【正文】 爬到樓頂 D處測(cè)得塔頂 B處的仰角為 30176。 9 8 1 6 鍵，最后按 = 鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 拓展 (1)上面的結(jié)果是以“度”為單位的，再按 2ndf D﹒ M’ S 鍵，即可顯示出以“度、分、秒”為單位的結(jié)果． (2)求角度的計(jì)算結(jié)果，如沒(méi)有特別說(shuō)明，一般精確到“ l′”． 知識(shí)點(diǎn) 3 仰角、俯角 如圖 l— 40所示，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)， 當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角． 當(dāng)從高處觀測(cè)低處 的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角． ┃規(guī)律方法小結(jié)┃ 科學(xué)計(jì)算器是學(xué)習(xí)和計(jì)算中比較有利的 工具，用科學(xué)計(jì)算器取代筆算是數(shù)學(xué)改革發(fā)展的必然，本節(jié)的學(xué)習(xí)要注意掌握科學(xué)計(jì)算器相關(guān)功能鍵的意義，同時(shí)在利用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要能夠利用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題來(lái)解決． 課堂檢測(cè) 基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題 用計(jì)算器計(jì)算 sin 35176。 M′ S 3 8 D176。的值． 解：先按 sin 鍵，再依次按 1 6 =鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值． 若度數(shù)的單位是用度、分、秒表示的，在用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)，同樣先按 sin， cos， tan 三個(gè)鍵之一，然后再依次按度 D﹒ M’ S、分 D﹒ M’ S、秒D﹒ M’ S 鍵，然后按 = 鍵，則屏幕上就會(huì)顯示出結(jié)果． 例如：求 sin 72176。 30′的值如何去求呢 ? 【點(diǎn)撥】利用科學(xué)計(jì)算器可求一般銳角的三角函數(shù)值．利用計(jì)算器可求得 tan 30176。∠ BAC＝ 30176。＋ (2－π )0－ (13)－ 1＝ 22－ 222＋ 1－ 3＝ 2－ 2． 【解題策略】 熟記特殊角的三角函數(shù)值及其他 三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算 學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意 義 . . . 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 . . 知識(shí)概覽圖 ?????用 科 學(xué) 計(jì) 算 器 求 三 角 函 數(shù)三 角 函 數(shù) 的 有 關(guān) 計(jì) 算 已 知 三 角 函 數(shù) 值 ， 用 科 學(xué) 計(jì) 算 器 求 角 度有 關(guān) 仰 角 、 俯 角 的 問(wèn) 題 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】觀察右圖，通過(guò)計(jì)算可知：在冬至日正午時(shí)的太陽(yáng)入射角為 30176。＝ 4y，即 y=4tan 60176。 .又∵ BD 是∠ ABC 的平分線， ∴∠ ABD＝∠ DBC＝ 30176。∠ A=30176?！?BD＝ 2AB=2． 在 Rt△ ADC 中， CD＝2 2 2 2( 13 ) ( 2 3 )AC AD? ? ?＝ 1， ∴ BC＝ BD＋ CD＝ 2＋ 1＝ 3． 當(dāng)△ ABC 為鈍角三角形時(shí) (如圖 1— 35 所示 )， 過(guò) A 作 AD⊥ BC 交 BC的延長(zhǎng)線于 D， 同理可求得 BD=2， CD=1，∴ BC＝ BD－ CD＝ 2－ 1＝ 1。＝ 432＝23． ∵∠ BAD＝ 90176。方法┃ 解此類問(wèn)題的基 本思路是將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的目標(biāo)主要有兩個(gè)：一是構(gòu)造可解的直角三角形；二是利用已知條件，通過(guò)設(shè)參數(shù)列方程．在解直角三角形時(shí)，常用的等量關(guān)系式有：勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系、面積關(guān)系等． ┃分析┃ △ ABC 是一個(gè)非直角三角形，要想辦法將其轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)解．要求 BC 的長(zhǎng)，關(guān)鍵是求出△ ABC 的高，因?yàn)槿切蔚男螤畈淮_定，所以求三角形的高時(shí)應(yīng)該有兩種情況． 解 ：當(dāng)△ ABC 為銳角三角形時(shí) (如圖 1— 34 所示 )， 過(guò) A 作 AD⊥ BC，垂足為 D． 在 Rt△ ADB 中，∵∠ B＝ 60176。方法┃ (1)由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．如本例中已知 BC，解直角三角 形 ACB，應(yīng)求的未知元素有 AC， AB，∠ A，∠ B． (2)在直角三角形中，除直角外，只要再知道兩個(gè)元素 (其中至少有一個(gè)是邊 )，則這個(gè)直角三角形中的其他元素都可以求出來(lái)． ┃分析┃ 已知∠ B＝∠ D＝ 90176。． ∵ cos A=ACAB,∴ AC=ABcos A=ABcos 30176。 ,∠ B＝ 90176。． 又∵∠ B=∠ B,∴△ BDC∽△ BCA,∴BC BDAB BC?，∴ BC2=BD AB，其中 BD＝ AB－ AD＝ AB－63，由此可得到關(guān)于 AB 的一個(gè)方程，解方程可得所需的另一條件． 解 ：在 Rt△ ACB 中，∠ ACB＝ 90176。 = 22==1． ∵ cosB= BDAB，∴ BD=AB cos 30176。 =22AC． 在 Rt△ ADB 中， sin B＝ADAB， ∴ AD＝ ABsin B=AB sin 30176。 =(12)2＋ (22)2＋ 2122=1 1 1 54 2 2 4? ? ?. (2)2sin 45176。＋ 2cos 60176。＋ (2－π )0－ (13)1． 學(xué)后反思 附： 課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案 課堂檢測(cè) ┃分析┃ 先將特殊角的三角函數(shù)值代入，再進(jìn)行計(jì)算． 解 ： (1)sin2 30176。 BD 是∠ ABC的平分線， AD=20，求 BC的長(zhǎng)． 體驗(yàn)中考 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn) P(4， y)在第一象限內(nèi)，且 OP與 x軸正半軸的夾角為 60176。求 BC的長(zhǎng)． 如圖 1— 36 所示，在 Rt△ ACB 中，∠ C＝ 90176。 CD⊥ AB 于 D， AD＝63， BC＝43，解這個(gè)直角三角形． 如圖 1— 33 所示，在四邊形 ABCD 中，∠ B=∠ D=90176?！?C＝ 45176。； (2)2sin 45176。＋ 2cos 60176。角的三角函數(shù)值，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法． 課堂檢測(cè) 基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題 求下列各式的值 ． (1)sin2 30176。45176。和 45176。 60176。 =1． ┃規(guī)律方法小結(jié)┃ 本節(jié)由熟悉的三 角尺引入特殊角 (30176。 =22,cos 45176。角的直角三角形是等腰三角形”這一特征．不妨設(shè)一條直角邊為 1，則另一條直角邊也為 1，斜邊為 2，如圖 l— 30 所示，由此可求出 45176。角的三角函數(shù)值． 求 45176。 =12， tan 60176。角的各三角函數(shù)值 .sinA60176。角的對(duì)邊和鄰邊分別是 60176。角的三角函數(shù)值可以利用求 30176。 =33. 60176。 =12,cos 30176。角的鄰邊為3，如圖 l— 29 所示，由此可求出 30176。角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”這一特征．不妨設(shè) 30176。角的三角函數(shù)值． 求 30176。 60176。 =33. 教材精華 知識(shí)點(diǎn) 30176。 =12， cos 30176。角的三角函數(shù)值都是可求的．通過(guò)觀察、分析、討論直接寫出 30176。 45176。 90176?；?45176。 60176。 、 60176。 角的三角函數(shù)值 . 30176。 、 45176。 、 60176。 角的三角函數(shù)值的計(jì)算 . 30176。 、 45176。 、 60176。角的三角函數(shù)值 學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí) 目標(biāo)】 30176。 45176。 CD=84，∴ CD=565， 在 Rt△ ADC 中， sin∠ CAD＝56 56513 65CDAC ??． 【解題策略】 銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，因此構(gòu)造直角三角形就成為利用三角函數(shù)解題的基本思路． 體驗(yàn)中考 ┃分析┃ 因?yàn)?CD 是斜邊 AB 上的中線，所以 AB＝ 2CD＝ 4，在 Rt△ ACB中， sin B＝34ACAB?．故選 C. 【解題策略】 本題考查正弦的概念． ┃分析┃ 在 Rt△ ABC 中， sinA= 12BCAB?， AB＝ 2BC，在 Rt△ ABC 中，AB2=BC2+AC2，即 (2BC)2＝ BC2十 (23)2，解得 BC＝ 2．故選 A 【解題策略】 銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用． ┃分析┃ 在 Rt△ BEA 中， tan∠ BAE＝125BEAE?，所以 AE＝512BE．在 Rt△ AEB 中， AB2＝ AE2十 BE2，即 132＝ (512BE)2十 BE2，所以 BE=12(米 )．故填 12． 【解題策略】 銳角三角函數(shù)和勾股定理的綜合應(yīng)用．運(yùn)用方程思想是解此題的關(guān)鍵． ┃分析┃ 本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用． 解 ： (1)在 Rt△ ABC 中，∠ BAC＝ 90176。 CD， 即12 14＝622?，∴ pp′＝ 2PC＝?.故填62?． 【解題策略】 這是典型的已知等腰三角形的腰和頂角，求底邊的問(wèn)題．這類問(wèn)題通常都是作底邊上的高，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到兩個(gè)全等的直角三角形，然后解直角三角形．類似地，還可以轉(zhuǎn)化為已知底邊和一角 ，求腰長(zhǎng)或某一角的三角函數(shù)值的問(wèn)題． ┃分析┃ 為了求出 tan∠ ACB， sin∠ BAC 的值，應(yīng)分別構(gòu)造以∠ ACB，∠BAC 為內(nèi)角的直角三角形． 解 ： (1)如圖 1－ 14 所示，過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ BC于 E， 則 S△ ABC= 12BC BP=BP′，∴在 Rt△ PCB中，∠ PBC＝ 15176。 sin B． 【解題策略】 有關(guān)等腰三角形、梯形、平行四邊形的三角函數(shù)問(wèn)題，常作其高，轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決． ┃分析┃ 由于 a 為銳角，且 tan a 已知，可構(gòu)造包 含 a的直角三角形，利用三角函數(shù)的定義求出 sin a， cos a 的值．本題也 可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系 tan a＝sincosaa，將所 求式子的分子、分母都除以 cos a，再代值即可． 解法 1：如圖 111 所示，在 Rt△ ACB 中，∠ C＝ 90176。 AE＝ AB AE，∴ AE＝ 4． 在 Rt△ AEB 中， tan B＝AEBE=44＝ 1． 【解題策略】 對(duì)于梯形與三角函數(shù)的綜合題，通常利用高線來(lái)構(gòu)造直角三角形，再求銳角三角函數(shù)值 ┃分析┃ 因?yàn)橐C的等式中包含 sin B，所以想 到構(gòu)造包含∠ B 的直角三角形，可過(guò) A作 AE⊥ BC 于 E，借助 構(gòu)造的 Rt△ AEB 來(lái)證明． 證明 ：如圖 1－ 9所示，過(guò) A作 AE⊥ BC于 E， 在 Rt△ AEB 中， sin B＝AEAB，即 AE＝ AB AE，即 40 ＝12 解 ： (1)∵∠ C＝ 90176。 = 4?) 在△ ABC 中， AB＝ 15， BC＝ 14， S△ ABC＝ 84． (1)求 tan∠ ACB 的值； (2)求 sin∠ BAC 的值． 體驗(yàn)中考 如圖 1－ 15 所示，在 Rt△ ABC 中， CD 是斜邊 AB 上的中線，已知 CD＝ 2， AC＝ 3，則 sin B 的值是 ( ) A．23 B．32 C．34 D．43 已知在 Rt△ ABC 中，∠ C=90176。后得到△ A′ P′B，且 B′ P＝ 2，那么 PP′的長(zhǎng)為 ． (不取近似值，以下數(shù)值供解題使用： sinl5176。 BC sin A＝35，則 BC： AC 等于 ( ) A． 3： 4 B． 4： 3 C． 3： 5 D． 4： 5 若某人沿坡度 i＝ 3： 4的斜坡前進(jìn) 10 m，則他所在的位置比原來(lái)的位置升高了 m． 基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題 在 Rt△ ACB 中，∠ C＝ 90176。 A a A b A aAAc c A b? ? ?? ? ? ? ??的 對(duì) 邊 的 鄰 邊 的 對(duì) 邊斜 邊 斜 邊 的 鄰 邊 sin B＝B , c os , t a n b B