量子力學(xué)思考題及解答-文庫(kù)吧資料
2025-04-01 04:46本頁(yè)面
【正文】 故有 1寫(xiě)出能量表象的薛定諤方程表達(dá)式。 定態(tài)Seq在動(dòng)量表象的表示 1已知一維諧振子在坐標(biāo)表象的能量本征函數(shù)，不用計(jì)算，直接寫(xiě)出其在動(dòng)量表象的能量本征函數(shù)。解答：（1）坐標(biāo)表象基矢為 （2）動(dòng)量表象基矢為 1試將坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象加以比較，再由坐標(biāo)表象的定態(tài)薛定諤方程直接寫(xiě)出其在動(dòng)量表象的表達(dá)式。設(shè)，則 簡(jiǎn)記為； （2）矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，這恰好能滿(mǎn)足兩個(gè)力學(xué)量一般不對(duì)易的要求； （3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學(xué)量算符的厄密性。力學(xué)量用厄密矩陣表示 可見(jiàn)列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。具體說(shuō)，如果力學(xué)量的本征函數(shù)為，相應(yīng)本征值為。1如何用矩陣表示量子態(tài)與力學(xué)量，并說(shuō)明理由。1不確定關(guān)系如何體現(xiàn)微觀粒子的普遍本質(zhì)——波粒二象性？解答：對(duì)于微觀粒子使用“波粒二象性”的術(shù)語(yǔ)，這本身既反映了經(jīng)典物理概念的局限性，又反映了我們語(yǔ)言的局限性。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)，例如限制在一維盒子中的粒子，最一般的可能態(tài)是一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包，這種疊加態(tài)是沒(méi)有確定能量的非定態(tài)。 束縛態(tài)的能級(jí)是分立的。1什么是束縛態(tài)？它有何特征？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？舉例說(shuō)明。因此，只能說(shuō)定態(tài)解（不顯含時(shí)間）是體系含時(shí)波動(dòng)方程的解，但不能說(shuō)該體系的含時(shí)波動(dòng)方程的解都是定態(tài)解。以上說(shuō)法正確嗎？解答：（1）能量不同的定態(tài)的疊加態(tài)中，不具有確定的能量值，盡管與無(wú)關(guān)，但位置概率密度依賴(lài)于時(shí)間，這表明任意定態(tài)的疊加不再具有定態(tài)的特征，是非定態(tài)。理由如下：定態(tài)的線(xiàn)性疊加 態(tài)中平均值與無(wú)關(guān)，所以疊加態(tài)是定態(tài)。注意，通常用表示定態(tài)只是一種簡(jiǎn)寫(xiě)，定態(tài)是含時(shí)態(tài)，任何描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)都是含時(shí)的。若勢(shì)場(chǎng)恒定，則體系可以處于定態(tài)。它的特點(diǎn)是：（1）力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)系構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間；（2）力學(xué)量完全集所包含力學(xué)量的數(shù)目等于量子數(shù)組所包含的量子數(shù)數(shù)目，即體系的自由度數(shù)；（3）力學(xué)量完全集中所有力學(xué)量是可以同時(shí)測(cè)量的。此外，對(duì)于有的力學(xué)量，對(duì)易關(guān)系反映了它的基本特征，如，就可作為角動(dòng)量的定義。與不確定原理一樣，力學(xué)量之間的對(duì)易關(guān)系也是來(lái)源于物質(zhì)的波粒二象性。它相當(dāng)于舊量子論中的量子化條件，具有深刻的物理含義。 力學(xué)量必須用線(xiàn)性厄密算符表示，這是由量子態(tài)疊加原理所要求的；任何力學(xué)量的實(shí)際測(cè)量值必須是實(shí)數(shù)，因此它的本征值也必為實(shí)數(shù)，這就決定了力學(xué)量必須由厄密算符來(lái)表示。 用算符表示力學(xué)量問(wèn)題還可以從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)明。 利用有 作代換，并對(duì)積分得（推廣到三維） 可見(jiàn)，要在坐標(biāo)表象中計(jì)算動(dòng)量平均值，那么動(dòng)量矢量恰與算符相當(dāng)。 如果體系處于中，則它的位置平均值為 類(lèi)似地，它的動(dòng)量的平均值也可表示為 若要求出上述積分，必須將p表示為x的函數(shù)，然而這是做不到的，因?yàn)榘床淮_定關(guān)系P(x)的表示是無(wú)意義的，因此不能直接在坐標(biāo)表象中用上式求動(dòng)量平均值。我們知道，表示量子態(tài)的波函數(shù)是一種概率波，因此，即是在一確定的
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