【正文】 關(guān)于x的一元二次方程，可求得另一交點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)a＜b，判斷a＜0，確定D、M、N的位置，畫(huà)圖1，根據(jù)面積和可得△DMN的面積即可；（3）先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式，畫(huà)出圖2，先聯(lián)立方程組可求得當(dāng)GH與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的值，再確定當(dāng)線段一個(gè)端點(diǎn)在拋物線上時(shí)，t的值，可得：線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍．【詳解】解：（1）∵拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），∴a+a+b=0，即b=2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a（x+）2，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；（2）∵直線y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），∴0=21+m，解得m=2，∴y=2x2，則，得ax2+（a2）x2a+2=0，∴（x1）（ax+2a2）=0，解得x=1或x=2，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），∵a＜b，即a＜2a，∴a＜0，如圖1，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線于點(diǎn)E，∵拋物線對(duì)稱軸為，∴E（，3），∵M(jìn)（1，0），N（2，6），設(shè)△DMN的面積為S，∴S=S△DEN+S△DEM=|（ 2）1|?|（3）|=??a，（3）當(dāng)a=1時(shí)，拋物線的解析式為：y=x2x+2=（x+）2+，由，x2x+2=2x，解得：x1=2，x2=1，∴G（1，2），∵點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴H（1，2），設(shè)直線GH平移后的解析式為：y=2x+t，x2x+2=2x+t，x2x2+t=0，△=14（t2）=0，t=，當(dāng)點(diǎn)H平移后落在拋物線上時(shí)，坐標(biāo)為（1，0），把（1，0）代入y=2x+t，t=2，∴當(dāng)線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，t的取值范圍是2≤t＜．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、三角形的面積等知識(shí)．在（1）中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得GH與拋物線一個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)交點(diǎn)的分界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．2．如圖，已知拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．①當(dāng)線段PQ=AB時(shí)，求tan∠CED的值；②當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2－2x－3．（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．【解析】【分析】已知C點(diǎn)的坐標(biāo)，即知道OC的長(zhǎng)，可在直角三角形BOC中根據(jù)∠BCO的正切值求出OB的長(zhǎng)，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)．已知了△AOC和△BOC的面積比，由于兩三角形的高相等，因此面積比就是AO與OB的比．由此可求出OA的長(zhǎng)，也就求出了A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．【詳解】（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴?＝1∴b=2∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴c=3，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3；（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，x22x3=0．∴x1=1，x2=3．∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，∴A（1，0），B（3，0）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，則，∴∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x3；（3）①∵AB=4，PQ=AB，∴PQ=3∵PQ⊥y軸∴PQ∥x軸，則由拋物線的對(duì)稱性可得PM=，∵對(duì)稱軸是直線x=1，∴P到y(tǒng)軸的距離是，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?，∴P（?，?）∴F（0，?），∴FC=3OF=3=∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，∴CE=2FC=∵點(diǎn)D在直線BC上，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2，則D（1，2），過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CECG=1=．在Rt△EGD中，tan∠CED=．②P1（1，2），P2（1，）．設(shè)OE=a，則GE=2a，當(dāng)CE為斜邊時(shí)，則DG2=CG?GE，即1=（OCOG）?（2a），∴1=1（2a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的縱坐標(biāo)為2，把y=2，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3得：x=1+或1∵點(diǎn)P在第三象限．∴P1（1，2），當(dāng)CD為斜邊時(shí)，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=，∴P和F的縱坐標(biāo)為：，把y=，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3得：x=1，或1+，∵點(diǎn)P在第三象限．∴P2（1，）．綜上所述：滿足條件為P1（1，2），P2（1，）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣x﹣3（2）運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）【解析】【詳解】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過(guò)點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2∴當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大=．答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)K在拋物線上．∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過(guò)點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S