ?Q:是否存在一個生產函數，它的邊際產品遞減但確實規(guī)模報酬遞增的？ 規(guī)模報酬 ?Q:是否存在一個生產函數，它的邊際產品遞減但確實規(guī)模報酬遞增的？ ?A: 存在 ?例如 y x x? 12 3 22 3/ / .規(guī)模報酬 y x x x xa a? ?12 3 22 3 1 21 2/ /a a1 2 43 1? ? ?因此這個生產函數展示了遞增的規(guī)模報酬。 但是 MP x x1 1 1/ 3 22 323?? /隨著 x1增加而減小 規(guī)模報酬 y x x x xa a? ?12 3 22 3 1 21 2/ /a a1 2 43 1? ? ?因此這個生產函數展示了遞增的 規(guī)模報酬。為什么？ 規(guī)模報酬 ?邊際產品是指在其它投入要素不變的情況下，某一要素投入量改變所導致的產出變化與投入變化之比。 規(guī)模報酬 ?當所有的投入要素都同比例增加，邊際產品將不會改變，因為每一投入要素的比例與其他要素保持恒定。 技術替代率 ?在不改變產出的情況下，一種要素對于另一種要素的替代率為多少？ 技術替代率 x2 x1 y?????x239。技術替代率 x2 x1 y?????斜率表明了在不改變產出的前提下，當投入要素 1增加時要素 2必須減少的量。 x239。技術替代率 ?技術替代率如何計算？ 技術替代率 ?技術替代率如何計算？ ?生產函數為： ?投入束的微笑改變導致產出的改變量為： y f x x? ( , ).1 2dy yxdx yxdx? ?????1 1 2 2.技術替代率 dy yxdx yxdx? ?????1 1 2 2.但是 dy = 0 因為產出沒有改變，因此 dx1 和 dx2 必須滿足下式： 01122? ?????yxdx yxdx .技術替代率 01122? ?????yxdx yxdx重新整理得 ????yxdx yxdx2211? ?因此 dxdxy xy x2112? ? ? ?? ?//.技術替代率 dxdxy xy x2112? ? ? ?? ?//表示了在保持產出不變的前提下，要素 1增加時 要素 2必須減少的數量。 技術替代率 。 柯布 道格拉斯的例子 T