微積分下冊主要知識點-文庫吧資料
2025-06-26 05:04本頁面
【正文】 增量可以表示為 ()其中A,B不依賴于而僅與x, y有關(guān),則稱函數(shù)在點可微分, 稱為函數(shù)在點的全微分, 記為 即. ()若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件) 如果函數(shù)在點處可微分, 則該函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)必存在, 且在點處的全微分. ()我們知道，一元函數(shù)在某點可導(dǎo)是在該點可微的充分必要條件. 但對于多元函數(shù)則不然. 定理1 的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件. 由此可見，對于多元函數(shù)而言，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況. 但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性. 一般地，我們有：定理2 (充分條件) 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù), 則函數(shù)在該點處可微分. 三、微分的計算習(xí)慣上，常將自變量的增量、分別記為、并分別稱為自變量的微分. 這樣，函數(shù)的全微分就表為 ()上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去. 例如，三元函數(shù)的全微分可表為 () 四、全微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù), 且都較小時, 則根據(jù)全微分定義，有 即 由，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計算公式 ()一、多元復(fù)合函數(shù)微分法 1．復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù),構(gòu)成復(fù)合函數(shù) （）公式()中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù). 復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形 設(shè)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) () ()復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3 如果函數(shù)在點具有對及對的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 () ()注：這里與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把函數(shù)中的及看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù). 與也有類似的區(qū)別. 在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號: 這里下標(biāo)1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)，同理有 等等. 二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的全微分形式不變性. 以二元函數(shù)為例，設(shè), 是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有由此可見，盡管現(xiàn)在的u、v是中間變量，但全微分與、是自變量時的表達式在形式上完全一致. 這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性. 適當(dāng)應(yīng)用這個性質(zhì)，會收到很好的效果. 三、 隱函數(shù)微分法 在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程 ()來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法. 這里將進一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并通過多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足 并有 ()定理5 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 它滿足條件,并有 ()一、二元函數(shù)極值的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義, 對于該鄰域內(nèi)異于的任意一點, 如果則稱函數(shù)在有極大值；如果則稱函數(shù)在有極小值。(2) 已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面
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