【正文】 天定為集合論誕生日 . 康托爾的不朽功績(jī) 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲曷宸蛟u(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說(shuō)：“康托爾的不朽功績(jī)?cè)谟谒驘o(wú)窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)” .因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對(duì)無(wú)窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對(duì)之聲 之由來(lái) . 數(shù)學(xué)與無(wú)窮有著不解之緣 ,但在研究無(wú)窮的道路上卻布滿(mǎn)了陷阱 .因?yàn)檫@一原因 ,在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中 ,數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無(wú)窮 ,并盡可能回避這一概念 .但試圖把握無(wú)限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿(mǎn)陷阱的不歸路 .他把無(wú)窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué) ,從而進(jìn)入了一片未開(kāi)墾的處女地 ,開(kāi)辟出一個(gè)奇妙無(wú)比的新世界 .對(duì)無(wú)窮集的研究使他打開(kāi)了“無(wú)限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子 .下面就讓我們來(lái)看一下盒子打開(kāi)后他釋放出的是什么 . “我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱(chēng)作自然數(shù)集 ,用字母 N 來(lái)表示 .”學(xué)過(guò)集合那一章后 ,同學(xué)們應(yīng)該對(duì)這句 話不會(huì)感到陌生 .但同學(xué)們?cè)诮邮苓@句話時(shí)根本無(wú)法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無(wú)窮觀念的工作 .在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的 ,一種變化著成長(zhǎng)著的東西來(lái)解釋 .無(wú)限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中 ,永遠(yuǎn)完成不了 ,是潛在的 ,而不是實(shí)在 .這種關(guān)于無(wú)窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為潛無(wú)限 .十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn) .用他的話說(shuō) ,就是“??我反對(duì)將無(wú)窮量作為一個(gè)實(shí)體 ,這在數(shù)學(xué)中是從來(lái)不允許的 .所謂無(wú)窮 ,只是一種說(shuō)話的方式??”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí) ,他是把無(wú)限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西 ,這樣他就肯定了 作為完成整體的無(wú)窮 ,這種觀念在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為實(shí)無(wú)限思想 .由于潛無(wú)限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利 ,康托爾的實(shí)無(wú)限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是無(wú)足為怪的 .然而康托爾并未就此止步 ,他以完全前所未有的方式 ,繼續(xù)正面探討無(wú)窮 .他在實(shí)無(wú)限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論 ,創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論 .這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無(wú)限世界 . 最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無(wú)窮集元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究 .他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來(lái)比較無(wú)窮集元素的個(gè)數(shù) .他把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為個(gè)數(shù)相同 ,用他自己的概念是等勢(shì) .由于一個(gè)無(wú)窮集可以與它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)――例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系――也就是說(shuō)無(wú)窮集可以與它的真子集等勢(shì) ,即具有相同的個(gè)數(shù) .這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾 .而康托爾認(rèn)為這恰恰是無(wú)窮集的特征 .在此意義上 ,自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù) ,他將其稱(chēng)為可數(shù)集 .又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì) ,因而有理數(shù)集也是可數(shù)集 .后來(lái)當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù) [注 ]集合也是可數(shù)集時(shí) ,一個(gè)很自然的想法是無(wú)窮集是清一色的 ,都是可數(shù)集 .但出乎意料的是 ,他在 1873 年證明 了實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集 .這不但意味著無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù) ,而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟 ,如同有人描述的那樣：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成 .”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí) ,人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已 .這是何等令人震驚的結(jié)果！然而 ,事情并未終結(jié) .魔盒一經(jīng)打開(kāi)就無(wú)法再合上 ,盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個(gè)無(wú)窮數(shù)的怪物 .從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無(wú)窮集之間存在著差別 ,有著不同的數(shù)量級(jí) ,可分為不同的層次 .他所要做的下一步工作是證明在所有的無(wú)窮集之間還 存在著無(wú)窮多個(gè)層次 .他取得了成功 ,并且根據(jù)無(wú)窮性有無(wú)窮種的學(xué)說(shuō) ,對(duì)各種不同的無(wú)窮大建立了一個(gè)完整的序列 ,他稱(chēng)為“超限數(shù)” .他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來(lái)表示超限數(shù)的精靈 ,最終他建立了關(guān)于無(wú)限的所謂阿列夫譜系 ,它可以無(wú)限延長(zhǎng)下去 .就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論 ,描繪出一幅無(wú)限王國(guó)的完整圖景 .可以想見(jiàn)這種至今讓我們還感到有些異想天開(kāi)的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震動(dòng)數(shù)學(xué)家們的心靈了 .毫不夸張地講 ,康托爾的關(guān)于無(wú)窮的這些理論 ,引起了反對(duì)派的不絕于耳的喧囂 .他們大叫大喊地反對(duì)他的理論 .有人嘲笑集合論是一種“疾病” ,有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧” ,稱(chēng)“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄” .作為對(duì)傳統(tǒng)觀念的一次大革新 ,由于他開(kāi)創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域 ,提出又回答了前人不曾想到的問(wèn)題 ,他的理論受到激烈地批駁是正常的 .當(dāng)回頭看這段歷史時(shí) ,或許我們可以把對(duì)他的反對(duì)看作是對(duì)他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧 . 公理化集合論的建立 集合論提出伊始 ,曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對(duì) ,康托爾本人一度成為這一激烈論爭(zhēng)的犧牲品 .在猛烈的攻擊下與過(guò)度的用腦思考中 ,他得了精神分裂癥 ,幾次陷于精神崩潰 .然而集合論前后經(jīng)歷二十余年 ,最終獲得了世界公認(rèn) .到二十世紀(jì)初 集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同 .數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了 .他們樂(lè)觀地認(rèn)為從 算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā) ,借助集合論的概念 ,便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈 .在 1900 年第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上 ,著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“??數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了 .今天 ,我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了 .”然而這種自得的情緒并沒(méi)能持續(xù)多久 .不久 ,集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界 .這就是 1902 年羅素得出的羅素悖論 .羅素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身 (即不包含自身作為元素 )的集合 R是否屬于 R？如果 R屬于 R,則 R滿(mǎn)足 R的定義 ,因此 R不應(yīng)屬于自身 ,即 R 不屬于 R；另一方面 ,如果 R 不屬于 R,則 R 不滿(mǎn)足 R 的定義 ,因此 R應(yīng)屬于自身 ,即 R 屬于 ,不論何種情況都存在著矛盾 .這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地 .絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中 .這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī) .危機(jī)產(chǎn)生后 ,眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去 .1908 年 ,策梅羅提出公理化集合論 ,后經(jīng)改進(jìn)形成無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng) ,簡(jiǎn)稱(chēng) ZF 公理系統(tǒng) .原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上 ,從而避免了悖論 的出現(xiàn) .這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論 .與此相對(duì)應(yīng) ,在 1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱(chēng)為樸素集合論 .公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理 .它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論 ,因而較圓滿(mǎn)地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī) .公理化集合論的建立 ,標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利 ,他大聲疾呼：沒(méi)有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂(lè)園中趕出去 .從康托爾提出集合論至今 ,時(shí)間已經(jīng)過(guò)去了一百多年 ,在這一段時(shí)間里 ,數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化 ,包括對(duì)上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合 論的出現(xiàn)等等 .而這一切都是與康托爾的開(kāi)拓性工作分不開(kāi)的 .因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí) ,我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對(duì)他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié) . 它是對(duì)無(wú)限最深刻的洞察 ,它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品 ,是人類(lèi)純智力活動(dòng)的最高成就之一 . 超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物 ,在純粹理性的范疇中人類(lèi)活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一 . 這個(gè)成就可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作 . 康托爾的無(wú)窮集合論是過(guò)去兩千五百年中對(duì)數(shù)學(xué)的最令人不安的獨(dú)創(chuàng)性貢獻(xiàn)之一 . 注：整系數(shù)一元 n 次方程的根 ,叫代數(shù)數(shù) .如一切有理數(shù)是代 數(shù)數(shù) .大量無(wú)理數(shù)也是代數(shù)數(shù) .如根號(hào) x22=0的根 .實(shí)數(shù)中不是代數(shù)數(shù)的數(shù)稱(chēng)為超越數(shù) .相比之下 ,超越數(shù)很難得到 .第一個(gè)超越數(shù)是劉維爾于 1844 年給出的 .關(guān)于π是超越數(shù)的證明在康托爾的研究后十年才問(wèn)世 . 集合間的基本關(guān)系 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ,能識(shí)別給定集合的子集； ,了解全集與空集的含義 . 【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】 ？ ？怎樣用Ｖ enn圖來(lái)表示？ ？它有什么特殊規(guī)定？ 之間關(guān)系的性質(zhì)有哪些？ 【自主嘗試】 ① ? ? ? ?1, 2 , 3 , 2 ,1 , 3AB?? ② ? ? ? ?, , , ,A a b B a b c?? ① ??0 是空集 ② ??5 的子集的個(gè)數(shù)為１ 【課堂探究】 一、問(wèn)題 1 我們知道實(shí)數(shù)有大、小或相