線性方程組的求解方法與應用-文庫吧資料
2025-04-14 02:05本頁面
【正文】 .其中，當線性方程組的右端全為零時，該線性方程組就稱為齊次線性方程組；當線性方程組的右端不全為零時，該線性方程組就稱為非齊次線性方程組. 線性方程組有解判別定理 線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與它的增廣矩陣有相同的秩.證明：不妨先引入向量 （）于是定理中的線性方程組就可以寫成 （） 很明顯，該線性方程組有解得充要條件是向量可以由向量組線性表出，定理證明過程如下：必要性 假設該線性方程組有解，那么就是說向量是向量組的線性組合，從而可以得到與向量組等價，又已知等價的向量組有相同的秩，故這兩個向量組有相同的秩. 并且這兩個向量組分別是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的列向量組. 所以，系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩.充分性 假設系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，那么它們的列向量組與有相同的秩，可以假設是它的一個極大線性無關組，故向量可以由線性表出，再加上等個線性無關的向量，可以知道向量可以經(jīng)線性表出. 所以，該線性方程組有解. 證畢 線性方程組解的結(jié)構(gòu)在上一節(jié)，我們解決了線性方程組有解的判別條件之后，我們這一節(jié)還需要探討一下線性方程組解的結(jié)構(gòu). 齊次線性方程組的性質(zhì)對于齊次線性方程組 （）它的解所構(gòu)成的集合有以下兩個重要性質(zhì)：性質(zhì)1:兩個解的和還是方程組的解.假設與是該線性方程組的兩個解. 即將這兩個解代入到方程組中，每個方程都變成了恒等式. , , 將這兩個解的和代入到該線性方程組中，可以得到 . （）這就說明了兩個解的和還是方程組的解. 證畢性質(zhì)2：一個解的倍數(shù)還是方程組的解.設是該線性方程組的一個解，則有 . （）將這個解的倍代入到方程組中，就可以得到 . （）這就說明了一個解的倍數(shù)還是方程組的解. 證畢 基礎解系及其存在性（1）如果滿足；.那么這組解就稱為齊次線性方程組的一個基礎解系.（2）在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含 有的解的個數(shù)等于，這里表示的是系數(shù)矩陣的秩. 一般線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（1）線性方程組的兩個解的差是它的導出組的解；（2）線性方程組的一個解與它的導出組的一個解之和還是這個線性方程組的一個解；（3）在方程組有解的情況下，解是唯一的充要條件是它的導出組只有零解. 3 線性方程組的求解方法 求消元法求解線性方程組 解：下面對這三個方程進行加減運算從而達到消元的目的.第二個方程減去第一個方程的2倍，得,第三個方程減去第一個方程得,將第一個方程、第四個方程、第五個方程綜合起來就得到一個新的方程組 再分別對這個方程組中的第二個和第三個方程進行加減運算，即第二個方程減去第三個方程的2倍就可以得到可以解出從而原方程組的解為（9，1，6）.一般消元法用來計算一些比較簡單的線性方程組，是最簡單最直接最有效的方法，它的基本思想就是將方程進行加減和代入運算，要轉(zhuǎn)換成矩陣的行初等變換來求解. 克拉默法則 克拉默法則求解具備的條件 利用克拉默法則求解線性方程組時需要具備兩個條件：（1）線性方程組的方程個數(shù)必須與未知量的個數(shù)相等；（2）線性方程組的系數(shù)行列式不等于零. 克拉默法則設含有n個未知數(shù)的線性方程組的系數(shù)行列式 （）則該線性方程組有解，且只有唯一解，其解可以表示為 （）其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即 （）定理中包含著三個結(jié)論：方程組有解；解是唯一的；解由公式()給出.下面來證明一下克拉默法則：證明： . （）首先需要證明（）是（）的解. 將（）代入到第i個方程，那么左端就為 . （）由于 .故有 = =
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