20xx屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：86立體幾何中的向量方法(ⅰ)證明平行與垂直-文庫(kù)吧資料
2024-11-28 23:58本頁(yè)面
【正文】 1 不共線(xiàn)， ∴ MN ∥ DA 1 ， 又 ∵ MN ? 平面 A 1 BD ， A 1 D ? 平面 A 1 BD ， ∴ MN ∥ 平面 A 1 BD . 用向量證明線(xiàn)面平行的方法： ( 1) 證明該直線(xiàn)的方向向量與平面的某一法向量垂直； ( 2) 證明該直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行； ( 3) 證明該直線(xiàn) 的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表示； ( 4) 本題易錯(cuò)點(diǎn)為：只證明 MN ∥ A 1 D ，而忽視 MN ? 平面 A 1 BD . 探究提高如圖所示，平面 P AD ⊥ 平面 A BC D ， ABCD 為正方形， △ P AD 是直角三角形，且 PA ＝ AD ＝ 2 ， E 、 F 、 G 分別是線(xiàn)段 PA 、 PD 、 CD 的中點(diǎn)． 求證： PB ∥ 平面 E FG . 變式訓(xùn)練 1證明 ∵ 平面 P AD ⊥ 平面 ABCD 且 AB CD 為正方形， ∴ AB 、 AP 、 AD 兩兩垂直，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A — xy z ， 則 A ( 0,0,0) 、 B ( 2,0,0) 、 C ( 2,2,0) 、 D ( 0,2,0) 、 P ( 0,0,2) 、 E ( 0,0,1) 、 F ( 0,1,1) 、 G ( 1,2,0) ． ∴ PB→＝ ( 2,0 ，－ 2) ， FE→＝ (0 ，－ 1,0) ， FG→＝ ( 1,1 ，－ 1) ， 設(shè) PB→＝ s FE→＋ t FG→， 即 ( 2,0 ，－ 2) ＝ s (0 ，－ 1 ,0) ＋ t ( 1,1 ，－ 1) ， ∴????? t ＝ 2 ，t － s ＝ 0 ，－ t ＝－ 2 ， 解得 s ＝ t ＝ 2. ∴ PB→＝ 2 FE→＋ 2 FG→， 又 ∵ FE→與 FG→不共線(xiàn)， ∴ PB→、 FE→與 FG→共面． ∵ PB ? 平面 EFG ， ∴ PB ∥ 平面 E FG . 例 2 如圖所示，在四棱錐 P — A BC D 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD ， ∠ AB C ＝ 60176。 DB→＝ 0 ，得????? x ＋ z ＝ 0 ，x ＋ y ＝ 0. 取 x ＝ 1 ，得 y ＝－ 1 ， z ＝－ 1. ∴ n ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1) ． 又 MN→u 2＝ 0 要點(diǎn)梳理[ 難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源 ] 1 ．直線(xiàn)的方向向量實(shí)質(zhì)上是與直線(xiàn)平行的非零向量，它有無(wú)數(shù) 多個(gè)，平面的法向量也有無(wú)數(shù)個(gè)． 2 ．利用空間向量解決立體幾何中的平行問(wèn)題 ( 1) 證明兩條直線(xiàn)平行，只需證明這兩條直線(xiàn)的方向向量是 共線(xiàn)向量，但要注意說(shuō)明這兩條直線(xiàn)不共線(xiàn)． ( 2) 證明線(xiàn)面平行的方法 ① 證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直，但要說(shuō)明直線(xiàn) 不在平面內(nèi)． ② 證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn)，也要說(shuō)明直線(xiàn)不在平面內(nèi)． ③ 利用共面向量定理，即證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的 兩個(gè)不共線(xiàn)向量是共面向量．同時(shí)要注意強(qiáng)調(diào)直線(xiàn)不在平面內(nèi)． 例 1 如圖所示，在正方體 A BC D — A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、 N 分別是 C 1 C 、 B 1 C 1 的中點(diǎn)．求證： MN ∥ 平面 A 1 BD . 利用空間向量證明平行問(wèn)題 證明 方法一 如圖所示，以 D 為原點(diǎn)， DA 、 DC 、 DD 1 所在直線(xiàn)分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1 ， 則 M??????0 ， 1 ，12， N??????12， 1 ， 1 ， D ( 0,0,0 ) ， A 1 ( 1,0,1 ) ， B ( 1,1,0 ) ， 于是 MN→＝??????12， 0 ，12， 設(shè)平面 A 1 BD 的法向量是 n ＝ ( x ， y ， z ) ． 則 n 一輪復(fù)習(xí)講義 立體幾何中的向量方法 (Ⅰ) —— 證明平行與垂直 1 ． 用向量表示直線(xiàn)或點(diǎn)在直線(xiàn)上的位置 ( 1) 給定一個(gè)定點(diǎn) A 和一個(gè)向量 a ，再任給一個(gè)實(shí)數(shù) t ，以 A為起點(diǎn)作向量 AP→＝ t a ，則此向量方程叫做直線(xiàn) l 的參數(shù)方程．向量 a 稱(chēng)為該直線(xiàn)的方向向量． ( 2) 對(duì)空間任一確定的點(diǎn) O ，點(diǎn) P 在直線(xiàn) l 上的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù) t ，滿(mǎn)足等 式 OP→＝ (1 － t ) OA→＋ t OB→，叫做空間直線(xiàn)的向量參數(shù)方程． 憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) 要點(diǎn)梳理2 ． 用向量證明空間中的平行關(guān)系 ( 1) 設(shè)直線(xiàn) l1和 l2的方向向量分別為 v1和 v2，則 l1∥ l2( 或 l1 與 l2重合 ) ? . ( 2) 設(shè)直線(xiàn) l 的方向向量為 v ，與平面 α 共面的兩個(gè)不共線(xiàn)向 量 v1和 v2，則 l ∥ α 或 l ? α ? . ( 3) 設(shè)直線(xiàn) l 的方向向量為 v ，平面 α 的法向量為 u ，則 l ∥ α 或 l ? α ? . ( 4) 設(shè)平面 α 和 β 的法向量分別為 u1， u2，則 α ∥ β ? . 憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) v1∥ v2 x v 1＋ y v 2 存在兩個(gè)實(shí)數(shù) x ， y ，使 v ＝ v ⊥ u u 1 ∥ u 2 要點(diǎn)梳理3 ． 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ( 1) 設(shè)直線(xiàn) l 1 和 l 2 的方向向量分別為 v 1 和 v 2 ，則 l 1 ⊥ l 2 ? ? . ( 2) 設(shè)直線(xiàn) l 的方向向量為 v ，平面 α 的法向量為 u ，則 l ⊥ α ? . ( 3) 設(shè)平面 α 和 β 的法向量分別為 u 1 和 u 2 ，則 α ⊥ β ? ? . 憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) v1⊥ v2 v1v2＝ 0
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