【正文】 X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,41019所以X1/51/61/51/1511/30piX(2)F(3)=3≈。 又因為P{X≤60}=P{Xμσ≤60μσ,故Φ(60μσ)≈.,所以60μσ0, 故Φ(μ60σ)≈=, 反查標準正態(tài)表得 μ60σ≈ ②聯(lián)立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X～N(70,100).某人是否能被錄取，關(guān)鍵看錄取率. 已知錄取率為155526≈, 看某人是否能被錄取，解法有兩種：方法1： P{X78}=1P{X≤78}=1P{x7010≤787010 =1Φ()≈=,(錄取率), 所以此人能被錄取.方法2：看錄取分數(shù)線. 設(shè)錄取者最低分為x0, 則P{X≥x0}=(錄取率), P{X≤x0}=1P{X≥x0}==, P{X≤x0}=P{x7010≤x07010=Φ{x07010=,反查標準正態(tài)表得x07010≈, 解得x0≈75. 此人成績78分高于最低分，所以可以錄取.習題17假設(shè)某地在任何長為t(年)的時間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λ=，X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時間(單位：年).(1)證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；(2)求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；(3)求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.解答：(1)當t≥0時，P{Xt}=P{N(t)=0}=,∴F(t)=P{X≤t}=1P{Xt}=。所以P{方程有實根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.習題16某單位招聘155人，按考試成績錄用，共有526人報名，假設(shè)報名者考試成績X～N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)?8分，問此人是否能被錄取？解答：要解決此問題首先確定μ,σ2, 因為考試人數(shù)很多， P{X90}=12/526≈, P{X≤90}=1P{X90}≈}=。K2K2≥0,亦即(k2)(K+1)≥0,fK(k)={1/5,0k50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的充要條件為(4K)24?4(K+2)≥0,所以a1F1(∞)+a2F2(∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.從而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).習題14設(shè)隨機變量X的概率密度?(x)為偶函數(shù)，試證對任意的a0,證明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函數(shù).(2)由F1(x),F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且計算P{X≤∣X≤}.解答：根據(jù)條件概率。=eλaeλx\vlineaa+1=eλa(eλ(a+1)eλa)=1eλ.注意，a1a,于是=c∫a+∞eλxd(λx)=ceλx\vlinea+∞=ceλa,所以ceλa=1,求常數(shù)c及P{a1X≤a+1}.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知∫∞+∞f(x)dx=1, P{X≥6}=1P{X6}=1P(X≤6}=1F(6)F(x)=∫0x19tet3dt=1(1+x3)ex3故F(x)={1(1+x3)ex3,x≥00,x0,顯然，當x0時，F(xiàn)(x)=0,F(x)={0,x≤212x2,0x≤11+2xx22,1x≤21,x2.習題10某城市飲用水的日消費量X(單位：百萬升)是隨機變量，其密度函數(shù)為：當x2時，F(xiàn)(x)=∫∞00dt+∫01tdt+∫12(2t)dt+∫2x0dt=1,當0x≤1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00tdt+∫0xtdt=12x2。P{X≤T}=F(T)=1eλT.習題9設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布密度為故X的分布函數(shù)為C[1F(x)]=eλx(C為任意常數(shù)).注意到初始條件F(0)=0,積分之得通解為F(x+Δx)F(x)Δx=[1F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,即當x0時，由題設(shè)知P{xX≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),其中λ0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+∞),P{∣X∣π6=P{π6Xπ6于是有1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有,P{∣X∣π/6}=175。pi{1/2+12q+q2=10≤12q≤1q2≤1,解得q=11/2.滿足∑ipi=1,pi101(2)t=5,λ=5/2,求：(1)某一天從中午12至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,P{X≤13}≈∑k=0139kk!e9≈,λ=np=300=9,可用泊松近似公式計算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺數(shù)不超過13，故即則P(A)=,=∑k=05C2500k()k()2500k≈∑k=05e55kk!≈,即保險公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習題4一臺總機共有300臺分機，總機擁有13條外線，假設(shè)每臺分機向總機要外線的概率為3%, 試求每臺分機向總機要外線時，能及時得到滿足的概率和同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù).解答：設(shè)分機向總機要到外線的臺數(shù)為X,P{保險公司獲利不少于200000元}=∑k=010C2500k()()2500k≈∑k=010e55kk!≈,即保險公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.≈1∑k=015e55kk!≈,由此可見,在1年里保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司獲利不少于100000元}則保險公司在這一年中應(yīng)付出200000X(元)，要使保險公司虧本，則必須2500120元=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,k0=[(n+1)p]=[(10+1)]=[]=7,故最可能命中7炮.習題3在保險公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險，每個參加保險的人在1月1日須交120元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險公司虧本的概率。(3)因X～b(10,),故(1)P{X=3}=C103()3()7≈。(2)至少命中3炮的概率。=1210(2+4+?+20)=1121.,所以c=1210,因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習題解答習題1從1～20的整數(shù)中取一個數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}FY(y)=P{Y≤y}={0,y0y,0≤y≤11,y0,于是，Z的分布函數(shù)為又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,=910πe81100(y37)2.習題8設(shè)隨機變量X在任一區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,反函數(shù)為T=59θ+32,試求θ(°F)的概率密度.解答：已知T～N(,2).fY(y)={f(y)+f(y),y00,y≤0.習題7某物體的溫度T(°F)是一個隨機變量, 且有T～N(,2),③當y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故這時取FY(y)=0,②當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,綜上所述；②當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/y≤X0}=F(0)F(1/y),故這時fY(y)=1y2f(1y)。(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{01/X≤y}求下列隨機變量Y的概率密度：(1)Y=1X。fY(y)={12π(y1)ey14,y10,y≤1.習題6設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),=P{y12≤X≤y12=∫y12y1212πex2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe12?y12?122y1,y1,可得fY(y)={fX(ydc)?1∣c∣,a≤ydc≤b0,其它,當c0時，fY(y)={1c(ba),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當c0時，fY(y)={1c(ba),cb+d≤y≤ca+d0,其它.習題4設(shè)隨機變量X服從[0,1]上的均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y∈(1,e),21513815習題3設(shè)隨機變量X服從[a,b]上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0),101P{Y=1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示為Ysinxnπ2={1,當n=4k10,當n=2k1,當n=4k3,所以Y=sin(π2X)只有三個可能值1,0,1.Y1038pi3/101/53/101/5習題2設(shè)X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,(2)Y=X21的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1, 隨機變量函數(shù)的分布習題1已知X的概率分布為X210123pi2a1/103aaa2aP{Y60}=Φ(60504)=Φ()=,所以有60分鐘時應(yīng)走第二條路.(2)因為P{X45}=Φ(454010)=Φ()=,X～N(40,102),Y～N(50,42).第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時間服從正態(tài)分布N(50,42),故x.因此，.習題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102)。P{Xx}=1P{X≤x}=1Φ(x1706),即Φ(x1706),則X1706～N(0,1).設(shè)公共汽車門的高度為xcm，由題意P{Xx},從而x≥.習題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),亦即求x,P{100X≤120}=Φ(12011012)Φ(10011012)(2)確定最小的x,即x=4077件，就是說，想獲超產(chǎn)獎的工人，每月必須裝配4077件以上.習題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mmHG計)服從N(110,122).所以Φ(x400060)=.查標準正態(tài)人分布表得Φ()=,1P{Xx}=,所以1F(x)=, P{Y≥3}≈150e50!51e51!52e52!=137225≈.習題9某玩具廠裝配車間準備實行計件超產(chǎn)獎，為此需對生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則X～N(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎，依題意得P{X≥x}=,所以 =1P{∣X10∣≤=1[Φ()Φ()]p=P{∣X∣}=1P{∣X∣≤}先進行100次獨立測量，.解答：,P{X≤d}≤.于是Φ(d32)≤,Φ(3d2)≥≥,故c=3.(2)由P{Xd}≥{X≤d}≥,所以必有1P{X≤c}=P{X≤c},問d至多為多少?解答：因為X～N(3,22),使得P{Xc}=P{X≤c}。 Y服從二項分布，其參數(shù) 則三個電子管使用150小時都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為X,=12et∣∞012et∣0x=1212ex+12=112ex,從而F(x)={12ex,x0112ex,x≥0.習題5某型號電子管，其壽命(以小時計)為一隨機變量，概率密度所以當x0時，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣t∣dt=12∫∞xetdt=12et∣∞x=12ex。即A=1/2.從而f(x)=12e∣x∣,∞x+∞,∫∞+∞Aexdx=2∫0+∞Aexdx=2Aex∣0+∞=2A,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，∫