【正文】 將信號(hào)分解為不同的頻率分量，而缺乏局域性信息。 Fourier變換 ? 分析和處理平穩(wěn)信號(hào)的最常用也是最主要的方法是 Fourier分析。原因： 非 平穩(wěn)信號(hào)的頻率是隨時(shí)間變化的，所以不再簡單地用 Fourier變換做分析工具。截至目前我們在信號(hào)（平穩(wěn)信號(hào)）的分析和處理中，當(dāng)我們提到頻率時(shí)，指的是 Fourier變換的參數(shù) 頻率 f和角頻率 ω，它們與時(shí)間無關(guān)。對于 0tT的信號(hào)，我們?nèi)粝Ｍ佬盘?hào)的能量分布，須對信號(hào)做傅里葉變換，即研究其頻率特性。 ?近似重構(gòu)的原向量： *2 ? ? 1 Tvu???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????? 8 3 7 4? ? 2 7 0 7 7 7 4uv? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ??可以看到 u^ 和 u 有微小的差別，近似的均方誤差為 λ3 = ，也就是去掉的特征向量所對應(yīng)的特征值。 KLT 變換的特征－降維 ?忽略特征值較小的那些特征向量，從而減少 u 的維數(shù)。 ? v 的協(xié)方差矩陣 ， 協(xié)方差等于 0， 方差對角線按減序排列 ?KLT 的變換系數(shù)是由互不相關(guān)的隨機(jī)變量組成的 ， 因此 ， KLT 變換起到了去除變量間相關(guān)性的作用 。 中心化后圖象向量 KLT 變換的特征－去相關(guān) ?去相關(guān) —— 最佳的變換編碼 KLT 變換系數(shù) {v(k), k=0,1,….,N 1} 是不相關(guān)的，而且具有零均值，即： [ ( )] 0vm E v k??*1[( )( ) ]0()0Tv v vTukNR E v m v mRkl????? ? ?? ? ?????? ? ? ? ???????證明： * * ***[ ] { ( )} { }0T T Tv u uTTuum E v E u m E u mmm? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?協(xié)方差矩陣 KLT 變換的特征－去相關(guān) ?經(jīng)過 KLT 變換后，所得的變換系數(shù) v 是一個(gè)平均向量為零的向量集，其坐標(biāo)原點(diǎn)移到中心位置。 ?變換過程為：圖像隨機(jī)變量 u → 協(xié)方差矩陣 Ru → K L 基核矢量 Φ*T。 ? KLT 依賴信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性，但很難實(shí)時(shí)計(jì)算視頻的統(tǒng)計(jì)特性； ? KLT 基函數(shù)不是固定的，是隨圖像內(nèi)容改變的； ? KLT 對圖象塊是不可分離； ? 變換矩陣不能分解為稀疏矩陣。 ?最優(yōu)的正交變換 ：特征向量矩陣指向數(shù)據(jù)變化最大的方向，能夠達(dá)到最優(yōu)的能量集中。 變換編碼的選擇原則 ?變換編碼的種類 ? KL變換 KLT ? 離散傅立葉變換 DFT ? 離散正弦變換 DST ? 離散余弦變換 DCT ? 哈達(dá)瑪變換 Hadamard ? Walsh 變換 ? Haar 變換 ? Slant 變換 ? 小波變換 Wavelet ?去相關(guān)，能量集中（例如， KLT、 DCT、 Wavelat） ?計(jì)算復(fù)雜度低 Karhunen Lo232。 ? ? ? ?2201uu???? ? ? ?2 2 2 2330 1 1 122vv a? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 從 RU 可見： 即總能量相等的分布在 u(0) 及 u(1) 上 ? 從 RV 可見： 2312231TvuR A R A?????????????????? 能量集中方面 ? V 的協(xié)方差： 酉變換特性 當(dāng) ρ= ， 說明： % 的能量集中在 V(0) ρV（ 0,1) = 0， 說明： V(0) 與 V(1) 不相關(guān) ? ?? ?22001 1 1 01 ,1 1 0 1 012vTvuvA R A R A ?? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?220 1 1 1vv ,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2122201 /20, 1 | |01 314vvvE v v ?????? ???? ???? ? ???? 相關(guān)方面： u(0) 與 u(1) 間相關(guān)為 ρ ； v(0) 與 v(1) 間相關(guān)為： 若 ρ=，則 ρV = ρ，變換系數(shù)之間的相關(guān)性減弱。 ? ?? ?若 ， 則證 明 ：22122* * *012 2*0NT T TkNTnV A U V UV v k V V U A A UU U u n U??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?若 ：則 ：1 1 1 1220 0 0 0,TN N N Nm n k lV A UAu m n v k l? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? 1D ? 2D 酉變換特性－能量集中與變換系數(shù)方差 ?酉 變換：能量轉(zhuǎn)到少數(shù)系數(shù)上，總能量不變 ? 變換前后平均能量相等 ： μu、 Ru 分別表示 U 矢量的均值和協(xié)方差 [ ] [ ] [ ]VUE V E A U A E U A???? ? ? ?****[( )( ) ]( [( )( ) ])TV V VTTUUTUR E V VA E U U AA R A????? ? ?? ? ??? RV 矩陣對角線元素給出變換系數(shù)方差 : ? ? ? ?2*, ,Tv v ukk kkk R A R A? ???? ??? ? ? ? 直 流 分 量1122* * *00NN T T Tv v v u u uknk A A n? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? 平 均 能 量2 * 2Tv u u uk Tr A R A Tr R n????? ? ? ???? ? ? ?112200nkE u n E v k? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?最后得 ： 矩陣的跡 ， 矩陣對角線上元素的總和 。變換系數(shù)就是其對應(yīng)的基圖象在求和時(shí)所乘的系數(shù)。由于基函數(shù)是正交的，則這個(gè)信號(hào)對應(yīng)于其它的基函數(shù)將產(chǎn)生較少的系數(shù)。 N N N N象素塊 行方向 N變換 列方向 N變換 x A x A x AT ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? VAUlkvlnankuUAUnkunmumkaT ????????????,mnk mkn lnlkkn正交基分解 ? ? ? ?1 1 1 1* * *0 0 0 0,N N N NTk l klk l k lU v k l a a v k l A? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? [A*kl ] 表示 基圖象 a*k 表示 [A*kl ] 的第 k 行 a*l 表示 [A*kl ] 的第 l 列 正交基分解 ?應(yīng)用： 信息傳送原理 ? 發(fā)端分解 ： 傳送 v(k,l)，即將信號(hào)向量分解成它的各個(gè)基圖象，變換系數(shù)則規(guī)定了原信號(hào)中各基圖象所占的數(shù)量 。 ? 例如 M=1024，直接傅里葉變換需要大約 106 次操作，快速傅里葉變換只需要 104 次操作。 N N 輸入信號(hào) **TU A V A?快速傅里葉變換 ? 根據(jù) DFT 公式，直接計(jì)算 N 點(diǎn)一維傅里葉變換需要 N2 次復(fù)數(shù)乘法， N(N1)≈ N2 次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。 TV A UA?N N 正交變換矩陣 N N變換系數(shù) ?反變換 ?重要的實(shí)際意義： 用 2 個(gè) N N 矩陣乘法代替了 1 個(gè) 1 N2 矢量和 N2 N2 矩陣的乘法，實(shí)現(xiàn)變換。 v(k,l) 表示變換系數(shù) 。 ?正交矩陣是酉矩陣，但酉矩陣不需要是正交矩陣。 ?變換去除相關(guān)性示例 ? 設(shè)有兩個(gè)相鄰的數(shù)據(jù)樣本 x1和 x2，每個(gè)樣本 采用 3比特編碼，則各有 8個(gè)幅度等級，兩個(gè)樣本的聯(lián)合事件共有 64種可能用右圖二維平面坐標(biāo)表示 ? 考慮到相鄰樣值的相關(guān)性， x1和 x2同時(shí)出現(xiàn)相近幅度的可能性最大。變換編碼 四川大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院 陳 虎 ?原理 ? 為達(dá)到目的可以通過不同的路徑 —— 殊途同歸 例如：數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)中，經(jīng)常利用某些數(shù)學(xué)函數(shù)略加轉(zhuǎn)換可以找出一條計(jì)算的捷徑。 乘法： 1000000X100000＝ 100000000000 運(yùn)算時(shí)，數(shù)據(jù)很大，可以變成對數(shù)進(jìn)行加法 1000000 X 100000＝ 100000000000 取對數(shù) lg106 取對數(shù) lg105 取指數(shù) 1011 6 ＋ 5 ＝ 11 算法變換 ?基本概念 ? 先對信號(hào)進(jìn)行某種函數(shù)變換，從一種域（空間）變換到另一種域（空間），再對變換后的信號(hào)進(jìn)行編碼處理 ? 以聲音圖像為例，由于聲音圖像大部分信號(hào)都是低頻信號(hào)，在頻域中信號(hào)較集中，因此將時(shí)域信號(hào)變換到頻域，再對其進(jìn)行采樣、編碼 ?變換編碼 (Transform Coding) 是一種函數(shù)變換，從一個(gè)信號(hào)域變換到另一個(gè)信號(hào)域， 將信源輸出分解 /變換為其組成部分，然后根據(jù)每個(gè)成分的特性分別進(jìn)行編碼，去除視頻信號(hào)的空間冗余，使能量集中。 ? 因此 ,合成可能性往往落在陰影區(qū)內(nèi) 0 X1 X2 ?變換去除相關(guān)性示例 ? 如果對數(shù)據(jù)進(jìn)行正交變換，從幾何上相當(dāng)于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn) 45o,變成 x1’、 x2’坐標(biāo)系，則在新坐標(biāo)系下，任憑 x1’在較大的范圍變化，而 x2’始終只在相當(dāng)小的范圍內(nèi)變化，因此通過這樣的變化就能得到一組去除大部分，甚至是全部統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的另一種輸出樣本 0 X1 X2 X1’ X2’ ?變換編碼過程 變換 量化 譯碼器 逆變換 編碼器 發(fā)送端 接收端 G A A’ G’ U’ 輸入 U 輸出 U為變換矩陣， A,A’:變換系數(shù) U’:U的逆變換矩陣 酉（ Unitary）變換概念 ?線性變換 v = Au，系數(shù)矩陣 A 稱為此變換的基矩陣 ?如果 A 是一個(gè) 酉矩陣 ，則： 1*TAA? ?且 **TTA A A A I??其中， * 表示對 A 的每個(gè)元素取共軛復(fù)數(shù)， T 表示轉(zhuǎn)置 ?如果 A 是酉矩陣，且所有元素都是實(shí)數(shù)，則它是一個(gè) 正交矩陣 ，且滿足 1 T? ?且 TTA A A A I??上式表明：當(dāng) i=j 時(shí)，內(nèi)積為 1；否則內(nèi)積為 0，所以， A的各行是一組正交向量 ?任何兩個(gè)酉變換之間的差別在于基函數(shù)（即 A 的行向量）的選擇。 正交矩陣的特點(diǎn) ?正交矩陣的特點(diǎn) ? 每一行元素的平方和等于 1 ? 兩個(gè)不同行的對應(yīng)元素乘積之和等于零 ? 上述兩條對于列也成立 ?例如 c os s i ns i n c osA????????????第一行 22(c os ) ( s i n ) 1??? ? ?第二