【正文】 性條件. 定義 設(shè)為中的參數(shù)曲面. 如果在點(diǎn)，兩條參數(shù)曲線的切向量 ， ()線性無關(guān)，即，則稱或是的正則點(diǎn)(regular point). 如果上每一點(diǎn)都是正則點(diǎn)，則稱是正則參數(shù)曲面.以下總假定是正則曲面. 在正則曲面上每一點(diǎn)，由于， ()通過重新選取正交標(biāo)架，不妨設(shè).根據(jù)反函數(shù)定理，存在的鄰域，使得有連續(xù)可微的反函數(shù)，即有.此時(shí)有的鄰域和同胚映射. 從而有連續(xù)映射. 于是在的鄰域內(nèi)可用參數(shù)方程表示為， (*) 或表示為一個(gè)二元函數(shù)的圖像，其中. ()上式稱為曲面片的Monge形式，或稱為的顯式方程. 從(*)式可見是一一對(duì)應(yīng)，從而也是一一對(duì)應(yīng). 這說明正則性條件至少保證了局部是一一對(duì)應(yīng). 為了確定起見，以下約定正則曲面與其定義域之間總是一一對(duì)應(yīng)的，從而參數(shù)可以作為曲面上點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 反之，由顯式方程表示的曲面總是正則的：如果 ， ()則，從而.二、參數(shù)變換曲面的定向(orientation)：對(duì)于曲面，規(guī)定所指的一側(cè)為的正側(cè).由于參數(shù)曲面的參數(shù)方程中，參數(shù)的選擇不是唯一的，在進(jìn)行參數(shù)變換(transformation of parameter)時(shí)，要求參數(shù)變換 ()滿足：(1) 是的3次以上連續(xù)可微函數(shù)；(2) 處處不為零. 這樣的參數(shù)變換稱為可允許的(patible)參數(shù)變換. 當(dāng)時(shí)，稱為保持定向(preserve the orientation)的參數(shù)變換. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在新的參數(shù)下， .因此 . ()上式說明在可允許的參數(shù)變換下，正則性保持不變；在保持定向的參數(shù)變換下，曲面片的正側(cè)保持不變. 三、正則曲面正則參數(shù)曲面在具體應(yīng)用總是十分方便，十分廣泛的. 但是有的曲面不能夠用一張正則參數(shù)曲面來表示，例如球面. 將與等同，賦予普通的度量拓?fù)?，即以的?biāo)準(zhǔn)度量確定的拓?fù)? 設(shè)是的一個(gè)子集，具有相對(duì)拓?fù)? 如果對(duì)任意一點(diǎn)，存在在中的一個(gè)鄰域(，其中是在中的鄰域)，和中的一個(gè)區(qū)域，以及同胚 ，使得是中一個(gè)正則參數(shù)曲面，則稱是中的一張正則曲面(regular surface)，簡(jiǎn)稱曲面. 上述的鄰域和同胚的逆映射合在一起，將稱為該曲面的一個(gè)局部參數(shù)化(local parameterization)，或坐標(biāo)卡(coordinate chart). 注 的拓?fù)涫亲鳛榈淖蛹瘡恼T導(dǎo)的相對(duì)拓?fù)?，即作為的拓?fù)渥涌臻g的拓?fù)? 如果兩個(gè)局部參數(shù)化，滿足，那么正則參數(shù)曲面就有兩個(gè)參數(shù)表示和. 由此自然產(chǎn)生了參數(shù)變換.利用正則參數(shù)曲面的3次以上連續(xù)可微性和正則性，可以證明上述參數(shù)變換是可允許的. 直觀上看，正則曲面是由一些正則參數(shù)曲面“粘合”而成的. 只有那些與參數(shù)的選擇無關(guān)的量才是曲面本身的幾何量. 如果一個(gè)正則曲面有一族保持定向的局部參數(shù)化(為指標(biāo)集)，使得構(gòu)成的開覆蓋，則稱該曲面是可定向的(orientable). 除非特別指出，本課程一般是研究正則參數(shù)曲面的幾何性質(zhì)，稱之為“局部微分幾何學(xué)”. 以下所說的“曲面”一般都是正則參數(shù)曲面，包括習(xí)題中出現(xiàn)的“曲面”.四、正則曲面的例子 圓柱面(cylinder) ，. ()，圓柱面上少了一條直線.如果取，上面的直線在參數(shù)曲面上，但是又少了一條直線. 顯然是任意階連續(xù)可微的. 又，.所以圓柱面是正則曲面. 圓柱面也可以用一個(gè)坐標(biāo)卡表示：，.所以圓柱面是可定向的. 球面(sphere) ，參數(shù)方程為，. ()其中. 由于，所以球面是正則曲面.問題：球面至少需要幾個(gè)坐標(biāo)卡才能將它覆蓋？(參見習(xí)題2) 旋轉(zhuǎn)面(revolution surface) 設(shè)是平面上一條曲線，其中. 將繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面參數(shù)方程為 ，. ()旋轉(zhuǎn)面上的u曲線稱為緯線圓，v曲線稱為經(jīng)線. 因?yàn)椋援?dāng)是正則曲線，并且時(shí)，是正則曲面. 正螺面(hericoid) 設(shè)兩條直線和垂直相交. 將直線一方面繞作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)沿作勻速滑動(dòng)，的運(yùn)動(dòng)軌跡叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直線為x軸，為z軸，建立右手直角坐標(biāo)系. 則正螺面的參數(shù)方程為，. ()由，可知正螺面是正則曲面. 直紋面(ruled surface) 簡(jiǎn)單來說，直紋面就是由單參數(shù)直線族構(gòu)成的曲面. 設(shè) ()是一條空間正則曲線. 在上對(duì)應(yīng)于參數(shù)的每一點(diǎn)有一條直線，其方向向量為. 這條直線的參數(shù)方程可以寫成.讓在區(qū)間內(nèi)變動(dòng)，所有這些直線就拼成一個(gè)曲面，稱為直紋面. 它的參數(shù)方程為，. ()曲線稱為該直紋面的準(zhǔn)線(directrix)，而這個(gè)單參數(shù)直線族中的每一條直線都稱為直紋面的一條直母線(generating line)，也就是直紋面的曲線. 為了保證直紋面的正則性，要求. ()因?yàn)橹蹦妇€的方向向量，通過參數(shù)變換，可設(shè). 再通過選取新的準(zhǔn)線，其中是待定的函數(shù)，使得直母線處處與準(zhǔn)線垂直相交，即. 因?yàn)椋豁毴〖纯?1. 當(dāng)為常向量時(shí)，所有的直母線互相平行，直紋面稱為柱面(cylindrical surface). 2. 當(dāng)所有的直母線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)時(shí)，直紋面稱為錐面(cone). 3. 當(dāng)時(shí)，稱為切線曲面(tangent surface)，由準(zhǔn)線的所有切線構(gòu)成. 這3種直紋面有共同的特征，在167。 保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)和保角對(duì)應(yīng) 40一、曲面到曲面的連續(xù)可微映射 40二、切映射 40三、保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)(等距對(duì)應(yīng)) 42四、保角對(duì)應(yīng)(共形對(duì)應(yīng)) 44167。 第一基本形式 35167。 正則參數(shù)曲面 27一、參數(shù)曲面 27二、參數(shù)變換 28三、正則曲面 29四、正則曲面的例子 30167。 存在對(duì)應(yīng)關(guān)系的曲線偶設(shè)兩條正則參數(shù)曲線之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，. 對(duì)曲線作參數(shù)變換，可設(shè)，從而之間的一一對(duì)應(yīng)就是參數(shù)相同的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng). 如果兩條互不重合的曲線之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，使得它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的主法線，則稱這兩條曲線為Bertrand曲線偶，其中每一條曲線稱為另一條曲線的侶線，或共軛曲線. 注 在平面上，每一條正則曲線都有侶線，構(gòu)成Bertrand曲線偶. 證明 設(shè)是的弧長(zhǎng)參數(shù)，是的單位切向量場(chǎng)，. 取充分小的非零實(shí)數(shù)使得,. 則是曲線的侶線. 事實(shí)上，因?yàn)椋裕? 另一方面由可知. 因此. 設(shè). 于是的曲率.當(dāng)常數(shù)充分小時(shí)，所以是正則參數(shù)曲線. 因?yàn)椋郧€和不重合. 現(xiàn)在來證明在對(duì)應(yīng)點(diǎn)和有相同的主法線. 在相同的參數(shù)點(diǎn)處，的主法線是過(的終)點(diǎn)且垂直于的直線，所以的方程為，.同理，在相同的參數(shù)點(diǎn)處，的主法線是過點(diǎn)且垂直于的直線. 所以(因?yàn)樗鼈兌即怪庇?. 由定義可知在直線上，所以與重合. □下面考慮空間撓曲線，即撓率的曲線. 設(shè)和是Bertrand曲線偶. 則和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是常數(shù)，并且和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線成定角. 證明 設(shè)曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)方程為，F(xiàn)renet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為和. 因?yàn)楹椭g存在一一對(duì)應(yīng)，設(shè)上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，是的一般參數(shù)，的Frenet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為和. 再設(shè)的弧長(zhǎng)參數(shù)為. 由條件，在曲線上的點(diǎn)處的主法線上，所以，并且. 因此可設(shè)， ()其中是常數(shù)，是可微函數(shù).將()兩邊對(duì)求導(dǎo)，利用Frenet公式，得 . ()以分別與上式兩邊作內(nèi)積，可得，是常數(shù). 再由()得，即和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是常數(shù)，因?yàn)楹筒恢睾?.設(shè)，則. 因?yàn)?，所以是常?shù)，從而是常數(shù). □ 設(shè)正則曲線的曲率和撓率都不為零. 則是Bertrand曲線的充分必要條件是：存在常數(shù)，且，使得. 證明 必要性. 設(shè)曲線有侶線，它們的參數(shù)方程分別是和，其中是的弧長(zhǎng)參數(shù). ，設(shè)和分別是和的Frenet標(biāo)架，分別是的曲率和撓率，是的弧長(zhǎng)參數(shù). 現(xiàn)在()和()分別成為， (). ()其中是常數(shù). 因此由得，其中也是一個(gè)常數(shù). ，是常數(shù). 用與()兩邊作內(nèi)積，得.由可知，從而是常數(shù). 這就是說，存在常數(shù)，使得. 充分性. 設(shè)正則弧長(zhǎng)參數(shù)曲線的曲率和撓率滿足，其中是常數(shù)，且. 令，則.所以由參數(shù)方程定義的曲線是正則曲線，并且與曲線不重合(因?yàn)?.由于，曲線的單位切向量場(chǎng)，其中是常數(shù)，滿足，.設(shè)是的弧長(zhǎng)參數(shù)，利用Frenet公式，有.如果，則有，從而曲線是的侶線，和是Bertrand曲線偶(在參數(shù)相同的點(diǎn)，和得主法線有相同方向，并且在處的主法線上). 如果，則. 結(jié)合可知和都是非零常數(shù)，是圓柱螺線，從而是Bertrand曲線. □ 如果兩條曲線之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，使得曲線在任意一點(diǎn)的切線正好是在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的法線(即垂直于在該點(diǎn)的切線)，則稱曲線是的漸伸線. 同時(shí)稱曲線是的漸縮線. 設(shè)是正則弧長(zhǎng)參數(shù)曲線. 則的漸伸線的參數(shù)方程為. ()證明 設(shè)漸伸線上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為. 則在曲線上點(diǎn)處的切線上，故有函數(shù)使得. ()由漸伸線的定義，所以.由此得，. 代入()即得(). □曲線的漸伸線可以看作是該曲線的切線族的一條正交軌線，位于的切線曲面上. . 則的漸縮線的參數(shù)方程為. ()證明 設(shè)漸縮線上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為. 由定義，可設(shè). ()求導(dǎo)得 . 因?yàn)?，所以，即有? ()所以，且由()第2式得，.所以有(). □課外作業(yè)：習(xí)題4，8167。 曲線論基本定理已經(jīng)知道正則參數(shù)曲線的弧長(zhǎng)、曲率、撓率是曲線的不變量，與坐標(biāo)系取法及保持定向的參數(shù)無關(guān)，都是曲線本身的內(nèi)在不變量. 在空間的剛體運(yùn)動(dòng)下，弧長(zhǎng)、曲率、撓率保持不變(為什么？). 反之，這三個(gè)量也是曲線的完備不變量系統(tǒng)，對(duì)確定空間曲線的形狀已經(jīng)足夠了，即有 (唯一性定理) 設(shè)是中兩條以弧長(zhǎng)為參數(shù)的正則參數(shù)曲線，. 如果它們的曲率處處不為零，且有相同的曲率函數(shù)和撓率函數(shù)，即，則有中的一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)將變成. 證明 選取中的剛體運(yùn)動(dòng)將在處的Frenet標(biāo)架變?yōu)樵谔幍腇renet標(biāo)架. 則這個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)將變?yōu)檎齽t曲線. 設(shè)的弧長(zhǎng)參數(shù)方程為. 由于在剛體運(yùn)動(dòng)下，弧長(zhǎng)、曲率、撓率保持不變，與也有相同的曲率和撓率函數(shù)： ，. 且在處它們有相同的Frenet標(biāo)架：令和分別為和的Frenet標(biāo)架. 則它們都滿足一階線性常微分方程組初值問題 () ()根據(jù)解的唯一性()，有，即與重合. □注 常微分方程組()中，共有12個(gè)未知函數(shù)：，. 初始條件為：，.，它們的曲率處處不為