20xx高中數(shù)學(xué)人教a必修1第二章222-對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-文庫吧資料
2024-10-10 14:33本頁面
【正文】 C． D．2x－2解析：因為函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函數(shù)f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函數(shù)的定義域為( )A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函數(shù)f(x)的值域為(1,9]．故函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域為(1,9]．答案：B【例3－3】若函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)圖象過點(1,5)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象必過點( )A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)解析：由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，而點(1,5)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(5,1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象必經(jīng)過點(5,1)．答案：A4．利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式及函數(shù)值對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)＝logax(a＞0，且a≠1)中僅含有一個常數(shù)a，則只需要一個條件即可確定對數(shù)函數(shù)的解析式，這樣的條件往往是已知f(m)＝n或圖象過點(m，n)等等．通常利用待定系數(shù)法求解，設(shè)出對數(shù)函數(shù)的解析式f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，利用已知條件列方程求出常數(shù)a的值．利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式時，常常遇到解方程，比如logam＝n，這時先把對數(shù)式logam＝n化為指數(shù)式的形式an＝m，把m化為以n為指數(shù)的指數(shù)冪形式m＝kn(k＞0，且k≠1)，則解得a＝k＞0．還可以直接寫出，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡．例如：解方程loga4＝－2，則a－2＝4，由于，所以．又a＞0，所以．當然，也可以直接寫出，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)，得．【例4－1】已知f(ex)＝x，則f(5)＝( )A．e5 B．5e C．ln 5 D．log5e解析：(方法一)令t＝ex，則x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x．所以f(5)＝ln 5．(方法二)令ex＝5，則x＝ln 5，所以f(5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，試求f(3)的值．分析：設(shè)出函數(shù)f(x)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出．解：設(shè)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，∵對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，∴．∴a2＝．∴a＝．∴f(x)＝．∴f(3)＝＝－1．【例4－3】已知對數(shù)函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象過點(2,9)，且f(b)＝，試求b的值．解：設(shè)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，則它的反函數(shù)為y＝ax(a＞0，且a≠1)，由條件知a2＝9＝32，從而a＝3．于是f(x)＝log3x，則f(b)＝log3b＝，解得b＝．5．對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，＋∞)．(2)在求對數(shù)型函數(shù)的定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義．一般地，判斷類似于y＝logaf(x)的定義域時，應(yīng)首先保證f(x)＞0．(3)求函數(shù)的定義域應(yīng)滿足以下原則：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；③指數(shù)為零的冪的底數(shù)不等于零；④對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；⑤對數(shù)的真數(shù)大于零，如果在一個函數(shù)中數(shù)條并存，求交集．【例5】求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；(3)．分析：利用對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義求解．解：(1)要使函數(shù)有意義，則1－x＞0，解得x＜1，所以函數(shù)y＝log5(1－x)的定義域是{x|x＜1}．(2)要使函數(shù)有意義，則解得x＞且x≠1，所以函數(shù)y＝log(2x－1)(5x－4)的定義域是(1，＋∞)．(3)要使函數(shù)有意義，則解得＜x≤1，所以函數(shù)的定義域是．6．對數(shù)型函數(shù)的值域的求解(1)充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象是求函數(shù)值域的常用方法．(2)對于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)這兩個函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．(3)對于函數(shù)y＝f(l
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