九年級培優(yōu)易錯試卷二次函數(shù)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含答案-展示頁
2025-03-31 22:00本頁面
【正文】 的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點P是線段BD上一點，當(dāng)PE＝PC時，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標(biāo)為（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對稱軸為x＝＝1．當(dāng)x＝1時，y＝4，∴點D的坐標(biāo)為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點P的坐標(biāo)為（2，2）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．6．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．【解析】【分析】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80y（mm），根據(jù)平行得出△APN和△ABC相似，根據(jù)線段的比值得出y的值，然后得出邊長；(2)、根據(jù)第一題同樣的方法得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.【詳解】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80y（mm）∵PN∥BC, ∴=，△APN∽△ABC ∴=∴=∴=解得 y=∴2y=∴這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm(2)、設(shè)PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面積為S ，則AE=80x（mm）．.由（1）知=∴=∴ y=則S=xy===∵∴ S有最大值 ∴當(dāng)x=40時，S最大=2400（mm2） 此時，y==60 ．∴面積達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩邊PQ、PN長分別是40 mm ，60 mm．考點：三角形相似的應(yīng)用7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標(biāo)為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點．（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)△BDM為直角三角形時，求的值．【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．（2）存在．S△PBC最大值為 （3）或時，△BDM為直角三角形．【解析】【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點的坐標(biāo)．（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理求出最大值．（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90176。時；②∠BDM=90176。, ∴討論∠BMD=90176。兩種情況：當(dāng)∠BMD=90176。時，BD2+ DM2= BM2，即＋=，解得：，(舍去) ．綜上所述，或時，△BDM為直角三角形．8． 閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部．（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當(dāng)點A′在平行于坐標(biāo)軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．【解析】試題分析：（1）根據(jù)特征線直接求出點D的特征線；（2）由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計算即可．試題解析：解：（1）∵點D（m，n），∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵拋物線解析式為，∴，∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，將n=m+1帶入得到m=2，
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