【正文】 的知識證明出CE=CF，繼而證明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，從而證明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE，交MD于點G，標(biāo)記出各個角，首先證明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等證出AE=AF，而DM=AF，從而得到DM，MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到∠DMN=∠DGE=90176?！摺鰿EF是等腰直角三角形，∠C=90176?！郉M⊥MN；（3）（2）中的兩個結(jié)論還成立，連接AE，交MD于點G，∵點M為AF的中點，點N為EF的中點，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵點M為AF的中點，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可證：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90176?！郉M⊥MN．所以（2）中的兩個結(jié)論還成立.考點：；；；．3．在△ABC中，AB=BC，點O是AC的中點，點P是AC上的一個動點（點P不與點A，O，C重合）．過點A，點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F，連接OE，OF．（1）如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=90176?！唷螦BE+∠BAE=90176。∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如圖3中，點P在線段AO上，延長EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30176?！郋K=2FK=4，OF=EK=2，∵△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP=.如圖4中，點P在線段OC上，當(dāng)PO=PF時，∠POF=∠PFO=30176?！郞P=OE=，綜上所述：OP的長為或.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.4．如圖，在等腰中，點E在AC上且不與點A、C重合，在的外部作等腰，使，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系；將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段BC上時，如圖，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若，在圖的基礎(chǔ)上將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度． 【答案】（1）證明見解析；（2）①②或.【解析】【分析】如圖中，結(jié)論：，只要證明是等腰直角三角形即可；如圖中，結(jié)論：，連接EF，DF交BC于K，先證明≌再證明是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當(dāng)時，四邊形ABFD是菱形、如圖中當(dāng)時，四邊形ABFD是菱形分別求解即可.【詳解】如圖中，結(jié)論：．理由：四邊形ABFD是平行四邊形，，，，是等腰直角三角形，．故答案為．如圖中，結(jié)論：．理由：連接EF，DF交BC于K．四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，在和中，≌，，是等腰直角三角形，．如圖中，當(dāng)時，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H，易知，如圖中當(dāng)時，四邊形ABFD是菱形，易知，綜上所述，滿足條件的AE的長為或．【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考?？碱}型．5．如圖，四邊形ABCD中，∠BCD=∠D=90176。時，求∠AEC的度數(shù)；（3）當(dāng)△ACE為直角三角形時，求邊BC的長.【答案】（1）；（2）∠AEC=105176。．又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35176。即可得到結(jié)論． （3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEC=90176。解△ABH即可得到結(jié)論．②當(dāng)∠CAE=90176。得四邊形ADCH為矩形．在△BAH中，AB=2，∠BHA=90176。．又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35176?！唷螦EC=70176。=105176。時，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30176。∠AHB=90176。時，易知△CDA∽△BCA，又，則（舍負(fù)）易知∠ACE90176。AB=AD，進(jìn)而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AFAE=EF，等量代換可得證.【詳解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90176。∴∠ADE+∠DAE=90176?！唷螦DE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．點睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．已知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點（不與點A、D重合），連接PB、PC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，AD與EF交于點M；（1）如圖1，當(dāng)AB＝AC時，求證：四邊形EGHF是矩形；（2）如圖2，當(dāng)點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）見解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，推出EF∥GH，EF=GH，證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出結(jié)論；（2）由△APE與△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE與△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF與△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，證得△PGH