一類線性變換多項(xiàng)式的維數(shù)特征-展示頁
2024-08-31 14:28本頁面
【正文】 由歸納法假設(shè)，得 11[ ( ) ] [ ( ) ] ( 2 )miir x r f x m n???? ? ?? 于是由定理 2 及上式，得 1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]mi m mir f r x f x r x r f x n? ? ?? ? ? ? ?? 11 [ ( ) ] ( 2 ) [ ( ) ]mimi r f x m n r f x n??? ? ? ? ?? 1 [ ( )] ( 1)mii r f x m n?? ? ??. ３ 結(jié)果 應(yīng)用 下面將利用我們的結(jié)果（定理 1定理 4），把國內(nèi)近期一些文獻(xiàn)中許多結(jié)果統(tǒng)一起來，重新給出其推導(dǎo)，其方法較相關(guān)文獻(xiàn)更簡單，某些結(jié)果較原結(jié)論 更優(yōu) .為行文方便，下面的一些結(jié)論以命題形式給出： 命題 1 設(shè) ( ), ( ) [ ]f x g x P x? ， ( ( ), ( )) 1f x g x ? ， nnAP?? ，則 ( ) ( ) 0f A g A ? 的充分必要條件是 [ ( )] [ ( )]r f A r g A n??. 證明 由推論 1 即得 . 注 在 本命題的相同條件下，文獻(xiàn) [2]僅得到： ( ) ( ) 0f A g A ? ? [ ( )] [ ( )]r f A r g A n?? 我們通過命題 1 把它推廣成一個(gè) 充分必要條件 . 命題 2 設(shè) ( ) [ ]if x P x? ， 1,2, ,im? ， 12( ), ( ), ..., ( )mf x f x f x兩兩互素， nnAP?? ，且 12( ) ( ) ( ) 0mf A f A f A ?，則 1 ( ( )) ( 1)mii r f A m n? ???. 證明 把定理 4 關(guān)于線性變換的結(jié)果轉(zhuǎn)化為矩陣的相應(yīng)結(jié)果，得到 1 1( ( ) ) ( 1 ) [ ( ) ]mmiii ir f A m n r f A? ?? ? ?? ? 并注意到 12( ) ( ) ( ) 0mf A f A f A ?，于是有1 ( ( )) ( 1)mii r f A m n? ???，推論 3 得證 . 注 本結(jié)果比文獻(xiàn) [2]中定理 3 的 相應(yīng)結(jié)論 11 ( ( ) ) ( 1 )2 m iim n r f m n??? ? ?? 更為精確 . 命題 3 設(shè) A 是 n 階方陣， ()f? 是 A 的特征多項(xiàng)式或最小多項(xiàng)式，而 12,?? , s? 是矩陣 A 的所有互不相同的特征值， 1212( ) ( ) ( ) ( ) skkk sf ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，則 1212( ) ( ) ( ) ( 1 )skkk sr A E r A E r A E s n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 證明 記 1( ) ( ) ikif ? ? ???， 1,2, ,is? ，則 12( ) ( ) ( ) ( )sf f f f? ? ? ?? ，而且12( ), ( ), , ( )sf f f? ? ?兩兩互素，若 ()f? 是 A 的特征多項(xiàng)式或最小多項(xiàng)式，由哈密爾頓定理或最小多項(xiàng)式定義，得 12( ) ( ) ( ) ( ) 0sf A f A f A f A??，于是由命題 2得 11( ( ) ) ( ) ( 1 )iss kiiiir f A r A E s n???? ? ? ???. 注 本結(jié)果比文獻(xiàn) [2]中問題 3 的 相應(yīng)結(jié)論 11 ( ( ) ) ( 1 )2 s iisn r f s n??? ? ?? 更為精確 . 命題 4[1] 設(shè) , , , 1k s t s t??皆為自然數(shù)， 對任意 nnAP?? ，有 1( ) ( ) ( ) ( )t k s t k s tr A r A A r A r A A? ? ? ?? ? ? ? ? （ 1） 特別當(dāng) 2k s t? ? ? 時(shí)有 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )r A r A r A A r A A? ? ? ? ? （ 2） 證明 注意到 1( ,1 ) 1t k s txx? ? ???， 1( ,1 ) 1k s txx? ? ???，由定理 2 或推論 1，則有如下等式 1()t k sr A A ???? 1[ ( )]t k s tr A E A ? ? ?? 1( )
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