【正文】 st解 （ 1）求 。 n?n? rtpt stpMrt pt(0 1)???n?由以上討論 ， 可得如下結(jié)論： 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 【 例 1】 設(shè)系統(tǒng)的方框圖為圖 ，其中 ， 。 一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài) 下工作，通常根據(jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比 ξ. （ 2）系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能（穩(wěn)定性）之間是存在矛盾的。 2/sdtN???0 stt??()xt? ()x? ?2 / ,d??0 , 5?? ? ? ?（ ） （ ） 4. 振蕩次數(shù) N 21 ??? ?? , ??? ??21 ??? ?? nd)/(4 nst ???)/(3 nst ?????? ??N??? 212 ??N（ ） 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1）要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，必須選擇合適的阻尼比 ξ和無阻尼固有頻率 。 由此可見，二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 決定系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間 和最大超調(diào)量 ；反過來，根據(jù)對(duì) 的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 。 21411 ,snnt ?????? 21311.snnt?????4 。 )(txost不等式為 ()( ) ( ) xx t x?? ???? ? ? ??)( stt ? () 0. 02 ~ 0. 05??stt?)()()()()( ?????????? ooooo xxtxxx ?? )( stt ?中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 由于 所表示的曲線是式（ ）所描述的減幅正弦曲線的包絡(luò)線，因此，可將由式（ ）所表達(dá)的條件改為： 解得 221e si n .201n td t arc tg?? ????? ?? ???? ? ?? ??e1nt????? ?2e1n t???????將式（ ）代入式（ ），得 又因此時(shí) 因此 ( ) 1,x? ????? 1)(tx o() () ????21 ??? tne)( stt?211ln1??? ?? ?nst() 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 若取 得 若取 得 當(dāng) 時(shí)，可分別將式（ ）和式（ ）近似取為： 與 ξ之間的精確關(guān)系，可由式（ ）求得， 為最??；當(dāng) 為最小，在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí) ,一般取 作為最佳阻尼比。當(dāng)系統(tǒng)阻尼比 ξ確定后 ,即可求得與其相對(duì)的超調(diào)量 ；反之 ,如果給出了系統(tǒng)所要求的 ，也可由此確定相應(yīng)的阻尼比 . 當(dāng) ξ =～ , 相應(yīng)的超調(diào)量 。式 ()表明 , 在 之后，系統(tǒng)的輸出不會(huì)超過下述允許范圍： 超調(diào)量 只與阻尼比 ξ有關(guān)，而與無阻尼固有頻率 無關(guān)。當(dāng) 一定時(shí)， ξ增大， 就增大，此情況與 的相同。1r d rtt??? ????21.drtg t ?? ???e 0,nrt??? ?21,arc tg ?? ??? , 2 , 3 , ...drt? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?01???( 0)t ?rtt?當(dāng) ( ) 1rxt? ?() tr 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 因?yàn)樯仙龝r(shí)間 是 第一次到達(dá)輸出穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取 即 由關(guān)系式 ，當(dāng) 增大， 就增大。 欠阻尼二階系統(tǒng) 的單位階響應(yīng)的過渡過程的特性，通常采用下列性能指標(biāo)（見圖 ）描述 : （ 1）上升時(shí)間 （ 2）峰值時(shí)間 （ 3）最大超調(diào)量 （ 4）調(diào)整時(shí)間 （ 5）振蕩次數(shù) N rtptpMst中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 響應(yīng)曲線從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間定義為上升時(shí)間（對(duì)于過阻尼系統(tǒng)，一般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到 90%所需的時(shí)間稱為上升時(shí)間）。 所以： 在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，常使系統(tǒng)在欠阻尼（通常取 ）狀態(tài)下工作。 因此 : 性能指標(biāo)以系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的時(shí)域響應(yīng)量值給出。 n? 在根據(jù)給定的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)，這是因?yàn)槎A系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時(shí)間，并且也能同時(shí)滿足對(duì)振蕩性能的要求。保證振蕩適度、持續(xù)時(shí)間較短。 過渡過程的持續(xù)時(shí)間： 無振蕩單調(diào)上升的曲線： ξ=1時(shí)的時(shí)間 t最短； 在欠阻尼系統(tǒng)中，當(dāng) ξ =~，時(shí)間比 ξ=1時(shí)的更短，而且振蕩不太嚴(yán)重。 2est 1est2est 式（ ）～式（ ）所描述的單位階躍響應(yīng)函數(shù)如圖 所示。 0xt? ? ?0 ( ) 0xt?() 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 4） 當(dāng) ξ1 ， 系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ）有 式中， 112221()[ ( + 1 ) ] [ ( 1 )nonnsx t L Ls ss??? ? ? ? ? ??? ?? ????? ?????? ? ? ? ??? ］2222( 1 ) ( 1 ) 1 + 11 e e2 1 2 1nntt? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????22( 1 ) ( 1 )2 2 2 2111 e e2 1 ( 1 ) 2 1 ( 1 )nntt? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?122 12ee121s t s tnss????? ? ?????? ??0t? () 21 ( 1 ) ns ? ? ?? ? ? ? 22 ( 1 ) ns ? ? ?? ? ? ?中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 計(jì)算表明，當(dāng) ξ，在式（ ）的兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中， 的衰減比 的要快得多，因此，過渡過程的變化以 項(xiàng)其主要作用。 0 ( ) 1 c o s nx t t??? ( 0)t ?112 t t21()()= 1 ( 1 t) e 2 tennnonnnsx t L Lss???????? ??????????? ????? 1 ( 1 ) e n tn t ?? ?? ? ?20 ( ) e n tnx t t ?? ??( 0)t ?0 (0 ) 0 。 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，即 則二階系統(tǒng)的階躍路應(yīng)函數(shù)的 Laplace變換式為： 1( ) ( ) , [ ( ) ]ix t u t L u t s??22211( ) ( )2nonnX s G ss s s s?? ? ?? ? ? ???21( ) ( )nn d n dss s j s j??? ? ? ? ? ????? ? ? ?中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1） 當(dāng) 0ξ1， 系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ）有 或 式（ ）中的第二項(xiàng)是瞬態(tài)項(xiàng)，是減幅正弦振蕩函數(shù)，它的振幅隨時(shí)間 t的增加而減小。 ξ愈小，衰減愈慢，振蕩頻率愈大。 當(dāng) 取不同值時(shí)，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖 所示。對(duì)于二階系統(tǒng)，因?yàn)? 而 所以 同樣有： 記 ，稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。特殊情況下，有可能等價(jià)為兩個(gè)不同的一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。 1,2 nsj???1,2 ns ???22,1 1 ???? ???? nn js122,1 ???? ???? nns中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 過阻尼二階系統(tǒng)： 傳遞函數(shù)可分解為兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)相加或相乘 ,因此可視為兩個(gè)一階環(huán)節(jié)的并聯(lián)，也可視為兩個(gè)一階環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 （ 3） 當(dāng) ξ=1時(shí) ，特征方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，即 系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)。 2 22( ) ( )2 ( ) ( )oon n o n id x t d x t x t x td t d t? ? ? ?? ? ?2022()()( ) 2ni n nXsGsX s s s?? ? ??? ??2220nnss? ? ?? ? ?（ ） （ ） 二階系統(tǒng) 二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)： ? n? ?二階系統(tǒng)的特征方程： 由此得兩個(gè)特征根為 122,1 ???? ???? nn中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1） 當(dāng) 0ξ1時(shí) ，特征根為共軛復(fù)數(shù) 一對(duì)位于復(fù)數(shù) [s]平面的左半平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。顯然 與 是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，表明了二階系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的特性。 參考式（ ）求出 ，或者，由單位階躍響應(yīng) ，根據(jù)關(guān)系 ；求得 ； 由 求得 。 指數(shù)曲線的斜率 ，即速率 是隨時(shí)間 t的增大而單調(diào)減小的，當(dāng) t為 時(shí)，其響應(yīng)速度為零； 當(dāng) 時(shí)，響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 98%以上，過渡過程時(shí)間 時(shí)間常數(shù) T 反映了固有特性 ，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就愈快。曲線有兩個(gè)重要的特征點(diǎn)。 脈沖響應(yīng)形式類似與零輸入響應(yīng)。稱此時(shí)間為過渡過程時(shí)間或調(diào)整時(shí)間，記為 ts。由式 ()可得表 t 0 T 2T 4T 0 0 1T 21T?T 2T?T 2T?T 2T??()wt?()wt表 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一個(gè)單調(diào)下降的指數(shù)曲線。 下面分析一階與二階系統(tǒng)對(duì)單位脈沖與單位階躍函數(shù)的時(shí)間響應(yīng) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，其微分方程和傳遞函數(shù)的一般形式為： T 稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，它表達(dá)了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性，亦稱一階系統(tǒng)的特征參數(shù)。單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位拋物線函數(shù)、正弦函數(shù)和某些隨機(jī)函數(shù)。 任意輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng) :利用系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)，由關(guān)系式 或 （ *表卷積），就能求出。 非確定性信號(hào) 則反之，變量與自變量之間的關(guān)系是隨機(jī)的，只服從某些統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 的正負(fù) :決定自由響應(yīng)是衰減與發(fā)散，系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定； 為負(fù)時(shí) , 其絕對(duì)值的大小 :決定自由響應(yīng)衰減速度，及系統(tǒng)響應(yīng)趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度； :決定自由響應(yīng)的振蕩情況，決定系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，影響響應(yīng)的準(zhǔn)確性。 isRe 0is ? t??Re 0is ?瞬態(tài)響應(yīng) t??穩(wěn)態(tài)響應(yīng) :指強(qiáng)迫響應(yīng)。 傳遞函數(shù) (初態(tài)為零 )求解 :Laplace逆變換 就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分類 : 振動(dòng)性質(zhì)分類 : 自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) 振動(dòng)來源分