2有限差分法及熱傳導(dǎo)數(shù)值計(jì)算-文庫(kù)吧資料
2025-07-31 16:01本頁(yè)面
【正文】 代數(shù)方程的求解方法 2） 迭代法： 先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱(chēng)迭代計(jì)算收斂。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為 ，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為： xy??、wqx y qw (3) 內(nèi)部角點(diǎn) 22, 1 , , 1 , 1 1 ,213( 2 2 )62wm n m n m n m n m nxqxt t t t t??? ? ? ????? ? ? ? ? ?1 , , , 1 , , 1 ,1 , ,2302 4 2m n m n m n m n m n m nm n m nm n wt t t t t t xyxx y ytt y x y x yΦ qx? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? yx如圖所示內(nèi)部角點(diǎn)代表了 3/4 個(gè)元體，在同樣的假設(shè)條件下有 x y qw 討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況： （ 1）絕熱邊界 即令上式 即可。 對(duì)于 每個(gè)節(jié)點(diǎn)寫(xiě)出上式，然后聯(lián)立求解方程組 ，即可求解。則其中節(jié)點(diǎn)（ m， n)的坐標(biāo)為： X=m , Y=n , 其余節(jié)點(diǎn)類(lèi)推。 為討論方便，把如圖中的節(jié)點(diǎn) (m， n)及其鄰點(diǎn)取出并放大，如圖所示。 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解法的基本思想 —— 離散化 理論解 在規(guī)定的邊界條件下積分，有很大局限性； 數(shù)值解 借助計(jì)算機(jī)，前景廣闊。該方法稱(chēng)為數(shù)值解法。第二章 有限差分法及熱傳導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算 本章要點(diǎn)： 1. 著重掌握導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解法的基本思想 2. 掌握節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及求解 本章難點(diǎn)：離散方程的建立（ 有限差分方程 ） 本章主要內(nèi)容： 第一節(jié) 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想 第二節(jié) 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法 第三節(jié) 邊界節(jié)點(diǎn) 離散方程的建立及代數(shù)方程的求解 第四節(jié) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法 求解導(dǎo)熱問(wèn)題實(shí)際上就是對(duì)導(dǎo)熱微分方程在定解條件下的積分求解，從而獲得分析解。近 100年來(lái) ,對(duì)大量幾何形狀及邊界條件比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題獲得了分析解 ,但對(duì)于工程技術(shù)中遇到的許多幾何形狀或邊界條件復(fù)雜的導(dǎo)熱問(wèn)題 ,由于數(shù)學(xué)上的困難目前還無(wú)法得出其分析解 .隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，并得到日益廣泛的應(yīng)用 .對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行離散求解的數(shù)值方法發(fā)展得十分迅速，這些數(shù)值解法主要有以下幾種： （ 1）有限差分法 （ 2）有限元方法 （ 3）邊界元方法 ? 數(shù)值解法的實(shí)質(zhì) 對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來(lái)在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)等，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替，通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來(lái)獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。 這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱(chēng)為該物理量的數(shù)值解。 （連續(xù)的問(wèn)題 離散的問(wèn)題） 以有限差分 無(wú)限微分 無(wú)限劃分 實(shí)質(zhì) 達(dá)到精度 以差分代數(shù)方程 微分方程 計(jì)算機(jī)幫助 （當(dāng)離散點(diǎn)足夠多時(shí)可以滿(mǎn)足要求） xtdxdt???建立控制方程及定解條件 確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化） 建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程 設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值 求解代數(shù)方程 是否 收斂 解的分析 改進(jìn)初場(chǎng) 是 否 物理問(wèn)題的數(shù)值求解過(guò)程 下面先對(duì) 穩(wěn)態(tài) 導(dǎo)熱問(wèn)題中位于計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn) (簡(jiǎn)稱(chēng)內(nèi)節(jié)點(diǎn) )介紹其離散方程的建立方法，而位于邊界上的節(jié)點(diǎn)及非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散將在以后討論。 圖 43 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建
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