計(jì)算流體力學(xué)中科院力學(xué)所第9講-有限體積法-文庫吧資料
2025-05-08 03:44本頁面
【正文】 2 , pvu?x y x’ y’ 旋轉(zhuǎn) q角后的坐標(biāo)系 (x’,y’) ( T U )fT( U )f( U )fnF ( U ) 1121 ????? qq si nc o s習(xí)題： 設(shè) n 為平行 x’軸的向量，試證明： 證明： ???????????????????????????????????EvuvuEvuqqqq????c o ss ins inc o sTUq???q???q?q??q?q?q?q?????s i n)(c o s)()(s i nc o s)(c o ss i n)(s i nc o s)()()(222221?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??vpEpvuvvupEuvpuuupEpvupuuuupEvupuvupuuupEvupuu11 TTUfT 2222 vuvu ?????坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，標(biāo)量不變 向量的模不變 qq qq co ss in39。 s inco s yxy yxx ??? ??? qq qq co ss in39。 特征方向計(jì)算不嚴(yán)格，帶來誤差 差分方法： 多維情況，特征理論復(fù)雜，通常 x,y方向獨(dú)立計(jì)算 轉(zhuǎn)化為 x方向與 y方向的兩個(gè)一維問題 xUAx(U)f 11 ????? 逐點(diǎn)分裂 特征投影分裂 yy ????? UA(U)f 22完全按照一維情況獨(dú)立處理 局部坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)？ 差分算法設(shè)計(jì)造成 局部旋轉(zhuǎn) 困難 差分法 的多維 處理方法 1. 小知識： 差分方法如何處理高維問題的 ？優(yōu)缺點(diǎn)？ 優(yōu)點(diǎn)： 簡單 缺點(diǎn)：特征方向計(jì)算不準(zhǔn) Copyright by Li Xinliang 24 2. 二維有限體積方法的離散過程 0y(U )fx(U )ftU 21 ????????? 0F(U)tU ??????在以某節(jié)點(diǎn)為中心的 控制體 上積分 i,j k 非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的控制體 i+1,j i1,j i,j+1 i,j1 k3 k1 k2 k4 k5 結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的控制體 0][ ??????????dF (U )tU01 ?????? ? ?? dsnFtU??? ??? dU U1 ??? ??? ????? dsd nFF (U )x y n 01 ????? ?mmij HtU體積平均 ))()(( 1 ymxmmmm nUnUss 2ffnFH ??????控制體邊界垂直于節(jié)點(diǎn)連線（也可選其他方式） 垂直平分線 n 1) 建立控制體 mx2) 在控制體上積分 離散方程 重構(gòu)： 由節(jié)點(diǎn)上平均值 給出函數(shù)分布，最終給出通量 ijU表示第 m個(gè)界面上的值 1?m2?m3?m4?m1） 重構(gòu) —— 兩種不同的重構(gòu)方案，向左偏及向右偏。 利用二次齊函數(shù)的性質(zhì)，可找到了 Roe點(diǎn)（即 Roe平均點(diǎn)），該點(diǎn)處的增長率剛好等于平均增長率。 ? ?ju2/1?ju ? ?ju? ???? 2/1 2/1 )(1 jjxxj dxxuxujuju1?ju1?ju2/1?ju19 概念： MUSCL與非 MUSC類方法 0)( ??????xuftuxffxu jjj????? ?? 2/12/1 ??j+1/2 切線 j1/2 j1 2/1??jf2/1?jf2/1??jfxffxu jjj????? ?? 2/12/1差分 有限體積 juju方法 1 （非 MUSCL類）： 直接利用周圍幾個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值 或 ）直接計(jì)算 （或 ） 如何計(jì)算 或 ？ 2/1? ?jf 2/1?jf方法 2 （ MUSCL類）： 利用周圍幾個(gè)點(diǎn)的自變量值 （或 ）計(jì)算出 （或 ）； 然后再計(jì)算 （或 ） jf )( juf 2/1??jf2/1?jfjuju 2/1??ju 2/1?ju)?(? 2/12/1 ?? ? jj uff)( 2/12/1 ?? ? jj uff當(dāng) f=f(u)是連函數(shù)時(shí)，二者精度相同 uCufuuff ??????? )()( 00 f的誤差與 u的誤差同階 Copyright by Li Xinliang 20 2. 近似 Riemann解 —— 例： Roe格式 )U(U21)]f(U)[f(U21f LjRjRjLjj SS 2/12/112/12/12/1 ~~~? ?????? ?????)UA(A ?~)/()()/()(]2/)[( 2RLRRLLRLRRLLRLHHHuuu???????????????????與差分法的 Roe格式形式相同 理解： 近似 Riemann解（ Euler方程 常系數(shù)線性化解） u f(u) uL uR uRoe 0?????? xt f(U)U ????????????2/12/12/12/1),(jRjjLjn xxUxxUtxU0?????? xt n U)A (UU利用 Roe平均， 剛好是左右兩點(diǎn)間的平均增長率，實(shí)現(xiàn)了 常系數(shù) 線性化。 UGUfUUf ????? )()( （稱為數(shù)值流通量） 的含義 Copyright by Li Xinliang 17 重要概念澄清： 重構(gòu)與插值 0)( ??????xuftuA. 有限差分法： xffxf jjj ????? ?? 2/12/1 ??j+1/2 切線 j1/2 j j1 2/1??jf)( 2/1?jxf2/1?jf2/1??jf 注意： 與 f 在 xj+1/2點(diǎn)的值含義不同！ 2/1??jf用周圍幾個(gè)點(diǎn)的值 計(jì)算 的過程稱為“ 重構(gòu) ”，不能理解為用 來 插值 2/1??jf? ?jf? ?jf )( 2/1?jxf記號 確實(shí)容易混淆，讓人容易聯(lián)想起 。 Lj 2/1?U Rj 2/1?UCopyright by Li Xinliang 16 差分法與有限體積法區(qū)別與聯(lián)系（二階迎風(fēng) +FVS為例） 差分、有限體積 0?????? xt f(U )U0?????? xt f(U)U 0????????? ?? xxt ffU 02/12/12/12/1 ????????? ???????? xxt iiiii ffffU差分（通常做法）： 直接插值通量 fi+1/2 )/2f(3 ff )/2f(3 ff 2i1i1/ 2i 1ii1/ 2i ???????????????有限體積： 先插值自變量 U， 然后計(jì)算通量 f： ]) / 2U( 3 U[)(]) / 2U( 3 U[)(2i1i2/11ii2/1???????????????????ffffff1 /2i1 /2iRiLiUU先插值自變量，再計(jì)算通量的方法，稱為 MUSCL類方法。 迭代收斂后 q趨于 0，精度由右端項(xiàng)決定 Copyright by Li Xinliang 6 167。計(jì)算流體力學(xué)講義 第九講 有限體積法（ 1） 李新亮 ；力學(xué)所主樓 219； 82543801 知識點(diǎn)： 1 講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)） “流體論壇” “ CFD基礎(chǔ)理論 ” 講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤 Copyright by Li Xinliang 有限體積法的基本概念 —— 重構(gòu)和反演 迎風(fēng)型有限體積法 ——Riemann求解器； Roe格式的新理解：近似 Riemann解 多維迎風(fēng)型有限體積法 ——坐標(biāo)旋轉(zhuǎn) Copyright by Li Xinliang 2 知識回顧 1. 差分方法的基本概念： 差分格式、修正方程、相容性、收斂性、穩(wěn)定性、 LAX等價(jià)定理 0?????? xuatu011 ?????? ?? xuuat uu njnjnjnj2. 精度分析、穩(wěn)定性分析與分辨率分析（修正波數(shù)） Taylor分析 Fourier分析
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