高中數(shù)學(xué)函數(shù)練習(xí)題-文庫吧資料
2025-04-10 05:07本頁面
【正文】 ，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)證明函數(shù)f(x)為周期函數(shù)；(2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2005,2005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．解析 (1)由??f(4－x)＝f(14－x)?f(x)＝f(x＋10)∴f(x)為周期函數(shù)，T＝10.(2)∵f(3)＝f(1)＝0, f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有兩個解，從而可知函數(shù)y＝f(x)在[0,2005]上有402個解，在[－2005,0]上有400個解，所以函數(shù)y＝f(x)在[－2005,2005]上有802個解．[基礎(chǔ)訓(xùn)練A組]一、選擇題1．判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為（ ）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸。全國卷Ⅰ)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式0的解集為________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f(x)為奇函數(shù)，則不等式化為xf(x)0法一：(圖象法)由，可得－1x0或0x1時，x江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________．答案?。?解析 令g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數(shù)g(x)＝x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域為R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.3．(2011山東濰坊)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的判斷：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)關(guān)于直線x＝1對稱；③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；⑤f(2)＝f(0)，其中正確的序號是________．答案?、佗冖萁馕觥∮蒮(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期為2的函數(shù)，①正確，f(x)關(guān)于直線x＝1對稱，②正確，f(x)為偶函數(shù)，在[－1,0]上是增函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上是減函數(shù)，[1,2]上為增函數(shù)，f(2)＝f(0)．因此③、④錯誤，⑤正確．綜上，①②⑤正確．三、解答題14．已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．答案 f(x)＝x2－2，g(x)＝x解析 ∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.又∵f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.15．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)在[0,1)上單調(diào)遞減，并滿足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有實數(shù)根，求該方程在區(qū)間[－1,3]上的所有實根之和．答案 2解析 由f(2－x)＝f(x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的實根，根據(jù)函數(shù)f(x)的對稱性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的實根，這兩個實根關(guān)于直線x＝1對稱，故兩根之和等于2.16．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范圍．答案 (1)a＝2，b＝1 (2)k－解析 (Ⅰ)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即＝0?b＝1∴f(x)＝又由f(1)＝－f(－1)知＝－?a＝2.(Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)知f(x)＝，易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等價于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：t2－2tk－∈R有：3t2－2t－k0，從而判別式Δ＝4＋12k0?k－解法二 由(Ⅰ)知f(x)＝.又由題設(shè)條件得：＋0，即：(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)0，整理得23t2－2t－k1，因底數(shù)21，故：3t2－2t－k0上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k0?k－1．(201020113＋c新課標(biāo)全國卷)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則{x|f(x－2)0}＝( )A．{x|x－2或x4} B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6} D．{x|x－2或x2}答案 B解析 當(dāng)x0時，－x0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，∴f(x)＝.∴f(x－2)＝，或，解得x4或x.二、填空題8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數(shù)
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