階段性測(cè)試題9-文庫(kù)吧資料
2024-12-16 07:11本頁(yè)面
【正文】 x＋ (m＋ 1)y－7m－ 4＝ 0， (m∈ R)． (1)證明 ： 不論 m取什么實(shí)數(shù) ， 直線 l與圓恒交于兩點(diǎn) ； (2)求直線被圓 C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí) l的方程 ． [解析 ] (1)證法 1： l的方程 (x＋ y－ 4)＋ m(2x＋ y－ 7)＝ 0(m∈ R) ∴????? 2x＋ y－ 7＝ 0，x＋ y－ 4＝ 0， ? ????? x＝ 3，y＝ 1. 即 l恒過(guò)定點(diǎn) A(3,1)， 圓心坐標(biāo)為 C(1,2)，半徑 r＝ 5， |AC|＝ 5r， ∴ 點(diǎn) A在圓 C內(nèi)，從而直線 l恒與圓 C相交于兩點(diǎn) ． 證明 2：圓心到直線 l的距離 d＝ |3m＋ 1|5m2＋ 6m＋ 2， d2－ 5＝－ ?4m＋ 3?25m2＋ 6m＋ 20， ∴ d 55＝ r，所以直線 l恒與圓 C相交于兩點(diǎn) ． (2)弦長(zhǎng)最小時(shí)， l⊥ AC， ∵ kAC＝ 1－ 23－ 1＝－ 12， ∴ kl＝ 2， ∴ － 2m＋ 1m＋ 1＝ 2? m＝－ 34， 代入 (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝ 0， 得 l的方程為 2x－ y－ 5＝ 0. 18． (本小題滿(mǎn)分 12 分 )已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) ， 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸 ， 且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4， 95)， Q(－ 5 53 ， 2)． (1)求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ； (2)求與橢圓 C有相同焦點(diǎn) ， 且過(guò)點(diǎn) M(3，－ 15)的橢圓 D的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． [解析 ] (1)設(shè)橢圓 C的方程為 mx2＋ ny2＝ 1(m0， n0)． ∵ 點(diǎn) P(4， 95)， Q(－ 5 53 ， 2)在橢圓 C上， ∴??? 16m＋ 8125n＝ 1，1259 m＋ 4n＝ 1，解得 m＝ 125， n＝ 19， ∴ 橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x225＋y29＝ 1. (2)由 (1)可知橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x225＋y29＝ 1. 又橢圓 D與橢圓 C有相同 焦點(diǎn)， ∴ 可設(shè)橢圓 D的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x225＋ k＋y29＋ k＝ 1(k－ 9)， 而點(diǎn) M(3，－ 15)在橢圓 D上， ∴ 925＋ k＋ 159＋ k＝ 1， 即 k2＋ 10k－ 231＝ 0， ∴ 解得 k＝ 11 或 k＝－ 21(舍去 )， ∴ 所求橢圓 D的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x236＋y220＝ 1. 19． (本小題滿(mǎn)分 12 分 )已知 A， B 是拋物線 y2＝ 4x 上的兩點(diǎn) ， N(1,0)， 若存在實(shí)數(shù) λ，使 AB→ ＝ λAN→ ， 且 |AB|＝ 163 ， 令 A(xA， yA)， 若 xA1， yA0， 求 λ的值 ． [解析 ] 易知 N(1,0)為拋物線 y2＝ 4x的焦點(diǎn)，且直線 AB過(guò)焦點(diǎn) N， 當(dāng)直線 AB與 x軸垂直時(shí)， xA＝ 1與 xA1矛盾，不合題意 ． 所以符合條件的直線 AB的斜率存在且設(shè)為 k. 則直線方程為 y＝ k(x－ 1)，代入 y2＝ 4x得 k2x2－ 2(k2＋ 2)x＋ k2＝ 0. 已知 A(xA， yA)，設(shè) B(xB， yB)， 則 xA＋ xB＝ 2?k2＋ 2?k2 ， xAxB＝ 1. 由拋物線的性質(zhì)知 AB＝ xA＋ xB＋ 2＝ 4＋ 4k2＝ 163 ， 得 k＝ 177。 3x. 又拋物線的準(zhǔn)線方程為 x＝－ p2， 所以聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程可得求 A(－ p2， 3p2 )， B(－ p2，－ 3p2 )． 在 △ AOB中， |AB|＝ 3p， O 到 AB的距離為 p2，因?yàn)?S△ AOB＝ 3，所以 12北京東城區(qū)統(tǒng)一檢測(cè) )如圖 ， 已知拋物線 y2＝ 2px(p0)的焦點(diǎn)恰好是橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)的右焦點(diǎn) F， 且這兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn) F， 則該橢圓的離心率為 ________． [答案 ] 2－ 1 [解析 ] 如圖，設(shè) F′ 為橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓與拋物線在 x軸上方的交點(diǎn)為 A，連接 AF′ ，所以 |FF′ |＝ 2c＝ p，因?yàn)?|AF|＝ p，所以 |AF′ |＝ 2 |AF′ |＋ |AF|＝ 2a，所以 2a＝ 2p＋ p，所以 e＝ ca＝ 2－ 1. 14． 如圖所示 ， 橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)與過(guò)點(diǎn) A(2,0)、 B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T， 且橢圓的離 心率 e＝ 32 ， 則橢圓的方程是 ________． [答案 ] x22＋y212＝ 1 [解析 ]
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