【正文】 20： 00 本溪 17 年 3 月 22日 新疆﹣遼寧 新疆 遼寧 20： 00 烏魯木齊 17 年 3 月 24日 新疆﹣遼寧 新疆 遼寧 20： 00 烏魯木齊 （ 1）若考慮主場優(yōu)勢，每個隊主場獲勝的概率均為 ，客場取勝的概率均為 ，求遼寧隊以比分 4： 1 獲勝的概率； （ 2）根據(jù)以往資料統(tǒng)計，每場比賽組織者可獲得門票收入 50 萬元（與主客場無關(guān)），若不考慮主客場因素，每個隊每場比賽獲勝的概率均為 ，設(shè)本次半決賽中（只考慮這兩支隊）組織者所獲得的門票收入為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 20．（ 12 分）已知橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）左、右焦點分別為 F1， F2，A（ 2， 0）是橢圓的右頂點，過 F2且垂直于 x 軸的直線交橢圓于 P， Q 兩點，且|PQ|=3； （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若直線 l 與橢圓交于兩點 M， N（ M， N 不同于點 A），若 ? =0， = ； ① 求證：直線 l 過定點；并求出定點坐標(biāo)； ② 求直線 AT 的斜率的取值范圍． 21．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =ax2+（ x﹣ 1） ex． （ 1）當(dāng) a=﹣ 時，求 f（ x）在點 P（ 1， f（ 1））處的切線方程； （ 2）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 3）當(dāng)﹣ ＜ a＜ ﹣ 時， f（ x）是否存在極值？若存在，求所有極值的和的取值范圍． 四、請考生在第 2 23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．作 答時請寫清題號． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．（ 10 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 C1的參數(shù)方程為 （ θ 為參數(shù)），曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρcosθ﹣ ρsinθ﹣ 4=0． （ 1）求曲線 C1的普通方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè) P 為曲線 C1上一點， Q 為曲線 C2上一點，求 |PQ|的最小值． [選修 45：不等式選講 ] 23．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ 1|﹣ |2x+1|的最大值為 m （ 1）作函數(shù) f（ x）的圖象 （ 2）若 a2+b2+2c2=m，求 ab+2bc 的最大值． 2017 年遼寧省葫蘆島市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1．設(shè)全集 U={﹣ 2，﹣ 1， 0， 1， 2}， A={x|x≤ 1}， B={﹣ 2， 0， 2}，則 ?U（ A∩ B） =（ ） A． {﹣ 2， 0} B． {﹣ 2， 0， 2} C． {﹣ 1， 1， 2} D． {﹣ 1， 0， 2} 【考點】 交、并、補集的混合運算． 【分析】 根據(jù)交集和補集的定義寫出運算結(jié)果即可． 【解答】 解：全集 U={﹣ 2， ﹣ 1， 0， 1， 2}， A={x|x≤ 1}， B={﹣ 2， 0， 2}， 則 A∩ B={﹣ 2， 0}， ∴ ?U（ A∩ B） ={﹣ 1， 1， 2}． 故選： C． 【點評】 本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目． 2．已知復(fù)數(shù) z=i（ 1+i）（ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義． 【分析】 首先進行復(fù)數(shù)的乘法運算，寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，寫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，根據(jù)點的橫標(biāo)和縱標(biāo)和零的關(guān)系，確定點的位置． 【解答 】 解： ∵ z=i（ 1+i） =﹣ 1+i， ∴ z=i（ 1+i） =﹣ 1+i 對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（﹣ 1， 1） ∴ 復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第二象限． 故選 B． 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的 坐標(biāo)，本題是一個基礎(chǔ)題，這種題目若出現(xiàn)一定是一個必得分題目． 3．一已知等差數(shù)列 {an}中，其前 n 項和為 Sn，若 a3+a4+a5=42，則 S7=（ ） A． 98 B． 49 C． 14 D． 147 【考點】 等差數(shù)列的前 n 項和． 【分析】 根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)求出 a4 的值，由等差數(shù)列的前 n 項和公式求出 S7的值． 【解答】 解：等差數(shù)列 {an}中，因為 a3+a4+a5=42， 所以 3a4=42，解得 a4=14， 所以 S7= =7a4=7 14=98， 故選 A． 【點評】 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前 n 項和公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 4．下列命題正確的是（ ） A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B．若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 【考點】 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】 利用直線與平面所成的角的定義，可排除 A；利用面面平行的位置關(guān)系與點到平面的距離關(guān)系可排除 B；利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷 C正確；利用面面垂直的性質(zhì)可排除 D． 【解答】 解： A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行、相交或異面，故 A 錯誤； B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行或相交，故 B 錯誤； C、設(shè)平面 α∩ β=a， l∥ α， l∥ β，由線面平行的性質(zhì)定理，在平面 α內(nèi)存在直線b∥ l，在平面 β內(nèi)存在直線 c∥ l，所以由平行公理知 b∥ c，從而由線面平行的判定定理可證明 b∥ β，進而由線面平行的性質(zhì)定理證明得 b∥ a，從而 l∥ a，故 C 正確； D，若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行或相交，排除 D． 故選 C． 【點評】 本題主要考查了空間線面平行和垂直的位置關(guān)系，線面平行的判定和性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)和判定，空間想象能力，屬基礎(chǔ)題． 5．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，它在集合學(xué)中的研究比西方早 1 千年，在《九章算術(shù)》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑，已知某 “鱉臑 ”的三視圖如圖所示，則 該鱉臑的外接球的表面積為（ ） A． 200π B． 50π C． 100π D． π 【考點】 球內(nèi)接多面體；簡單空間圖形的三視圖． 【分析】 幾何體復(fù)原為底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點的三棱錐，擴展為長方體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面積． 【解答】 解：由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形， 一條側(cè)棱垂直底面直角頂點的三棱錐；擴展為長方體，也外接與球， 它的對角線的長為球的直徑： =5 該三棱錐的外接球的表面積為： =50π， 故選 B． 【點評】 本題考查三視 圖，幾何體的外接球的表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題． 6．函數(shù) 的圖象大致是（ ） A． B． C ． D． 【考點】 函數(shù)的圖象． 【分析】 利用函數(shù)的奇偶性排除選項，特殊值的位置判斷求解即可． 【解答】 解：函數(shù) 是偶函數(shù)，排除 B， x=e 時， y=e，即（ e， e）在函數(shù)的圖象上，排除 A， 當(dāng) x= 時， y= ，當(dāng) x= 時， y=﹣ = ， ， 可知（ ， ）在（ ）的下方， 排除 C． 故選： D． 【點評】 本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力． 7．中國古代算書《孫子 算經(jīng)》中有一著名的問題 “物不知數(shù) ”如圖 1，原題為：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？后來，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)學(xué)九章》中對此類問題的解法做了系統(tǒng)的論述，并稱之為 “大衍求一術(shù) ”，如圖 2 程序框圖的算法思路源于 “大衍求一術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的 a， b 分別為 20， 17，則輸出的 c=（ ） A． 1 B． 6 C． 7 D． 11 【考點】 程序框圖． 【分析】 模擬執(zhí)行程序運行過