【正文】 FIR 設(shè)計(jì)方法 窗口設(shè)計(jì)法 頻率采樣法 切比雪夫一致逼近法 濾波器長度 N 70 41 35 幅度 最 小 衰減 (dB) 50 30 50 表 23 基于三種設(shè)計(jì)方法的濾波器性能比較 由表 23 可知：由切比雪夫一致逼近法設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器長度 N 最小，即設(shè)計(jì)出濾波器階數(shù)最小， 頻率采樣 法次之，而窗口設(shè)計(jì)法濾波器長度最大。 取補(bǔ)充的采樣點(diǎn)樣值為 T=，又過渡帶寬度 B= ? ? =? ，所以可估算濾波器長度 N≥ (m+1)2? /B=40，留一點(diǎn)富余量，取 N=41。 調(diào)用 MATLAB 程序 (見附錄 1)可得其設(shè)計(jì)濾波器的沖激響應(yīng)和幅度相應(yīng)如下圖： 13 采用頻率采樣法 設(shè)計(jì) 將過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 s? 的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表 22，因此可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 s? 選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m。 基于三種設(shè)計(jì)方法的數(shù)字 低通 FIR 濾波器比較 若要求設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 數(shù)字低通濾波器，技術(shù)指標(biāo) 均為 ： ??? ， ??? ，50s dB? ? ， 分別采用窗函數(shù)、頻率采樣、切比雪夫一致逼近三種設(shè)計(jì)方法，最后比較 三種方法的 設(shè)計(jì)性能。 (4) 計(jì)算濾波器的單位脈沖響應(yīng) ()hn 。 (2) 形成 ()iPe?? 、 ()iWe?? 和 ()jPe? 。如果在尋找 ()px 時(shí)，能使誤差函數(shù)為某一個(gè) ()nCx，那么這樣的 ()px 將是對 ()fx的最佳一致逼近。 切比雪夫一致逼近原理 切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，對給定區(qū)間 [a,b]上的連續(xù)函數(shù) ()fx，在所有 二次多項(xiàng)式的集合 nP 中，尋找一個(gè)多項(xiàng)式 ()Px? ，使它在 [a,b]上對 ()fx的偏差和其他一切屬于nP 的多項(xiàng)式 ()px 對 ()fx的偏差相比是最小的，即： m a x | ( ) ( ) | m in { m a x | ( ) ( ) |}a x b a x bP x f x p x f x?? ? ? ?? ? ? (26) 根據(jù)切比雪夫逼近理論，這樣的多項(xiàng)式 ()Px? 是存在的，且是唯一的，并指出了構(gòu)造這種最佳一致逼近多項(xiàng)式的方法，就是有名 的“交錯(cuò)點(diǎn)組定理”，該定理描述如下： 設(shè) ()fx是定義在 [a,b]上的連續(xù)函數(shù)， ()px 為 nP 中一個(gè)階次不超過 n的多項(xiàng)式，并令： m a x | ( ) ( ) |n a x bE p x f x???? (27) 及： ( ) ( ) ( )E x p x f x?? (28) ()px 是 ()fx最佳一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是， ()Ex 在 [a,b]上至少存在 n+2 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)1 2 2na x x x b?? ? ? ? ?，使得： ( ) , 1 , 2 , , 2inE x E i n? ? ? ? (29) 且： 1( ) ( ) , 1 , 2 , , 2iiE x E x i n?? ? ? ? (210) 這 n+2 個(gè)點(diǎn)即是“交錯(cuò)點(diǎn)組”，顯然 1 2 2, , , nx x x ? 是 ()Ex的極值點(diǎn) n階切比雪夫多項(xiàng)式： ( ) c os( a r c c os ) , 1 1nC x n x x? ? ? ? (211) 在區(qū)間 [1,1]上存在 n+1 個(gè)點(diǎn) c o s( ) , 0 ,1, ,kx k k nn???，輪流使得 ()nCx取得最大值 +1 和最小值 1。切比雪夫逼近法 正是利用這種思想進(jìn)行 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的。 從 FIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以看出，極點(diǎn)都在 z平面的原點(diǎn)，而零點(diǎn)的分布是任意的。窗函數(shù)法不容易設(shè)計(jì)預(yù)定給出截止頻率的濾波器，也不能解決當(dāng)濾波器的階數(shù) N 給定時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)最佳的 FIR 數(shù)字濾波器的問題。 為了提高逼近的質(zhì)量，可以采用人為的擴(kuò)展過渡帶的方法，即在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個(gè)或多個(gè)比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，使過渡帶比較連續(xù)，從而通帶和阻帶之間變化比 較緩慢，使得設(shè)計(jì)得到的濾波器對理想濾波器的逼近誤差較小。 (6) 將 ()hn 作為所設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)，求其系統(tǒng)函數(shù)： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? 由于頻譜的有限個(gè)采樣值恢復(fù)出來的頻率響應(yīng)實(shí)際上是對理想頻率響應(yīng)的逼近，因此，這種方法必然有一定的逼近誤差。 (4) 頻域采樣： 22( ) ( ) ( )| k jkj Nd d dkNH k H e H e???? ???。 (2) 確定過渡帶寬度 B，估算濾波器長度 N。 設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng)為 ()jdHe? ，它是連續(xù)頻率 ? 的周期函數(shù)，對其抽樣， 則 每一個(gè)周期有 N 個(gè)抽樣值，即 22( ) ( ) ( )| k jkj Nd d dkNH k H e H e???? ??? (21) 對 ()dHk作 IDFT，可得到 N 點(diǎn)的單位抽樣序列 ()hn ，即： 2101( ) ( ) , 0 , 1 , 1N j n kNdkh n H k e n NN???? ? ?? (22) 將 ()hn 作為所設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)，這樣就可以求出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? (23) 若 ()Hz用 ()dHk表示，即將 (22)式代入 (23)式中可得： 21100211001( ) [ ( ) ]1 ()NN j nknNdnkNN j nknNdknH z H k e zNH k e zN?????????????????? (24) 經(jīng)推導(dǎo)，有： 10 12011( ) ( )1NNd j n kk nNzH z H kN ez???? ????? (25) (25)式就是直接利用頻率采樣值 ()dHk形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 窗口設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)簡單， 可以設(shè)計(jì)任意頻率特性的濾波器，因而很實(shí)用，其缺點(diǎn)是通帶和阻帶的邊界頻率不易控制，長度 N 也不易一次決定，往往要反復(fù)幾次才能求得滿意的結(jié)果。 (3) 計(jì)算 ()dhn，即 1( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?。當(dāng)給定窗的長度 N，最大旁窗衰減 r，則其 3dB 帶寬 B 的表達(dá)式為： / 2 0 1a r c c o s 1 0a r c c o s [ ( c o s ) ]1 rhB N ?? ? 其 N=64，且 r=100dB 的窗時(shí)域幅度和頻域幅度特性曲線為： (7) 巴特利特窗 當(dāng)窗長 N 為奇數(shù)時(shí)，巴特利特窗函數(shù)的時(shí)域形式可以表示為： 8 2 ( 1 ) 1112()2 ( 1 ) 1212kNkNwkkN kNN??? ???? ??? ???? ? ?? ?? 當(dāng)窗長 N 為 偶 數(shù)時(shí)： 2 ( 1 ) 112()2 ( ) 112kNkNwkn k N kNN?? ???? ??? ??? ? ?? ?? 其 N=64 的窗時(shí)域幅度和頻域幅度特性曲線為： 過渡帶寬和阻帶最小衰減是 評價(jià)不同 窗函數(shù)設(shè)計(jì)的 FIR數(shù)字濾波器 性能的兩個(gè)重要 指標(biāo)， 下面列出 以上幾種窗函數(shù)的基本 性能 參數(shù) （表 21） ： 窗函數(shù)類型 旁瓣峰值 /dB 過渡帶寬度 B 阻帶最小衰減/dB 近似值 精確值 矩形窗 13 4? /N ? /N 21 三角窗 25 8? /N ? /N 25 漢寧窗 31 8? /N ? /N 44 哈明窗 41 8? /N ? /N 53 布萊克曼窗 57 12? /N 11? /N 74 切比雪夫窗 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 巴特利特窗 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 表 21 各種窗函數(shù)的基本參數(shù) 9 窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的一般步驟 如下 ： (1) 根據(jù)對阻帶衰減及過渡帶的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)類型，并估計(jì)窗口長度 N。 (2) 與主瓣的幅度相比，旁瓣應(yīng)盡可能小，以減小帶內(nèi)、帶外波動(dòng)的最大振幅。旁瓣所包圍的面積越大， 則 通帶波動(dòng)增加，阻帶衰減減少。 理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)經(jīng)窗函數(shù)加權(quán)后，對幅頻特性將主要產(chǎn)生以下影響： (1) 理想的 ()dH? 在通帶 截止頻率 c? 處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，從而使 ()H? 出現(xiàn)一個(gè)過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù)的 主瓣寬度。因而，先 由 ()jdHe? 的 IDFT 導(dǎo)出 ()dhn，即： 1( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ? 由于 ()jdHe? 是矩形頻率特性，故 ()dhn一定是無限長的序列，且是非因果的。 4 2 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 窗口設(shè)計(jì)法 一般的設(shè)計(jì)過程總是先給定一理想的濾波器頻率響應(yīng) ()jdHe? ，然后設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 濾波器，用它的頻率響應(yīng) 10( ) ( )Nj j nnH e h n e??? ??? ?來逼近理想的 ()jdHe? 。本 篇文章 設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器就是 在 MATLAB 平臺上 進(jìn)行設(shè)計(jì)和仿真 的 。它們體積小 ， 性能 高 ，但 是 靈活性 較 差。 (5) 用 特殊 功能的專用信號處理器實(shí)現(xiàn) 。由于現(xiàn)在的 FPGA 產(chǎn)品迅速發(fā)展，所以 人們可以利用 FPGA 產(chǎn)品，使用相關(guān)的開發(fā)工具和 VHDL等開發(fā)語言，通過軟件編 程，用硬件實(shí)現(xiàn)特定的數(shù)字濾波算法。 DSP 處理器是專門 為數(shù)字信號處理而設(shè)計(jì)的 ， 它的主要數(shù)字運(yùn)算單元是一個(gè) 累加器 MAC，能夠在一個(gè)機(jī)器周期內(nèi)完成一次乘累加運(yùn)算，配有適合于信號處理的指令，具備獨(dú)特的循環(huán)尋址和倒序?qū)ぶ?功能， 這些特點(diǎn)都非常適合 于 數(shù)字信號處理中的濾波器設(shè)計(jì)， 而且 它 的 速度快、穩(wěn)定性好、編程方便。但是由于單片機(jī)采用的 是 馮諾依曼總線結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)比較復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算速度慢，而在數(shù)字濾波器中卻要涉及大量的乘加運(yùn)算，因此這 種方法 不適用于運(yùn)算量很大的實(shí)時(shí)信號的數(shù)字濾波處理 。 (2) 在單片機(jī)上 實(shí)現(xiàn)。 3 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法 目前數(shù)字濾波器的主要實(shí)現(xiàn)方法有： (1) 在通用的計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。 (4) IIR 數(shù)字濾波器雖然設(shè)計(jì)簡單， 但主要用于設(shè)計(jì)具有片斷常數(shù)特性的選頻性濾波器，如低通、高通、帶通、帶阻等，往往脫離不了幾種典型模擬濾波器的頻響特性的約束。 IIR 數(shù)字濾波器 的反饋有 時(shí)會(huì)造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，為了減少運(yùn)算誤差， IIR 數(shù)字濾波器對運(yùn)算的精度要求也較高。 (2) FIR 數(shù)字濾波器不存在內(nèi)部 反饋，因而系統(tǒng)穩(wěn)定。 與 IIR 數(shù)字濾波器相比， FIR 數(shù)字濾波器主要有以下優(yōu)點(diǎn)： (1) FIR 數(shù)字濾波器可以做到嚴(yán)格的線性相位，而 IIR 數(shù)字濾波器則做不到這一點(diǎn)， IIR數(shù)字濾波器的頻率選擇性越好，則相位的非線性越嚴(yán)重。 有限長單位脈沖響應(yīng) (FIR)在保證 幅度特性滿足技術(shù)要求的同時(shí)，很容易做到嚴(yán)格的線性相位特性，如 FIR 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)的長度為 N，則其系統(tǒng)函數(shù) H(z)為 ： 10( ) ( )zN nnH z h n? ???? H(z)是 zn? 的 N1 次多項(xiàng)式，它在 z 平面上有 N1 個(gè)零 點(diǎn)，在原點(diǎn) z=0 處有一個(gè) N1重極點(diǎn)，因此， H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。但設(shè)計(jì)中只考慮了幅度特性 ，沒考慮相位特性，所設(shè)計(jì)的濾波器一般是某種確定的非線性相位特性。 2 數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)長度分類，可以分成無限長單位脈沖響 應(yīng) (IIR)濾波器和有限長單位脈沖響應(yīng) (FIR)濾波器。正 因 為數(shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積 小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。 數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。 (4) 可以實(shí)現(xiàn)多維信號處理。 (3) 可以實(shí)現(xiàn)模擬系統(tǒng)很難達(dá)到的指標(biāo)或特性。 (2) 靈活性強(qiáng)。 與傳統(tǒng)的模擬信號處理方法相比，數(shù)字信號處理有以下一些明顯的