02-謂詞邏輯-文庫(kù)吧資料
2024-08-29 00:52本頁(yè)面
【正文】 ，表達(dá)的情況各不相同，故全稱量詞與存在量詞在公式中出現(xiàn)的次序，不能隨意更換。 (?y)(?x)A(x,y)： 乙村所有人，甲村都有人和 他同姓。 故 (?x)(?y)A(x,y)?(?y)(?x)A(x,y) 示 例 50 示 例 (?x)(?y)A(x,y)： 甲村所有人，乙村都有人和他同姓。 (?y)(?x)A(x,y):乙村與甲村有的人都同姓 。 顯然上述兩個(gè)語(yǔ)句的含義是相同的 。 示 例 46 常用等價(jià)式和蘊(yùn)含式 E23 (?x)(A(x)?B(x))?(?x)A(x)?(?x)B(x) E24 (?x)(A(x)?B(x))?(?x)A(x)?(?x)B(x) E25 ?(?x)A(x)?(?x)?A(x) E26 ?(?x)A(x)?(?x) ?A(x) E27 (?x)(A?B(x)) ? A ? (?x)B(x) E28 (?x)(A?B(x)) ? A ?(?x)B(x) E29 (?x)(A(x)→B(x)) ? (?x)A(x)→(?x)B(x) E30 (?x)A(x)→B ? (?x) (A(x)→B ) E31 (?x)A(x)→B ? (?x)(A(x)→B) E32 A→ (?x)B(x) ? (?x) (A→B (x)) E33 A →(?x) B(x) ? (?x)(A→B (x)) I17 (?x)A(x)?(?x)B(x)?(?x)(A(x)?B(x)) I18 (?x)(A(x)?B(x) ?(?x)A(x)?(?x)B(x) I19 (?x)A(x)→(?x)B(x) ? (?x)(A(x)→B(x)) 47 對(duì)于二元謂詞如果不考慮自由變?cè)?，? 以有八種情況： (?x)(?y)A(x,y) (?y)(?x)A(x,y) (?x) (?y)A(x,y) (?y)(?x) A(x,y) (?x)(?y)A(x,y) (?y)(?x)A(x,y) (?x) (?y)A(x,y) (?y)(?x) A(x,y) 多個(gè)量詞的使用 48 例：設(shè) A(x,y)表示 x和 y同姓，論域 x是甲村的人，y是乙村的人，則： (?x)(?y)A(x,y): 甲村與乙村所有的人都同姓。 例 2： “ 有些人喜歡下棋又喜歡打牌 ” 可以推出“ 有些人喜歡下棋并且有些人喜歡打牌 ” 。 44 全稱量詞對(duì)析取的分配只滿足蘊(yùn)含關(guān)系 ， 即 (?x)A(x)?(?x)B(x)?(?x)(A(x)?B(x)) 由上式可得 (?x)(?A(x))?(?x)(?B(x))?(?x)(?A(x)??B(x)) 即 ?((?x)A(x)?(?x)B(x))??(?x)(A(x)?B(x)) 因此有 (?x)(A(x)?B(x))?(?x)A(x)?(?x)B(x) 類似有 (?x)(A(x)→B(x)) ?(?x)A(x)→(?x)B(x) (?x)(A(x)?B(x)) ?(?x)A(x)?(?x)B(x) 45 例 1： “ 所有的人都喜歡下棋或所有的人都喜歡打牌 ” 可推出 “ 所有的人都喜歡下棋或喜歡打牌 ” 。 ((?x) A(x)→B)?(?x)(A(x)→B) ((?x) A(x)→B)?(?x)(A(x)→B) (B→(?x)A(x))?(?x)(B→A(x)) (B→(?x)A(x))?(?x)(B→A(x)) 42 證明： ((?x) A(x)→B)?(?x)(A(x)→B) 證明： ((?x) A(x)→B)? ?(?x) A(x) ? B ?(?x)(?A(x)) ? B ? (?x)(?A(x) ? B) ? (?x)(A(x)→B) 注： 當(dāng)謂詞的變?cè)c量詞的指導(dǎo)變?cè)煌瑫r(shí) ， 也能有類似于上述的公式 。 40 量詞的作用域中 ， 常有合取或析取項(xiàng) ， 如果其中為一個(gè)命題 ， 則可將該命題移至量詞作用域之外 。 ?將量詞前面的 ?移到量詞的后面 去時(shí) ， 存在量詞改為全稱量詞 ， 全稱量詞改為存在量詞 ； 反之 ， 如將量詞后面的 ?移到量詞前面去時(shí) ， 也要 作相應(yīng)的改變 。 故 “ 不是所有人今天來(lái)上課 ” 與 “ 存在一些人今天沒(méi)有來(lái)上課 ” 在意義上相同 ， 即 ?(?x)P(x)?(?x) ?P(x) 又 ， “ 不是存在一些人今天來(lái)上課 ” 與“ 所有的人今天都沒(méi)有來(lái)上課 ” 在意義上相同 ， 即 ?(?x)P(x)?(?x)?P(x) 量詞與聯(lián)結(jié)詞 ?之間的關(guān)系。 37 在命題演算中，任一永真公式，其中同一命題變?cè)?，用同一公式取代時(shí)，其結(jié)果也是永真公式，可以把這個(gè)情況推廣到謂詞公式之中，當(dāng)謂詞演算中的公式代替命題演算中永真公式的變?cè)獣r(shí)，所得的謂詞公式即為有效公式，故命題演算中的等價(jià)公式表和蘊(yùn)含式表都可以推廣到謂詞演算中使用。 36 定義 一個(gè)謂詞公式 wff A，如果在所有賦值下都為假，則稱該 wff A為不可滿足的。 說(shuō) 明 34 作業(yè) ?P59 1(a)~(e)， 2(a)~(e) ?P62 1(a)~(e)， 3， 5， 7 ?P65 1， 2(a)(c)， 4， 5 35 25 謂詞演算的等價(jià)式與蘊(yùn)含式 定義 給定任何兩個(gè)謂詞公式 wff A和wff B，設(shè)它們有共同的個(gè)體域 E，若對(duì) A和 B的任一組變?cè)M(jìn)行賦值，所得命題的真值相同，則稱謂詞公式 A和 B在 E上是 等價(jià) 的，并記作：A?B 。當(dāng)命題中有多個(gè)量詞，約定 從左到右 的次序讀出。 示 例 33 ?量詞作用域中的約束變?cè)?，?dāng)論域的元素是有限時(shí)，客體變?cè)乃锌赡艿娜〈强擅杜e的。 32 例： 對(duì) (?x)(P(y)?R(x,y))代入。自由變?cè)拇胱袷匾欢ǖ囊?guī)則， 該規(guī)則叫做 自由變?cè)拇?規(guī)則： 代入規(guī)則 ?對(duì)于謂詞公式中的自由變?cè)梢宰鞔?，代入時(shí)需 對(duì)公式中出現(xiàn)該自由變?cè)拿恳惶庍M(jìn)行。 后兩種更改都使公式中量詞的約束范圍有所變動(dòng)。 30 例： 對(duì) (?x)(P(x)→ R(x,y)) ? Q(x,y)換名。
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