【正文】 的不連續(xù)性。把前面的記號修改為： ， 這樣，我們就能得到數(shù)字圖像金字塔算法非常簡潔的形式，分解算法是： 合成算法是： 這就是數(shù)字圖像小波變換的矩陣算法形式。 為了簡單起見，引入記號：根據(jù)構(gòu)造正交小波的充要條件可以得到：， 在這些記號下，數(shù)字圖像的塔式分解算法：， 就變成如下的矩陣變換形式： 同時(shí)，數(shù)字圖像的塔式合成算法公式： 就變成了如下的矩陣變換形式： 其中記號和分別是無窮矩陣和的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。這樣，二維尺度方程和小波函數(shù)可以統(tǒng)一寫成： 利用一維空間上正交多分辨分析的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的張量積，產(chǎn)生二維函數(shù)空間上的正交多分辨分析能夠得到的尺度方程、小波方程和小波包方程。這時(shí)，二維正交小波函數(shù)共有三個(gè)：， 相應(yīng)的小波子空間是： 其中。我們用張量積方法從一維到二維的推廣形式，算法雖然比較復(fù)雜，但是利于編程，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式也很簡單。具體依賴關(guān)系是： 相應(yīng)的空間的分解過程為： 系數(shù)分解過程為： 信號的重建過程實(shí)際上體現(xiàn)的是尺度倍減變得越來越小時(shí)，對應(yīng)的尺度變換和小波變換之間的關(guān)系，在小波包的場合，體現(xiàn)的是較細(xì)頻帶之間經(jīng)過合成得到寬頻帶信號的過程。這樣，分解過程自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)金字塔形的逐次分解結(jié)果，這就是金字塔算法。信號的尺度變換系數(shù)和小波變換系數(shù)之間的關(guān)系現(xiàn)在可以寫成： 在這些基礎(chǔ)上，需要解決的問題可以表述為：第一，若系數(shù)已知，給出計(jì)算系數(shù)和的算法，即Mallat分解算法；第二，如果已知系數(shù)對和，給出計(jì)算系數(shù)的算法，即Mallat合成算法；第三，在重復(fù)使用Mallat算法的過程中，每步計(jì)算得到的信號所在子空間的關(guān)系，即算法的幾何意義；第四，Mallat算法的二維形式。稱為的尺度系數(shù)和小波系數(shù)，同時(shí)，將在閉子空間和上的正交投影分別記為和，這樣：。 將上的多分辨分析記為，尺度方程和小波方程為：， 其中。 多分辨分析和塔式算法[8][11] 利用正交多分辨分析以及尺度方程和小波方程的系數(shù)，可以得到信號小波變換的正變換和逆變換的遞推算法，即Mallat算法。圖像處理就是構(gòu)造一系列的算法，利用這些算法去完成對這個(gè)巨大的數(shù)字矩陣的分析和診斷、編碼、量化和壓縮、檢測、合成和重建。我們稱二維數(shù)字信號為數(shù)字圖像，對它的處理是基于圖像的數(shù)字化描述來實(shí)現(xiàn)的。利用小波譜對原始信號的重建公式就是類似于傅立葉級數(shù)的正交小波級數(shù)： 其中 這說明，正交小波分析對應(yīng)的時(shí)頻分析是實(shí)現(xiàn)中信號時(shí)頻原子分解的一種有效途徑。與此相應(yīng)，頻域中的頻帶是，而且對應(yīng)于時(shí)間域上的就是函數(shù)空間上的閉子空間。 考慮到數(shù)值計(jì)算和理論分析的特殊需要，對二進(jìn)小波變換處理頻域的方式進(jìn)行時(shí)間參數(shù)的離散化，最完美的一種解決方案就是正交小波分析。 二進(jìn)小波函數(shù)對應(yīng)的頻帶是，當(dāng)二進(jìn)小波的傅立葉變換作為頻率函數(shù)滿足時(shí)，頻域的二進(jìn)頻帶劃分：是沒有重疊的。 對于離散小波變換，在參數(shù)固定的條件下，隨著參數(shù)取遍非負(fù)實(shí)數(shù)，這些頻帶覆蓋了原信號在時(shí)間點(diǎn)附近的各種頻率成分，但它們之間的覆蓋也是很嚴(yán)重的。這體現(xiàn)的正是小波變換所特有的能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)間局部化同時(shí)頻率局部化的時(shí)頻局部化能力。對于較小的，時(shí)窗變窄，主頻（中心頻率）變高，時(shí)頻窗能自適應(yīng)地檢測到信號的高頻成分；同樣，對于較大的，時(shí)頻窗能自適應(yīng)地檢測到信號的低頻頻成分。對任意參數(shù)，連續(xù)小波及其傅立葉變換都滿足窗口函數(shù)的要求，它們的中心和窗寬分別為：， 。但是傅立葉變換必須獲得信號在時(shí)域中的全部信息，以至于包括未來的信息；它對信號的局部畸變沒有標(biāo)定和度量能力；同時(shí)，傅立葉變換不能反映信號的局部化時(shí)頻分析；最后，它也不能根據(jù)信號的頻率不同給出一個(gè)靈活多變的時(shí)頻分析窗口。 根據(jù)得到的系數(shù)列，首先，由雙尺度方程： 解出緊支尺度函數(shù)，其次，由構(gòu)造函數(shù)： 得出緊支的小波函數(shù)。這樣，緊支尺度函數(shù)和緊支小波函數(shù)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造系數(shù)有限的共軛濾波器。因且有標(biāo)準(zhǔn)正交基所以存在唯一的系數(shù)序列使得： （尺度方程） 又因?yàn)樾〔ê瘮?shù)，所以存在序列，使得 （構(gòu)造函數(shù)） 引入記號：，分別稱為低通和高通濾波器的頻率響應(yīng)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)可知： 高低通濾波器頻率響應(yīng)的基本關(guān)系： 不難證明，當(dāng)時(shí)，成為正交小波。仿照Shannon小波的構(gòu)造，對，定義如下的子空間，使得，則子空間具有如下性質(zhì)： ① ； ② ； ③。由空間關(guān)系：可以得到如下分解：根據(jù)這些信號傅立葉變換的級數(shù)表達(dá)式可得： 在時(shí)間域表示為： 這就是Shannon小波。不難證明，當(dāng)取全部整數(shù)，將構(gòu)成的完全的正交直和分解。 根據(jù)Parseval恒等式，對于任何整數(shù)，當(dāng)信號是頻率截?cái)鄷r(shí)，函數(shù)族構(gòu)成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 尺度參數(shù)取二進(jìn)離散值，則函數(shù)的二進(jìn)離散小波變換的取值 進(jìn)一步，如果尺度參數(shù)取二進(jìn)離散值，而時(shí)間中心參數(shù)取二進(jìn)整倍數(shù)離散值，則函數(shù)的二進(jìn)離散小波變換的取值為正交小波系數(shù)。因此對小波變換進(jìn)行離散化處理也是必要的。這說明小波變換和傅立葉變換一樣在變換域保持信號的內(nèi)積不變，只不過，小波在變換域的測度應(yīng)該取為，而不是像傅立葉變換那樣取Lebesgue測度。其反演公式說明小波變換作為信號變換和信號分析的工具在變換過程中是沒有信息損失的，從而保證小波變換在變換域?qū)π盘栠M(jìn)行分析的有效性。另外，一般稱參數(shù)為尺度參數(shù)，而參數(shù)為時(shí)間中心參數(shù)。對于任意的函數(shù)或者信號，其小波變換定義為： 反變換： 由此可見，對任意函數(shù)，它的小波變換是一個(gè)二元函數(shù)。也稱為小波母函數(shù)。直觀得說，就是在遠(yuǎn)離原點(diǎn)的地方衰減得比較快的那些函數(shù)或者信號構(gòu)成的空間。 小波的基本理論和小波構(gòu)造為了行文方便，我們約定，一般用小寫字母，比如f (x)表示時(shí)間信號或函數(shù)，其中x表示時(shí)間域自變量，對應(yīng)的大寫字母F (w)表示相應(yīng)函數(shù)或信號的傅立葉變換，其中w表示頻域自變量；尺度函數(shù)總是寫成（時(shí)間域）和（頻率域）；小波函數(shù)總是寫成（時(shí)間域）和（頻率域）。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的圖像處理大多數(shù)是不平穩(wěn)信號，至少在觀測的全部時(shí)間段內(nèi)它不是平穩(wěn)的，所以，隨著圖像處理應(yīng)用范圍的逐步擴(kuò)大和理論分析的不斷深入，傅立葉變換的局限性就漸漸展示出來了。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士論文 第2章 小波分析和多尺度邊緣檢測第2章 小波分析和多尺度邊緣檢測傅立葉變換是一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號的傅立葉變換表示信號的頻譜。第6章實(shí)時(shí)圖像檢測系統(tǒng)實(shí)例，詳細(xì)介紹了我在實(shí)驗(yàn)室的一個(gè)工作項(xiàng)目―啤酒成品檢測系統(tǒng)，運(yùn)用圖像處理技術(shù)，提出了一種基于圖像的啤酒合格度檢測算法。第5章DSP原理與開發(fā)應(yīng)用，闡述了DSP高速實(shí)時(shí)圖像處理系統(tǒng)。包括：圖像預(yù)處理、邊緣檢測、物體識(shí)別等。第2章小波分析和多尺度邊緣檢測，該部分詳細(xì)分析了小波理論、小波基構(gòu)造和Mallat小波算法，闡述了小波邊緣檢測方法和快速小波算法。本人以微機(jī)為主系統(tǒng)，DSP為從系統(tǒng)，完成了硬件、軟件設(shè)計(jì)，可以實(shí)時(shí)地完成從圖像采集、處理、顯示及系統(tǒng)控制的全過程，并且在實(shí)際檢測中取得了很好的效果。需要根據(jù)調(diào)試結(jié)果來更改系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置，甚至需要重新選擇處理算法。但單片DSP 的性能受VLSI工藝的物理極限限制，使得采用并行處理結(jié)構(gòu)成為實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)圖像處理必由之路。實(shí)時(shí)圖像處理數(shù)據(jù)量大，一般要求系統(tǒng)有50~ 500MOPS的處理能力，因此需采用高速、高性能的主處理器。并且對各個(gè)層次上算法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行闡述。 ⒊ 圖像處理的算法研究的及其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)首先是基于傳統(tǒng)的濾波和邊緣檢測算法的分析，了解其優(yōu)缺點(diǎn)。 ⒉ 小波檢測方法研究掌握小波構(gòu)造、Mallat小波分解、重構(gòu)和多尺度邊緣檢測方法，結(jié)合具體環(huán)境，選擇小波平滑函數(shù)和邊緣檢測閾值。 本文的主要工作有： ⒈ 調(diào)研廣泛研究了實(shí)時(shí)圖像處理系統(tǒng)開發(fā)的一般方法，尤其是以DSP為核心的并行處理技術(shù)和小波圖像處理技術(shù)，確定了以小波邊緣檢測、TMS320C32系統(tǒng)作為研究的出發(fā)點(diǎn)。本文還對邊緣檢測算法、降噪算法和不規(guī)則物體表面積計(jì)算算法進(jìn)行了優(yōu)化，降低了復(fù)雜度。要解決這些問題，除了要了解相關(guān)的專業(yè)知識(shí)和實(shí)際工作環(huán)境以外，還需要有很強(qiáng)的綜合分析能力，因此包含有綜合技術(shù)集成的研究是我們面臨的新課題，也是我們當(dāng)前系統(tǒng)設(shè)計(jì)急需解決的重要課題?，F(xiàn)在的實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)，已經(jīng)取得了理論上、應(yīng)用上的突出成果，并步入了大發(fā)展時(shí)期，但也面臨著許多挑戰(zhàn)，諸如處理速度問題，價(jià)格成本問題，復(fù)雜環(huán)境下的應(yīng)用問題，模糊圖像的還原問題等等，歸納起來，這些挑戰(zhàn)集中在以下3個(gè)方面：① 先進(jìn)理論在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用；② 復(fù)雜問題的求解；③ 處理速度的高速化；在“啤酒成品檢測”項(xiàng)目里，這3個(gè)方面的挑戰(zhàn)是交織在一起的。 需要完成的工作： ① 了解啤酒成品檢測系統(tǒng)的應(yīng)用環(huán)境和技術(shù)要求； ② 制定啤酒成品檢測系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作原理； ③ 完成系統(tǒng)開發(fā)工作（軟件層、硬件層）； ④ 安裝、測試系統(tǒng)并在實(shí)際工作中檢驗(yàn)系統(tǒng)性能。 在啤酒成品檢測系統(tǒng)的開發(fā)過程中，我們將目前流行的先進(jìn)知識(shí)應(yīng)用與實(shí)踐，使科學(xué)理論轉(zhuǎn)化為生長力。采用圖像檢測，可以方便、實(shí)時(shí)地檢測到異物的大小和位置，并通過控制器加以校正。⒊ 完成“啤酒成品檢測系統(tǒng)”項(xiàng)目開發(fā) 目前，國內(nèi)大多數(shù)的啤酒生產(chǎn)線上都采用啤酒樣品濃度分析儀檢測啤酒的合格度，并輔之人工目測和經(jīng)驗(yàn)的方法來判斷。為了獲得足夠的計(jì)算能力，我們以兩片TMS320C32作為系統(tǒng)的運(yùn)算中心構(gòu)筑了實(shí)時(shí)圖像處理系統(tǒng)。由于圖像處理的數(shù)據(jù)量大，數(shù)據(jù)處理相關(guān)性高，實(shí)時(shí)的應(yīng)用環(huán)境決定嚴(yán)格的幀、場時(shí)間限制，因此實(shí)時(shí)圖像處理系統(tǒng)必須具有強(qiáng)大的運(yùn)算能力。近年來，多尺度的概念已融于小波理論中，對某一類小波，圖像邊緣對應(yīng)于小波變換的局部模最大值，基于小波變換與邊緣檢測的關(guān)系, 我們針對特定的試驗(yàn)環(huán)境提出了一種用小波變換進(jìn)行邊緣檢測的算法，并采用該算法在系統(tǒng)中進(jìn)行邊緣檢測。目前已有梯度算子、Laplace算子、Robert算子、Sobel算子、Marr算子等眾多方法。需要做的工作： ① 收集具有代表性的先進(jìn)圖像處理技術(shù)的論文； ② 分析它們的優(yōu)缺點(diǎn)和應(yīng)用背景； ③ 跟蹤和掌握實(shí)時(shí)圖像處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法和技術(shù)特點(diǎn)； ④ 熟練掌握圖像并行處理技術(shù)在微機(jī)系統(tǒng)中的應(yīng)用。目前比較流行的例如：降噪、圖像壓縮、邊緣檢測等。小波變換和多分辨分析由于其對非靜態(tài)信號分析的優(yōu)越性，在圖像處理領(lǐng)域有著獨(dú)特的地位和重要的應(yīng)用。 研究任務(wù)和目標(biāo)⒈ 對圖像處理系統(tǒng)和并行圖像處理技術(shù)最前沿技術(shù)得跟蹤和掌握 針對圖像處理系統(tǒng)的走勢，無疑高速率、高質(zhì)量的實(shí)時(shí)檢測系統(tǒng)將代表著未來十幾年，甚至幾十年的圖像處理系統(tǒng)的發(fā)展方向。 對于實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)，其社會(huì)需求是巨大的，盡管目前在各個(gè)領(lǐng)域已有一些成功的應(yīng)用，但與社會(huì)總需求相比，許多應(yīng)用還沒有發(fā)展起來，究其原因，主要存在兩方面問題，首先是系統(tǒng)代價(jià)很高，用戶難以承受；其次是系統(tǒng)本身還沒有真正解決一些實(shí)際問題。目前在100萬枚指紋庫中進(jìn)行比對，可達(dá)到10萬枚/s的匹配水平。這兩類系統(tǒng)的工作方式都是從待查詢的原始圖像中提取特征，然后以這些特征去數(shù)據(jù)庫查找和原始圖在特征上相近的指紋或人面像。三、實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)在刑事偵察中的應(yīng)用 指紋識(shí)別技術(shù)已經(jīng)趨于成熟，并已廣泛地用于形式偵察中，例如最近美國啟用“美國訪客和移民身份顯示技術(shù)”(USVISIT)系統(tǒng)，要求外國入境者留指紋和拍照以進(jìn)行身份鑒定。車站編組站對一輛列車的車廂重新進(jìn)行編組，其中的一項(xiàng)工作是在列車運(yùn)動(dòng)中卸下車廂之間的掛鉤，需要智能控制系統(tǒng)來完成，這個(gè)控制系統(tǒng)必須高速地識(shí)別出掛鉤的準(zhǔn)確位置，繼而產(chǎn)生拆卸掛鉤的動(dòng)作。為了提高處理速度，我們大量采用硬件和軟件方面的并行技術(shù)以提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，檢測速度最終可達(dá)到120幅/min。 我們研制的啤酒成品檢測系統(tǒng)用微機(jī)作為主機(jī)，采用TMS320C32芯片做從機(jī)來共同完成。因此啤酒的合格性檢測成為了一個(gè)很重要的過程。 二、實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)在工業(yè)自動(dòng)化中的應(yīng)用啤酒成品檢測是啤酒制造廠生產(chǎn)過程中的一項(xiàng)重要任務(wù)。 同樣，地對地、空對空等軍事目標(biāo)的跟蹤都需要實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)?！皭蹏摺盤AC3型導(dǎo)彈是美國研制的進(jìn)程地對空導(dǎo)彈，1999年成功攔截了“赫拉”目標(biāo)火箭。 一、實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)在軍事上的應(yīng)用 軍事上對圖像處理速度的追求是十分強(qiáng)烈的。在可用、不可用的地方，代價(jià)問題會(huì)成為考慮的重點(diǎn)，而在必須應(yīng)用的地方，考慮的重點(diǎn)則是實(shí)時(shí)圖像處理系統(tǒng)的性能及可行性。⒊ 實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)的應(yīng)用和需求[19] 實(shí)施圖像處理技術(shù)的應(yīng)用是多方面的，毫不夸張地說，凡是在圖像處理技術(shù)應(yīng)用的地方都可以應(yīng)用實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)，原因在于實(shí)時(shí)圖像處理技術(shù)可以提高圖像處理的速度。每年都有大量的學(xué)者對圖像處理進(jìn)行研究，大量的會(huì)議以此為主題進(jìn)行研究，新理論新方法層出不窮，并產(chǎn)生大量的論文和專著。Mallat結(jié)合圖像傳統(tǒng)的小波分析理論，提出了多分辨分析理論，并構(gòu)建了尋找合適小波及相關(guān)尺度函數(shù)、MRA的統(tǒng)一方法，利用對圖像的不同尺度、不同分辨率下的細(xì)節(jié)特征的分析，來確定用戶關(guān)心的圖像信息。一方面，Lebesgue尋找到合適的函數(shù)空間，以符合傅立葉變換收斂的要求；另一方面，DuboisReymond提出修改傅立葉變換收斂定義，導(dǎo)致調(diào)和分析方法的出現(xiàn)；而Haar則致力于尋找新的正交基，來建立一種性能更好的變換方法，并最終導(dǎo)致了小波分析方法的出現(xiàn)。⒉ 小波圖像處理理論和多尺度邊緣檢測[14]自從1807年傅立葉提出并倡議用傅立葉變換反變換研究函數(shù)以來，傅立葉變換就是分析函數(shù)的最有力的工具之一，利用傅立葉變換研究圖像性質(zhì)也是一種常用方法。第二是引入多種并行機(jī)制?，F(xiàn)在幾乎每隔三五年集成度和性能價(jià)格比就將翻一番，這使得瓶頸處的元件速度提高成為可能。事實(shí)上圖像處理與理解中的數(shù)據(jù)與算法有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若計(jì)算機(jī)的結(jié)構(gòu)能與之匹配，則能有效地加快處理速度。機(jī)器的大部分工作