【正文】 2，0，3的三點作為射影坐標系的A1,A2, E，(i)求此直線上任一點P的笛氏坐標x與射影坐標λ的關(guān)系；（ii）問有沒有一點，它的兩種坐標相等？ 解：笛氏坐標 0 2 3 x 射影坐標： A2 A1 E λ（i）由定義 λ=（A1A2，EP）=（2 0，3x）=(ii) 若有一點它的兩種坐標相等，即x=λ則有，即3x2－7x=0，∴當x=0及x=時兩種坐標相等。 即在等腰三角形中，底邊的頂點到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。）=－1，所以D39。在等腰△ABC中，若AB=AC，D為垂足，因而D為BC的中點。）=－1，在等腰三角形AB=AC的情況，這命題給出什么結(jié)論？ 證明：設(shè)P為△ABC的垂心，由完全四點形AFPE（圖17）的性質(zhì)，得（BC，DD39。  設(shè)AD，BE，CF為△ABC的三高線，EFBC=D39。 解：設(shè)線束中心為S，以直線1分別截a,b，c于A，B，C在直線c上任意取一點Q，聯(lián)AQ交d于R，聯(lián)BQ交a于P，聯(lián)PR與1交于D （圖16），則直線SD為所求?！鄬?yīng)邊的交點C1=ABPQ，B1=CARP，A1=BCRQ三點共線。 設(shè)P，Q，R，S是完全四點形的頂點，A=PSQR，B=PRQS，C=PQRS， 證明A1=BCQR，B1=CARP，C1=ABPQ三點共線。 ∵A0B0BC=Q，A0C0AC=R。 △ABC的二頂點A與B分別在定直線α和β上移動，三邊AB，BC， CA分別過共線的定點P，Q，R，求證頂點C也在一定直線上移動。證：設(shè)A0是α上的一個定點，AOP交β于B0，B0Q交γ于C0，則A0C0是定直線（圖13）。OA2=OB1OA2=OB1 2O是笛氏正交坐標的原點，A是y軸上一定點，以A為頂點的直角繞A旋轉(zhuǎn)，證明直角兩邊被x軸所截的點偶構(gòu)成一個橢圓型對合。 ∴點P，P39。即 OA2=OB2=OPT，∴OT2=OP與直線AB交于點和P39。 證明：設(shè)圓O39。）（CAB39。AC），于是得 ∴（ABC39。）=（A39?！鶦，所以（AB，A39。A39。證明：由對合對應(yīng)的相互交換性，有A→A39。）（CAB39。是對合的三對對應(yīng)點，試證（ABC39。；B，B39。=－1，每對對應(yīng)線都互垂。2==λ1。=－1，所以所以當方程（1）有兩個不等實根λ1，λ2時，只有一對互垂對應(yīng)線，這是因為λ1λ2=－=－1,因而λ139。+b(λ+λ39。 證明：取二線束公共頂點為原點，取對應(yīng)線的斜率為λ、λ39。證明：設(shè)固定點為 x=x39。）=1，即 或∴2一直線上點的射影變換是x39。），因而 = 2設(shè)S1，S2是對合對應(yīng)的二重元素，證明這對合可以寫作: 證明：設(shè)μ→μ39。）=（S1S2 ，μ139。1是第三對對元素，μ→μ39。是無窮遠點，因此 = = 所以，以無窮遠點作為二重點的射影變換是 2設(shè)兩個重迭一維射影幾何形式有兩個二重元素 SS2 ，證明它們之間的對應(yīng)式可以寫作,k是個常數(shù)。 x表直線上點的笛氏坐標，這直線上的射影變換,δα－βγ≠0,在什么條件下以無窮遠點作為二重點。的參數(shù)間有一個行列式不等于零的雙一次函數(shù)， 故｛M｝｛M39。證明：設(shè)圓半徑為r，M（a,0），M39。試證｛M｝｛M39。1設(shè)點A（3，1，2），B（3，1，0）的聯(lián)線與圓x2+y2－5x－7y＋6=0相交于兩點C和D，求交點C，D及交比（AB，CD）。試求x軸，y軸，t1,t2順這次序的交比。（M1M2,M3M4A39。（M1M2,M3M4） 。 證明：設(shè)A，A39。－x239。－ax1－b=0 ①dx239。x2→x239。－ax－b=0。→∞，所以c=0。M39。）得：（ABM）=（A39。C39。為任一對對應(yīng)點，則由（AB，C∞M）=（A39。C∞→C39。 證法1：∵三對對應(yīng)點A→A39。），∴x39。)，∴x39。 （1）∵（12，3x）=（43，2x39。1∞) ，即：（10x）=（0x39。由于射影對應(yīng)保留交比不變，所以（01,∞x）=（1∞，0x39。如果C在線段AB內(nèi)部，過C作CT⊥AB交圓于T，過T作圓的切線交AB的延長線于D，則A，B調(diào)和分割C，D，因為當C確定后，T也確定，所以點D唯一確定。OC， 由本章6題結(jié)論得（AB，CD）=－1。證明：設(shè)ACBD=O，AEBD=P∞（圖7），因此A（BD，CE）=（BD，OP∞）=（BDO） 1AB為圓之直徑，C為直徑延長線上一點，從C向圓引切線CT，證明T在AB上的垂直射影D是C對于A、B的調(diào)和共軛點，若C在線段AB本身上，如何作它的調(diào)和共軛點？證法1：設(shè)O是AB的中點，∴OT⊥CT，TD⊥AB ∴OT2=OD 證明：設(shè)直線c、d是a、b為邊的角的內(nèi)外分角線， 以直線1截a、b、c、d分別于A、B、C、D ∵（AB，CD） ∴（ab，cd）=（AB，CD）=－1。 證明：以2x－y+1=0和3x+y－2=0為基線表示 7x－y=0，5x－1=0， ∵7x－y=0與（2x－y+1）+λ1（3x+y－2）=0重合， ∴ ∵5x－1=0與（2x－y+1）+λ2（3x+y－2）=0重合.∴所求交比為，由于交比存在，所以四直線共點。 充分性，以 乘a11b22+a22b11－2a12b12=0的兩邊，得 將（1）代入上式后按必要性步驟倒推即得：(x1x2，x3x4)=－1。x2= x3+x4=，x3CD除（2）式兩邊，得：證明在X軸上由方程a11x2+2a12x+a22=0和b11x2+2b12x+b22=0之根所決定的兩個點偶成調(diào)和分割的充要條件是a11b22－2a12b12+a22b11=0。CD （2） 以CACA=CACD+CBCD+CACD－BCCD－ACOB，證明（AB，CD）=1 證明：∵OC2=OA設(shè)μ1是基底P1，P2表示P3的參數(shù)，由已知條件（P1P2, P3P4）=，且μ2=1，∴μ1=2，因此，P3的坐標為（1，1，1）+2（1，1，1）=（3，1，3）。則（2，1，－1）+μ1（1，－1，1）=（1，0，0）；（2，1，－1）+μ2（1，－1，1）=（1，5，5） 所求交比為 設(shè)P1,P2,P4三點的坐標為（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P1P2, P3P4）=2,求點P3的坐標。解:（AB，CD）（AB，DC） (AC，BD)=1－（AB，CD） （AC，DB）（AD，BC） （AD，CB） 求四點（2，1，－1）,（1，－1，1）,（1，0，0）,（1，5，－5）順這次序的交比。 證明：設(shè)C為線段AB的中點，D∞為直線AB上的無窮遠點， （AB第三章 一維射影幾何設(shè)A、B、C、D、E為直線上五點，證明(AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)=1。下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？①非平行線段的相等； ②不垂直的直線；③四邊形； ④梯形；⑤菱形； ⑥平行移動；⑦關(guān)于點的對稱； ⑧關(guān)于直線的對稱；⑨繞點的旋轉(zhuǎn)； ⑩面積的相等。求直線x－2y+3=0上的無窮遠點的坐標。依據(jù)是若令它們?yōu)榱?，所得三直線共點。 ∴u12－u22=0表示兩點（1，1，0）和（1，－1，0）的方程。 方程u1－u2+2u3=0代表什么？u12－u22=0代表什么？ 解：方程u1－u2+2u3=0表點（1，－1，2）的方程或表示以點（1，－1，2）為中心的線束方程。解 先求二直線（2,1,3），（1，－1，0）的交點坐標：x1：x2：x3= 再求兩