【正文】 tx 的幅值頻譜如下 圖 。信號(hào)頻譜超出 200Hz 的部分（ 200Hz～ 300Hz）將以 200Hz 為分界向內(nèi)折疊并疊加在原頻譜的 200Hz～ 100Hz 的范圍之上。 解 : 此題的關(guān)鍵是要掌握在不滿足采樣定理時(shí)， 信號(hào)超出奈魁斯特頻率的頻譜部分將以奈魁斯特頻率為分界線，向低頻端折疊這一頻混現(xiàn)象。 54. 連續(xù)信號(hào) ??tx 的頻譜如下圖所示。根據(jù)采樣定理，信號(hào)的帶寬應(yīng)小于等于相應(yīng)采樣頻率的一半。 若要識(shí)別 2mV的信號(hào)，則 3102210 ???m，得 13?m 若要識(shí)別 1mV的信號(hào)，則 3101210 ???m，得 14?m 53. 模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，采樣間隔 ? 分別取 1ms， ， 和 。 52 .模數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸入電壓為 0～ 10V。而后，量化裝置將每一個(gè)采樣信號(hào)的電壓幅值轉(zhuǎn)換為數(shù)字碼，最終把電壓信號(hào) ??tx? 變 為數(shù)字序列 xn。 2) 模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換完成模擬電壓離散采樣和幅值量化，將模擬電壓信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字碼。輸入模擬電壓信號(hào) ??tx 經(jīng)抗頻混濾波，變?yōu)橛邢迬挒?fc 的信號(hào)，為離散采樣作準(zhǔn)備；幅值調(diào)節(jié)經(jīng)過放大或衰減，將信號(hào)的幅值調(diào)整一定值（一般是 V5? ）的 ??tx? ，與量化器的輸入電平相適應(yīng)。 解： 下圖為信號(hào)數(shù)字分析流程框圖，整個(gè)系統(tǒng)由三部分組成：模擬信號(hào)予處理，模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)字運(yùn)算分析。 解： )]()()()([41)]()([21]2c o s2[ c o s]2[ c o s)(00000fffffffffffffffftftfFtfFfXzzzzzzzzm???????????????????????????? 已知理想低通濾波器 ????? ?? ?其它0)(020 cfj ffeAfH ?? 試求當(dāng) ? 函數(shù)通過此濾波器以后的時(shí)域波形。 第四章 習(xí)題 與題解 余弦信號(hào)被矩形脈沖調(diào)幅，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ????????TtTttftxs 02c o s)( 0? 試求其頻譜 解：設(shè) )(2c o s)( 0 twtftx s ?? ? 其中 ????????TtTttw01)( fTcTdtedtetwtwFfffftfFTTftjftj ?????? 2s i n2)()]([)(21)(21]2[c o s22000????????? ? ???? ? ])(2[s i n])(2[s i n)](21)(21[2s i n2)]([0000TffcTTffcTfffffTcTtxF s?????????????? jjjHnnnn )(3)( 222 ???? ????? ?? ?? ＝2222)()( nnn jjH ????? ?? ??? 已知余弦信號(hào) tftx 02cos)( ?? ，載波 tftz z?2cos)( ? ，求調(diào)幅信號(hào) )()()( tztxtx m ?? 的頻譜。 解：據(jù)題意，被測(cè)二階系統(tǒng)是一個(gè)欠阻尼二階系統(tǒng)，其最大超調(diào)量 M1和阻尼比 ζ的關(guān)系式 1)ln121?M?? （＝ 將 M1＝ ＝ 代入上式，可得ζ＝ 其有阻尼固有頻率為 212 ???? ???ndd T 式中 Td為振蕩周期，由題設(shè)條件 Td＝ ，解出ω n＝ 該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )( 2222?????? ssss SsH nnn ???? 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) 10 試述脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)、傳遞函數(shù)之間的聯(lián)系。若系統(tǒng)的輸出信號(hào)中含有其他頻率成份時(shí)，可以認(rèn)為是外界干擾的影響或系統(tǒng)內(nèi)部的噪聲等原因所至，應(yīng)采用濾波等方法進(jìn)行處理，予以排除。 頻率保持特性指線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 y(t)，將只有和輸入頻率相同的頻率成份，既 11)( )()( ??? ssX sYsH ?若 tjni iieXtx ?????1)( 則 )(1)(iitjni i eYty?? ?? ?? ? 也就是說，輸出 y(t)與輸入 x(t)保持相 同的頻率成分，由線性系統(tǒng)的疊加特性可知，多個(gè)簡諧信號(hào)疊加的輸入，其輸出必然有也只能有有與輸入頻率相同的頻率成分。 根據(jù)式 32，線性特性表明，對(duì)于線性系統(tǒng)，如果輸入放大，則輸出將成比例放大；同時(shí)作用于線性系統(tǒng)的兩個(gè)輸入所引起的輸出，等于兩個(gè)輸入分別作用于該系統(tǒng)所引起的輸出的和，當(dāng)多個(gè)輸入作用于線性系統(tǒng)時(shí)，也有類似的關(guān)系。 6 某一階溫度傳感器，其時(shí)間常數(shù) τ= (s)，試求： (1) 將其快速放入某液體中測(cè)得溫度誤差在 2％范圍內(nèi)所需的近似時(shí)間。 4 ω 在對(duì)某壓力傳感器進(jìn)行校準(zhǔn)時(shí)，得到一組輸入輸出的數(shù)據(jù)如下： 正行程平均值 反行程平均值 試計(jì)算該壓力傳感器的最小二乘線性度和靈敏度。 2 試述信號(hào)的幅值譜與系統(tǒng)的幅頻特性之間的區(qū)別 （ 1）對(duì)象不同，前者對(duì)象是信號(hào)；后者 的對(duì)象是系統(tǒng)；（ 2）前者反映信號(hào)的組成，后者反映系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)不同頻率成分的幅值的縮放能力（ 3）定義不同：處理方法各異：前者是對(duì)信號(hào)付氏變換的模，后者是輸出的付氏變換與輸入的付氏變換之比的模 3 已 知 信 號(hào) x(t)=5sin10t+5cos(100tπ/4)+4sin(200t+π/6) ， 通 過 傳 遞 函 數(shù) 為 100 1)( ?? ssH 的測(cè)試系統(tǒng)，試確定輸出信號(hào)的頻率成分并繪出輸出信號(hào)的幅值譜。 另外，在斜坡輸入的情況下，ζ俞小，對(duì)斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差 2ζ/ωn 也俞小，但隨著ζ的減小，超調(diào)量增大，回調(diào)時(shí)間加長，當(dāng)ζ＝ ～ ,有較好的響應(yīng)特性。ζ越小，超調(diào)量會(huì)越大，也會(huì)因振蕩而使輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)輸出的時(shí)間加長。 ζ越大，輸出接近穩(wěn)態(tài)輸出的時(shí)間越長。阻尼比將影響超調(diào)量和振蕩周期。分析表明，當(dāng)ζ＝ ～ ，在ω＝ (0～ )ω n 的頻率范圍中，幅頻特性 A(ω )的變化不超過 5％，此時(shí)的相頻特性曲線也接近于直線，所產(chǎn)生的相位失真很小。在ω﹥ (～ )ω n范圍內(nèi)φ (ω )接近 180?，且差值甚小，如在實(shí)際測(cè)量或數(shù)據(jù)處理中用減去固定相位差的方法，則可以接近不 失真地恢復(fù)被測(cè)輸入信號(hào)波形。在特性曲線中可以看出，當(dāng)ω ﹤ n 時(shí)，ζ對(duì)幅頻特性影響較小，φ (ω )－ω曲線接近直線。這樣我們就得到了一個(gè)特例結(jié)論， )()()()()]([ * fYfXfYfXRF xy ????? 即當(dāng) )(ty 是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，相關(guān)性定理與卷積定理是一致的。 在式中，令 yx? ，則可得 自相關(guān)的傅里葉變換 2* )()()()]([ fXfXfXRF x ???? 式中說明，“函數(shù)相關(guān)的 FT是其幅度譜的平方”，換句話說，“函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與其幅度譜的平方是一對(duì)傅里葉變換對(duì)”。 證明 1： )()()())(()()()()()()()()()]([*)(2*22)(2*2*2*fYfXtdetydtetxedttdetytxdtdetytxdedttytxRFtfjfjftjtfjfjfjxy???????? ????????????????? ????????? ???????? ?????????????????????????????????????? ?? ?? ????????????????????? 這里利用式： )()]([ ** fYtyF ?? ，是 FT的“反褶共軛”性質(zhì)。 222．“時(shí)域相關(guān)性定理”可描述如下 )()()]([ fYfXRF xy ??? 試證明。特別地，當(dāng) ??N 時(shí)，時(shí)域信號(hào)變成了周期矩形脈沖信號(hào)，而頻域則變成了只在離散點(diǎn)Tm?? 2?處有值的離散譜，在這些點(diǎn)處的頻譜幅度變成了沖激信號(hào)（因?yàn)槟芰口呌跓o窮大）。見圖（ b）。根據(jù) FT的時(shí)移特性，可以求得 )2s i n ()2s i n ()()()()()()()(1)()()(02/2/2/2/02/2/2/2/2/2/0)1(00TTNXeeeeXeeeeeeXeeeXeXXTjTjTjNTjNTjTjTjTjNTjNTjTjTnjTjmnnmTjm??????????????????????????????????????????????????????? 下面分析一下所求的結(jié)果。 （ 1） tbtatf3c os5s in)( ?? ?? （ 30） （ 2） tbttatf3c os6s in)( ??? （ 12? ） （ 3） )343sin()( ??? tatf （ ?38） （ 4） )54c os ()( ?? ?? tatf （ 8） 221．如圖所示，有 12 ?? nN 個(gè)脈寬為 ? 的單位矩形脈沖 等間隔（間隔為 ??T ）地分布在原點(diǎn)兩側(cè)，設(shè)這個(gè)信號(hào)為 )(tx ，求其 FT。 解：由定義 ?? ?????????????????????dttutueedttuetuedttxtxRatataatx)()()()()()()(2)(?????? 其中積分的被積函數(shù)的非零區(qū)間為 00 ??? ?tt 與 的交集，即 ),0max( ???t 。反之 ,時(shí)間尺度壓縮 (a)會(huì)導(dǎo)致其頻譜頻帶變寬 ,且向高頻端 擴(kuò)展 ,這種情況為我們提高信號(hào)分析速度提供了可能。代入 a=2?，根據(jù)傅里葉變逆換有 ? ? ? ? ?? ????????? ????? dfefdfefe ftjftjt ??? ??? ? 222222 1 22 122 22 等式兩端同時(shí)乘以 2?，并用 t替代變量 t得 ? ???? ?? ?? dtefe ftjt ??? 222 1 22 交換變量 t和 f得 ? ???? ?? ?? dtete ftjf ??? 222 1 22 上式正是 g(t)的傅立葉變換式，所以 fFT efGttg ?? 22 2)(1 2)( ??? ???? 215．所示信號(hào)的頻譜 )()(21)( 21 ???? txtxtx 式中 x1(t), x2(t)是如圖 231b），圖 231c）所示矩形脈 沖。 證明： ? ? ? ????? dfefXtx ftj ?2)( 由于 ? ????????????????????dtetxdtetxfXftjftj??2**2*)()( 上式兩端用 f 替代 f 得 ? ? ? ???? ??? dtetxfX ftj ?2** )( 上式右端即為 x*(t)的傅里葉變換 ，證畢！ 特別地，當(dāng) x(t)為實(shí)信號(hào)時(shí)，代入 x*(t)= x(t)，可得 X(f)共軛對(duì)稱，即 ? ? ? ?fXfX *?? 213．設(shè) X(f)為周期信號(hào) x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的互易性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT? ?? 則 ? ? ? ?fxtX FT ?? ?? 證明： 由于 ? ????? dfefXtx ftj ?2)()(