【正文】 rad等）。表23 不同相移量提取算法的精度、運算速度和使用條件對比算法精度運算速度使用條件RIP較高快預(yù)先濾除背景項；兩幅干涉圖即可；多于1個干涉條紋 EMN高快至少三幅干涉圖；相移量的范圍應(yīng)大于π rad；多于1個干涉條紋 IN高最快至少三幅干涉圖；相移量的范圍應(yīng)大于π rad；多于或少于一個干涉條紋均可 ACA最高最慢至少三幅干涉圖；將近一個相移周期的干涉圖 第三章 相移干涉測量中的多步相移算法研究 多步相移算法概述多步相移干涉測量，是指采集三幅或三幅以上的相移干涉圖，并從這些干涉圖中恢復待測相位，我們將該過程中恢復待測相位的算法簡稱為多步相移算法。分析和評價結(jié)果為：RIP和EMN算法均只適用于干涉圖中有多個干涉條紋的情況，EMN算法精度高，但要求相移量的范圍應(yīng)大于π rad；RIP算法的精度次之，對相移量的范圍沒有特別的要求；IN算法適用于干涉圖條紋少于一個的情況，運算速度最快，精度也很高；ACA算法精度最高，但其計算時間比較長，且要求相移量的范圍應(yīng)為一個整周期。當僅有兩幅干涉圖時（第1幅和第10幅），僅RIP算法能準確提取相移量，而其他兩種算法均失效。但當相移量的范圍小于π rad時（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。從表中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，當干涉圖數(shù)量較多，相移量范圍接近2π rad（50幅）時，其精度從大到小依次為EMN、RIP、IN。表22為本章節(jié)所介紹的幾種相移量提取算法對不同數(shù)量的實驗相移干涉圖進行提取相移量所用的運算時間和其均方根誤差對比。圖28 RIP算法對實驗相移干涉圖序列提取相移量的結(jié)果。從圖24中可以看到，與模擬的結(jié)果相同，所提取的相移量整體誤差很小，但在相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。 實驗結(jié)果為了進一步驗證RIP算法及其他相移量提取算法在實際應(yīng)用中的速度、精度及穩(wěn)定性，本文采集了一系列的實驗相移干涉圖并選取其中50幅，像素大小為512512 pixels，如圖27所示，并對其進行提取相移量的計算，結(jié)果如圖28所示。圖26 RIP算法對模擬復雜條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。(a)每幅干涉圖對應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)值之間的差值。圖23 模擬直條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。表 21幾種算法對不同數(shù)量的模擬相移干涉圖進行相移量提取的運算時間及其均方根誤差對比Fringe pattern numberRIPINEMNACATime (s)604020102RMSE (rad)604020102保持其他模擬條件不變，本文通過改變待測相位的參數(shù)來改變干涉圖條紋的形貌，分別再模擬60幅直條紋干涉圖序列（相位設(shè)置為）與60幅復雜條紋干涉圖序列（相位設(shè)置為），分別如圖23和圖25所示。這是因為RIP算法在π rad附近的誤差較大，相移量小于π rad時，計算均方根誤差時，避開了誤差較大的區(qū)域；而此時干涉圖序列的相移量范圍小于π rad，EMN算法無法準確定位最大范數(shù)點，IN、ACA算法不能正確標定其相應(yīng)范數(shù)最大最小值或單像素光強的最大最小值，使得其均方根誤差增大。相移量范圍小于2π rad且大于π時（40幅），四種算法的均方根誤差都有所增加，其精度從大到小依次為RIP、EMN、ACA、IN。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)參考值的差值的均方根。當選取60幅干涉圖， rad；當選取序列中前40幅干涉圖， rad；當選取序列中前20幅干涉圖， rad；當選取序列中前10幅干涉圖， rad；最后選取相移量為0 rad和1 rad的兩幅干涉圖。此次模擬的干涉圖序列一共有60幅， rad。圖22 RIP算法對模擬圓條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。從圖中可以看到，所提取的相移量整體誤差很小，但在真實相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。圖21 模擬圓條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。模擬相移干涉圖的各參數(shù)設(shè)置為：背景項a(x,y)=120exp[(x2+y2)], 調(diào)制幅度b(x,y)=100exp[(x2+y2)], 待測相位 =4πexp[(x2+y2)], 第n幅相移干涉圖的相移量δn=(n1) rad，≤x,y≤ mm。(3) 計算各內(nèi)積之間的比值，再通過反余弦函數(shù)提取每幅干涉圖的相移量。當干涉圖中的條紋數(shù)多于1個的時候，有以下近似條件： 結(jié)合公式(232)，可將公式(231) 簡化為： 根據(jù)公式(230)、(233)，兩幅相移干涉圖之間的相移量可由反余弦函數(shù)求出： 綜上所述，基于內(nèi)積之比的算法(RIP)提取相移量的步驟為：(1) 使用高斯高通濾波器濾除相移干涉圖的背景項。同上一節(jié)，在相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的強度可表示為： 一般來說，背景項a(x,y)是直流低頻信號，可以利用高斯高通濾波器將其濾除，濾除背景項的相移干涉圖可以表示為（為簡單明了，省去了像素坐標）： 以(=0)為參考對象，分別計算的內(nèi)積，可得 其中，M, N為干涉圖的行數(shù)與列數(shù)。本節(jié)提出一種基于干涉圖內(nèi)積之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,簡稱RIP)，該算法既可以提取多幅干涉圖的相移量，對相移量的范圍沒有特別的要求，且在只有兩幅干涉圖的情況下，也可以準確計算相移量的值。(3) 通過公式(226)計算得出每幅干涉圖的相位范數(shù)，再通過公式(227)提取相移量。在一系列的干涉圖矩陣1范數(shù)中尋找其中的最大值與最小值，且有 由上面兩個公式聯(lián)立可得 由以上公式可知 因為相移量是一個相對量，通常我們認為，是一個常數(shù)，所以只要確定出A和B的值，就可以從公式(226)中計算出相位范數(shù)，進而提取相移干涉圖之間相移量 綜上所述，矩陣1范數(shù)法(IN)提取相移量的步驟為：(1) 計算每幅相移干涉圖的矩陣1范數(shù)的值。下面介紹該算法提取相移量的原理。 矩陣1范數(shù)法在上節(jié)我們知道，相移干涉圖之間的差異性與相移量存在一定的聯(lián)系。當δn=π時，dn取得最大值，且有dmax=B。當干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1時，公式(210)中的三角函數(shù)周期也大于1，如下近似條件可以成立 結(jié)合近似條件，此時公式(212)可以簡化為 通常我們認為，在相移干涉圖序列中，b(x,y)在時域上是不變化的，因此上式中的第一項B為常數(shù)項。下面介紹該算法提取相移量的原理。由于相移干涉圖之間的差異性與相移量有密切的關(guān)系。在數(shù)學上，用歐幾里德矩陣范數(shù)(Euclidean Matrix Norm，簡稱EMN)來度量矩陣之間的差異性。由干涉圖的光強表達式(21)可知，當相移量為2kπ rad時(k=0, 1, 2, 3…)，干涉圖之間的差異性最小，其光強相等，幾乎無法區(qū)分。(2) 通過公式(27)計算得出每幅干涉圖的相對待測相位的大小，將所求相對相位分別與第一幅干涉圖的相位相減，計算出每幅干涉圖的相移量。將公式(21)變換后可得 其中，是每一幅相移干涉圖的相對待測相位的大小，它是每幅干涉圖所對應(yīng)的相移量與待測相位之和。在相移干涉測量中，可以將第n幅相移干涉圖的每個像素點的光強表示為 其中，a(x,y)為干涉圖的背景項，它是一個直流低頻項；b(x,y)為干涉圖的調(diào)制項；為待測相位；為干涉圖對應(yīng)的相移量，且δ1=0；(x,y)為像素點的位置坐標。 現(xiàn)有的相移量提取算法 反余弦算法反余弦算法(Arccosine Algorithm，簡稱ACA)通過尋找干涉圖序列中各個像素點的強度最大值與最小值，計算出干涉圖的背景項和調(diào)制項，再通過反余弦函數(shù)恢復待測相位并提取相移量。近年來，許多從相移量未知的相移干涉圖中提取相移量的算法不斷被提出，本章介紹幾種常見的相移量提取算法，如反余弦算法(ACA)、歐幾里德矩陣范數(shù)法(EMN)。在相移干涉測量過程中，由于相移器件和探測器的誤差以及外界環(huán)境擾動等因素的影響，往往使得實際相移量與理論相移量存在一定的誤差。第二章 相移干涉測量中的相移量提取算法研究 相移量提取算法概述相移量是相移干涉測量中的一個重要的物理參數(shù)，它代表著各相移干涉圖之間的差異性。本文的主要創(chuàng)新點如下：1. 改進了原有的施密特正交化兩步相移算法，在保持原算法高精度的同時，簡化了計算過程，減少了運算時間，提高了運算速度。第六章對幾種經(jīng)典的解包裹算法進行了介紹，通過計算機模擬和實驗驗證的方式，分析總結(jié)了各算法的優(yōu)缺點及其適用范圍。第五章分析了影響兩步相移算法精度的兩個主要因素：濾除背景項的方法和相移量的取值范圍。第三章對多步相移恢復相位的算法進行了概述，分別介紹了定步長算法中的三步、四步、五步相移算法和非定步長算法中的改進迭代算法與主成分分析算法，闡述了各算法恢復待測相位的基本原理，并通過計算機模擬分析了這幾種算法優(yōu)缺點及適用范圍。第二章對相移量提取算法進行了概述，分別介紹反余弦算法、歐幾里得矩陣范數(shù)法和矩陣1范數(shù)法這三種應(yīng)用于多幅干涉圖的相移量提取算法的基本原理，并提出一種既可應(yīng)用于多幅相移干涉圖，又可以應(yīng)用于兩幅相移干涉圖的相移量提取算法。針對以上現(xiàn)狀的分析，本文介紹了一些傳統(tǒng)相移算法、迭代算法的原理及其優(yōu)缺點，在此基礎(chǔ)之上，引入兩步相移干涉測量，并著重對兩步相移干涉測量中的相移量提取算法和相位恢復算法進行了理論和實驗研究。傳統(tǒng)的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉圖才能準確并有效地提取相移量或恢復待測相位，數(shù)據(jù)量大，運算時間長。 本文的研究目的、內(nèi)容及創(chuàng)新點本文研究目的如下：在相移干涉測量中，提取相移干涉圖之間的相移量，以及從干涉圖中恢復待測相位并重構(gòu)物體的三維形貌，是實際應(yīng)用中極為有意義的問題。在這一方面，針對噪聲、欠采樣或其他因素的影響，國內(nèi)外的研究人員也提出了很多解包裹算法，大致可分為路徑跟蹤算法與路徑無關(guān)算法[57]，其中比較經(jīng)典的算法有：行列逐點算法[57]、枝切法[57, 58]、最小二乘算法[57, 59]和基于傅里葉變換的解包算法[6062]等。 由于各種相位恢復算法得到的結(jié)果都是包裹相位，只有對該結(jié)果進行相位解包裹運算，才能得到連續(xù)的相位，展示待測物體真實的三維形貌。雖然這些兩步相移算法幾乎都需要預(yù)先濾除相移干涉圖中的背景項，通常利用高斯高通濾波的方法在頻域中濾除背景項[55, 56]，該濾波方法雖然比較簡便，卻不能完全濾除干涉圖的直流背景項，這也是影響兩步相移算法所恢復的相位精度的重要原因之一。上述幾種兩步算法 (Kreis、GS、CC)都須在相移干涉圖的條紋數(shù)多于1個的情況下才能進行有效的計算，為了解決這個問題，鄧建等提出基于干涉極值的兩步相移算法 (EVI)[50]，由干涉強度極大值和極小值求解出兩幅干涉圖之間的相移量，再通過一個反正切函數(shù)恢復待測相位。Muravsky等提出相關(guān)系數(shù)算法(CC)[49]，通過計算兩干涉圖向量之間的相關(guān)系數(shù)來提取相移量并進一步恢復待測相位。例如，Kreis等提出基于傅里葉變換的兩步相移算法(Kreis)，可通過傅里葉變換來計算待測相位[45]，但其恢復相位的精度受噪聲影響較大。近年來，為了降低環(huán)境和空氣擾動對測量精度的影響，降低測量系統(tǒng)復雜性，以及減少提取相移量和恢復相位的計算量，提高運算速度，許多兩步相移算法相繼而出[4454]。Vargas等提出基于主成分分析的算法 (PCA)[42, 43]，可以較快地提取相移量并恢復待測相位，但該算法需要通過時域平均的濾波方法濾除相移干涉圖的直流背景項，因此要求干涉圖之間的相移量是均勻分布在(0, 2π) rad范圍之內(nèi)?；謴痛郎y物體的相位信息，可以用來重構(gòu)物體三維形貌，測量表面輪廓或形變，在這一方面，國內(nèi)外的研究人員也提出了很多的相位恢復算法[3843]。鄧建等提出了一種基于歐幾里德矩陣范數(shù)的相移量提取算法[35]，速度快，精度高，但該算法要求干涉圖中的干涉條紋數(shù)多于一個，且干涉圖序列的相移量范圍不能小于π rad。為此，許多相移量提取算法已經(jīng)被提出[3137]。因此，如何在相移量未知的情況下，快速并準確地提取干涉圖之間相移量及恢復相位，一直是相移干涉測量研究和應(yīng)用中需要解決的重要問題。一般來說，要恢復待測物體的相位信息，至少需要三幅相移干涉圖；為了減少環(huán)境噪聲和其它干擾對相位測量精度的影響，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不斷提出[30]。二是對相移量提取算法與相位恢復算法的研究，即設(shè)計對相移誤差不敏感或者抗噪能力強的算法[29]，提高所恢復的相移量與相位的精度。此后，為了進一步提高相移干涉測量的精度，國內(nèi)外的研究者們做了大量的研究工作[24]，歸納起來基本可以分為兩大類：一是對硬件的研究，即優(yōu)化相移干涉測量的實驗裝置和光學系統(tǒng)，使用更好的光學元件或設(shè)計更好的光學系統(tǒng)，降低因元件缺陷而帶來的測量誤差，盡量減少測量過程中的環(huán)境和其他因素的干擾[25]，或?qū)Ω蓴_造成的誤差進行校正[26, 27]。于1966年提出了相移干涉測量的主體想法和思路[22]。許多商用干涉儀和光學檢測儀器也都釆用了相移干涉測量技術(shù)。在以上各類方法中，時域相移法是目前最常用、最有效、最可靠的方法，本文也是在時域相移干涉測量的領(lǐng)域內(nèi)進行研究。空間載頻相移法是采用兩個窗函數(shù)卷積原干涉圖，從而產(chǎn)生多幅相移干涉圖，并使用時間相移法的公式進行恢復相位。空域相移法是在同一時刻但不同的空間位置采集多幅相移干涉圖。時域相移法是指：在時間軸上產(chǎn)生相移,按一定的順序在不同的時刻采樣相移干涉圖的方法