【正文】 。 他于 1669年提議建立德國科學(xué)院 ， 從事對人類有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué) 、 生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn) （ 1700年柏林科學(xué)院成立 ） 。 雖然他的教授席位是法學(xué)的 ， 但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過的最優(yōu)秀的著作中 。 雖然萊布尼茨靠做外交官生活 ， 卷入各種政治活動 ， 但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的 ， 他的業(yè)余生活的活動范圍是龐大的 。 可以說 ， 在此之前 （ 1672年前 ） 萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué) 。 1672年 3月作為梅因茲的選帝侯大使 ， 政治出差導(dǎo)巴黎 。 1666年以論文 《 論組合的藝術(shù) 》 獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位 ， 同時獲得該校的教授席位 。 2. 萊布尼茨 （ Leibniz） 萊布尼茨 （ 1646~1716年 ） 是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)家 。 1705年 ， 封為爵士 ， 享年 85歲 。 晚年的牛頓變得消沉 ， 精神幾乎崩潰 。 1666年用三棱鏡實(shí)驗(yàn)光的色散現(xiàn)象 ， 1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠(yuǎn)鏡 。 此外他還論述了有理指數(shù)的二項定理 （ 1664年 ）以及數(shù)論 、 解析幾何 、 曲線分類 、 變分法等中的有關(guān)問題 。 他用級數(shù)處理微分和積分 ， 已對級數(shù)的收斂和發(fā)散有所認(rèn)識 。 其中借助運(yùn)動學(xué)中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數(shù)理論 ， 并創(chuàng)用字母上加一點(diǎn)的符號表示流動變化率 （ 即導(dǎo)數(shù)符號 ） 。他從事過光學(xué) 、 天體力學(xué) 、 數(shù)學(xué) 、 化學(xué) 、 流體靜力學(xué) 、 流體動力學(xué) 、 物理學(xué)方面的研究工作 ， 還自己動手制作實(shí)驗(yàn)裝置 ， 甚至自己制作了兩臺反射望遠(yuǎn)鏡 （ 制作出做架子用的合金 、 澆鑄框架 、 做底座 、磨光鏡頭等 。 他提出的創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注意 ， 只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識到他的偉大 ， 并給他以鼓勵 。 1669年牛頓接替他的數(shù)學(xué)老師巴羅的職位 ， 擔(dān)任 盧卡斯數(shù)學(xué)教授 。 他離開劍橋 ， 回到家鄉(xiāng) ， 在那里開始了他在機(jī)械 、 數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作 ， 于 16651666年間做出流數(shù)術(shù) 、 萬有引力和光的分析三大發(fā)明 ， 年僅 23歲 。 1661年他進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院 ， 安靜而沒有阻力地學(xué)習(xí)著自然哲學(xué) 。 他的母親在那里管理著丈夫遺留下來的農(nóng)莊 ， 他父親是在他出生前兩個月去世的 。 牛頓 （ 1642~1727年 ） ， 英國數(shù)學(xué)家 、物理學(xué)家 、 天文學(xué)家 、 自然哲學(xué)家 。 需要有一個人來走那最高和最后的一步 ， 這個人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法 ， 有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來 ， 并且能足夠大膽地制定一個宏偉的計劃 。 這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家 ， 牛頓和萊布尼茨提供的 。 牛頓與萊布尼茨 于是人們驚問 ， 在主要的新結(jié)果方面 ， 還有什么有待于發(fā)現(xiàn)呢 ？ 問題的回答是 ， 方法的較大普遍性以及從特殊問題里已建立起來的東西中認(rèn)識其普遍性 。 這里的問題是，當(dāng)把非均勻變化的問題看成均勻變化時，能表示為兩個量的積的形式，則此時處理非均勻變化問題，可以采用 …… ？？？ 牛頓與萊布尼茨 實(shí)際上在牛頓與萊布尼茨作出他們的沖刺之前 ， 微積分的大量知識已經(jīng)積累起來了 。 用什么方法？我們以后再慢慢講。 牛頓后來甚至重申他已經(jīng)放棄了終結(jié)不可分量 ， 而卡瓦列里只是說 ， 把一塊面積分割為越來越小的小矩形時 ， 最終就會得到終結(jié)不可分量 ， 面積就是由這些終結(jié)不可分量組成的 ?？ㄍ吡欣飳⑸厦嬗懻摰拿娣e看成無限多個他稱之為不可分量 （ 牛頓稱之為終結(jié)不可分量 ） 的總和 。 然而 ， 無窮大的含義本身就不清楚 。在 ?? x Oxy 2x 2xy ?h2y1x hyhyS 21* ??*SS ?1y Oxy 3x 2xy ?h3yh1x2 hyhyhyS 321* ???*SS ?y2 Oxy nx 2xy ?hny hyhyhyhyS nn ????? ? 121* ?*SS ?ixiy 直觀地看 ，小矩形越多 ， 其面積和就越接近于所求曲線下的面積 。 它是微分學(xué)的問題。盡管如此 ， 事實(shí)上我們必須承認(rèn)他是微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一 。此外 , 對于 16 2td ?這樣簡單的函數(shù) , 可以進(jìn)行上述化簡工作 , 而對于更為 復(fù)雜的函數(shù) , 就不一定可以進(jìn)行這樣的化簡工作了 , 一 般只能導(dǎo)出如下的關(guān)系式： hhfhk )(?, 這樣，當(dāng) h = 0 時， k / h 就是 0 / 0 了，這是沒有意義的。同除以時，才能對方程兩邊作只有當(dāng) hh ? 1612816128 2hh hhhk ????即 0 時才正確。 費(fèi)馬研究的一個問題 假設(shè)一個小球正向地面落去 ， 我們想知道下落后第 4 秒時小球的速度 （ 瞬時速度 ） 。 這就是說 ， 我們有了一個方案：首先計算不同時間間隔內(nèi)的平均速度 ，然后研究當(dāng)時間間隔越來越小時 ， 它們會趨近于哪一個數(shù) 。 我們可以計算從第四秒起 ， 間隔為 1/2 秒 ， 1/4 秒 ， 1/8 秒 ， ……內(nèi)的平均速度 。 牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想 。 許多人 ，例如 ， 費(fèi)馬 、 伽利略 、 開普勒 、 巴羅等都曾為科學(xué)中的這些具有革命性的新思想所鼓舞 ， 對微積分的奠基作出過貢獻(xiàn) 。 這一系統(tǒng)發(fā)展的關(guān)鍵在于認(rèn)識到：過去一直分別研究的微分和積分這兩個過程 ， 實(shí)際上是彼此互逆的聯(lián)系著 。這兩種過程的一些特殊的情況 ， 甚至在古代就已經(jīng)有人考慮過 （ 在阿基米德工作中達(dá)到高峰 ） ， 而在十六世紀(jì)和十七世紀(jì) ， 更是越來越受到人們的重視 。這樣，除了用來處理數(shù)值所需要的基礎(chǔ)外，還需要邏輯方面的基礎(chǔ)。不過只有具備卓越才能的數(shù)學(xué)大師們才有可能能避免發(fā)生大錯 。 一些第一流的數(shù)學(xué)家在確實(shí)感到結(jié)論無誤地情況下 ， 運(yùn)用了一些新的概念 ， 有時甚至運(yùn)用一些神秘的聯(lián)想 。 ） 經(jīng)過中世紀(jì)的停滯時期后 ， 數(shù)學(xué)同自然科學(xué)一起 ， 在新出現(xiàn)的微積分的基礎(chǔ)上開始了突飛猛進(jìn)的發(fā)展 ， 這時公理化的方法才被人們遺棄了 。 在后來的許多世紀(jì)中 ， 公理化的歐幾里德數(shù)學(xué)曾被認(rèn)為是數(shù)學(xué)體系的典范 ， 甚至為其他學(xué)科所努力效仿 。 各項公理 ， 或因從哲學(xué)觀點(diǎn)看可以認(rèn)為是 “ 顯然 ” 的 ， 或僅僅因其非常有說服力 ， 而被不加證明地予以 接受 。 即熟知的幾何公理和算術(shù)法則 ， 它們支配著如整數(shù) 、 幾何點(diǎn)這樣一些基本對象之間的關(guān)系 。可以肯定，圓與某一邊數(shù)足夠多的正多邊形面積之差可以弄得比任何預(yù)先給定的量還要小。 16邊形 32邊形 64邊形 ?? 16邊形 這個正十六邊形不僅包含八邊形且包含圓與八邊形面積之差的一半以上 。 因此 ， 等于矩形面積 8 邊形