【正文】 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?210210( 2 1 )2120221220102 ( 2 1 )c os22Re2ReNexNexx upNjNexu x uNjjNNexF f xNxuF u f xNNf x eNe f x eN????????????????????? ??????? ???????? (326) 由式 326 可得 ? ?221 20xuN j Nex f x e?? ??? 是 2N 點(diǎn)的離散傅立葉變換。 以一維離散余弦變換為例，對快速算法進(jìn)行推導(dǎo)。 一維離散余弦反變換 ? ?IDCT 由下式表示： ? ? ? ? ? ?? ?1121210 c o s 2NNN uxuf x F F u N ???????? ????? (321) 把上述的一維 DCT 推廣到二維離 散變換，表達(dá)式如下： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11002 1 2 1, , c o s c o s22NNxyx u y vF u v a u a v f x y NN???????????? (322) 逆變換可以表示為： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11002 1 2 1, , c o s c o s22NNuvx u y vf x y a u a v F u v NN???????????? (323) 其中：空域和變換域元素矩陣維數(shù)為 N； yx, 是像素空間的坐標(biāo)， , 0 ,1, 2 , ..., 1x y N??； 14 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) vu, 是 DCT 空間的坐標(biāo)， 7,1,0, ??vu ； ? ?,f xy 是二維空間域的元素； ? ?,Fuv 為經(jīng)過二維離散余弦變換后的變換域元素； 式中系數(shù)為 ? ? ? ?120 , , 1 1a a x x NNN? ? ? ? ? 離散余弦變換的計算 與傅立葉 變換一樣，離散余弦變換自然可以從定義出發(fā)進(jìn)行計算。離散余弦變換表示為 DCT。 快速傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)步驟為： （ 1） 開辟存儲空間用以保存加權(quán)系數(shù) iW 及中間變量； （ 2） 采用頻率分解法進(jìn)行蝶形運(yùn)算； （ 3） 重新排列序列順序； 13 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) （ 4） 釋放存儲空間?？焖俑盗⑷~變換并不是一種新的變換方式，它是是離散傅立葉變換的一種算法，這種方法是建立在分析離散傅 立葉變換中的多余運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)而消除這些重復(fù)工作的思想指導(dǎo)下得到的，從而在運(yùn)算中節(jié)省了大量的計算時間，達(dá)到快速運(yùn)算的目的。 快速 傅立葉變換 現(xiàn)在，離散傅立葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具，但是它的計算量較大，運(yùn)算時間長，在某種程度上限制了它的使用。 （ 7） 對稱性 函數(shù)的傅 立葉變換具有對稱性，相應(yīng)的表達(dá)式為： ),()],([ vufyxFF ??? (313) （ 8） 相關(guān)定理 如果 ),( yxf 和 ),( yxg 為兩個二維時域函數(shù)，則可以定義相關(guān)運(yùn)算 o 如下： ? ????? ???? ??? d a d bbyaxgbafyxogyxf ),(),(),(),( 則： *[ ( , ) ( , ) ] ( , ) ( , )F f x y g x y F u v G u v? ? ? (314) 12 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) ),(),()],(),([ * vuoGvuFyxgyxfF ?? (315) 其中 ),( vuF 為 ),( yxf 函數(shù)的傅立葉變換， ),( vuG 為函數(shù) ),( yxg 的傅立葉變換 ),(* yxg 為 ),( yxg 的共軛， ),(* vuG 為 ),( vuG 的共軛。推導(dǎo)如下： ( , ) ( , ) e xp[ 2 ( ) ]F u f x y j ux y dx dy? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ( , ) e xp( 2 ) e xp( 2 )f x y j ux j y dx dy? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? [ ( , ) e xp( 2 ) ] e xp( 2 )f x y j ux dx j y dy? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? { [ ( , ) ] } e xp( 2 )F f x y j y dy????????? { [ ( , )]}yxF F f x y? (36) （ 3） 平移性 傅立葉變換具有平移的特性，推導(dǎo)如下： )](2e x p [),()],([ 0000 yuxjuFyyxxfF ??? ????? (37) 11 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) ),()]}(2e x p [),({ 0000 ???? ???? uuFyxujyxfF (38) （ 4） 共軛性 如果函數(shù) ),( yxf 的傅立葉變換為 ),( ?uF ， ),( yxf ?? 的傅立葉變換的共軛函數(shù)為： ),(* ???uF ，那么： ),(Fv)(u , * vuF ??? (39) （ 5） 尺度變換特性 如果函數(shù) ),( yxf 的傅立葉變換為 ),( vuF ， a,b 是兩個標(biāo)量，那么： ),()],([ vuaFyxafF ? (310) ),(1)],([ bvauFabbyaxfF ? (311) （ 6） 旋轉(zhuǎn)不變性 如果空間域函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度為 0? ，則在變換域中該函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)相同的角度。下面列出二維傅立葉變換的一些重要性質(zhì)。例如， 8 點(diǎn) FFT 算法一共需要 12 次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和 24 次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，而 8 點(diǎn) DFT 的直接定義計算方法一共需要 64 次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和 56 次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。1,2,1,0 ???? NyMx ?? 當(dāng)圖像為方陣時，即 M=N，則二維離散傅立葉變換公式為： ? ??? ?? ??? 10 10 )(2),(),( Nx Ny N yxjeyxfF ????? (33) 10 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) ? ??? ?? ?? 10 10 )(22 ),(1),( N Nv N yxjevuFNyxf ? ??? (34) 為降低傅立葉變換的計算量，節(jié)省運(yùn)算時間，在 1965 年， Cooley 和 Tukey提出 了一種快速傅立葉變換（ FFT）算法。 傅立葉變換的基本概念 傅立葉變換 [7]是一種常見的正交變換，在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用離散傅立葉葉變換的概念。正如表示空間的一個矢量可以用不同的坐標(biāo)系一樣，變換的途徑雖然不同，但是它們都是空域圖象 的變換域表示式。 8 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) 系統(tǒng)總流程圖 圖 21 系統(tǒng)總流程圖 圖像文件讀取 正變換圖像顯示 頻域信息保存 原始圖像顯示 DCT 變換 從文本讀取信息 IDCT 變換 逆變換圖像顯示 9 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) 3 正交變換知識概述 圖像處理中的正交變換 數(shù)字圖象處理 [6]的方法主要分為兩大類：一類是空域的處理方法（或稱空空域法）。 GDI接口是基于函數(shù)的，而 GDI+是基于 C++類的對象化的應(yīng)用程序編程接口，因此使用起來比 GDI 要方便。因此， GDI+為我們提供了 Bitmap、 Image 等類，它們可用于顯示、操作和保存 BMP、 JPG、 GIF 等圖像格式。 GDI+主要提供了以下三類服務(wù)： （ 1）二維矢量圖形： GDI+提供了存儲圖形基元自身信息的類（或結(jié)構(gòu)體）、存儲圖形基元繪制方式信息的類以及實(shí)際進(jìn)行繪制的 類。 顧名思義， GDI+是 GDI 的增強(qiáng)版。譬如，顯示一張位圖，程序員需要進(jìn)行“裝入位圖―讀取位圖文件頭信息―啟用設(shè)備場景―調(diào)色板變換”等一連串操作。 GDI 函數(shù)大致可分類為：設(shè)備上下文函數(shù)（如 GetDC、 CreateDC、 DeleteDC）、 畫線函數(shù)（如 LineTo、 Polyline、 Arc）、填充畫圖函數(shù)（如 Ellipse、 FillRect、Pie）、畫圖屬性函數(shù)（如 SetBkColor、 SetBkMode、 SetTextColor）、文本、字體函數(shù)（如 TextOut、 GetFontData）、位圖函數(shù)（如 SetPixel、 BitBlt、 StretchBlt）、坐標(biāo)函數(shù)（如 DPtoLP、 LPtoDP、 ScreenToClient、 ClientToScreen）、映射函數(shù)（如 SetMapMode、 SetWindowExtEx、 SetViewportExtEx）、元文件函數(shù)（如PlayMetaFile 、 SetWinMetaFileBits ）、區(qū)域函數(shù)（如 FillRgn、 FrameRgn、InvertRgn）、路徑函數(shù)（如 BeginPath、 EndPath、 StrokeAndFillPath）、裁剪函數(shù)（如 SelectClipRgn、 SelectClipPath）等。開發(fā) Windows 應(yīng)用程序時，程序員關(guān)心的是邏輯坐標(biāo)，我們在邏輯坐標(biāo)系上繪圖，利用 GDI 將邏輯窗口映射到物理設(shè)備上。 為實(shí)現(xiàn)圖形設(shè)備無關(guān)性， Windows 的繪圖操作在一個設(shè)備描述表上進(jìn)行。它是Windows 圖形顯示程序與實(shí)際物理設(shè) 備之間的橋梁， GDI 使得用戶無需關(guān)心具體設(shè)備的細(xì)節(jié)，而只需在一個虛擬的環(huán)境（即邏輯設(shè)備）中進(jìn)行操作。 系統(tǒng)需要實(shí)現(xiàn)的功能 本文 所介紹的圖像正交變換實(shí)現(xiàn)以下過程 (圖像格式為 jpg,bmp, gif)： a) 圖 像 文件讀寫操作實(shí)現(xiàn) ； b) 圖 像 文件的顯示實(shí)現(xiàn) ； c) 離散余弦變換 —— 正逆變換； d) 保存正變換過程得到頻率域參數(shù) (寫入文本文件 )； e) 讀文件，逆變換 (讀取文本文件 )。 逆變換也可以單獨(dú)完成，即通過讀文件得到相關(guān)參數(shù)，便可以直接進(jìn)行圖像逆變換，得到逆變換后的圖像。由于采用了 GDIPLUS 方法對圖像進(jìn)行讀取 ,所以圖像格式可為 jpg,bmp, gif,彩色和灰度圖像均可 ,但是圖像經(jīng)讀取之后，其數(shù)據(jù)全部轉(zhuǎn)換成 RGB 色，灰 6 畢 業(yè) 設(shè) 計 ( 論文 ) 度圖像的 R， G 和 B 數(shù)據(jù)相同。通過繼承性，能形成類之間的層次結(jié)構(gòu)。 繼承性是指一個類可以派生出的新的類。 不同的類或?qū)ο髮ν饨鐐魅氲南嗤畔⒛軌蚋鶕?jù)自身的性質(zhì)作出不同的反應(yīng)，這就是多態(tài)性。外界不能直接對類進(jìn)行修改，而只能通過這個接口把信息傳給類，并由類定義對內(nèi)部數(shù)據(jù)進(jìn)行修改，外界不能決定這種修改的結(jié)果，只能得到類進(jìn)行操作所得出的反應(yīng)。 封裝性是 OOP 的核心技術(shù)，是面向?qū)ο蟪绦蛘Z言將數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的方法組合在類中，并具有模塊化和信息隱藏的特征。面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計語言具有如下的特征： 面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計語言將程序描述的事情看成一個整體，稱為對象，對象是包含數(shù)據(jù)和代碼的完全獨(dú) 立的實(shí)體。面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計方法就是在這種背景下出現(xiàn)和發(fā)展起來的。傳統(tǒng)的程序設(shè)計語言以設(shè)計代碼為核心，程序設(shè)計實(shí)際上是指定程序指令的先后順序，數(shù)據(jù)表示必須適應(yīng)代碼的設(shè)計。用戶可以在集成環(huán)境中創(chuàng)建工程、打開工程，建立、打開和編輯文件，編譯、鏈結(jié)、運(yùn)行和調(diào)試應(yīng)用程序。 采用 C++來進(jìn)行圖象編程的主要原因是， 與 Java 和 C等現(xiàn)代編程語言相比， C++在程序運(yùn)行的效率、內(nèi)存使用的可控性和編程的靈活性上具有優(yōu)勢。 系統(tǒng)的開發(fā)環(huán)境 面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計（ Object— Oriented Programming,OOP） [ 5]方法已出現(xiàn)近近 30 年，在 20 世紀(jì) 90 年代已經(jīng)成為程序設(shè)計的主流方向。本文研究的離散余弦正交變換是其中的一個子部分，它們是最基本最重要 的。 離散余弦變換也經(jīng)常被用來使用譜方法來接偏微分方程，這時候離散余弦變換的不同的變量對應(yīng)著數(shù)組兩端不同的奇 /偶邊界條件。其中 (0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置表示不同頻率的交流分類。這時對應(yīng)第二種類型離散余弦變換中的 n 通常是 8，并用該公式對每個8x8 塊的每行進(jìn)