【正文】 －(p－1)≡1－1≡0（mod p）.6. ∵ ap ≡ a（mod p），∴ apq ≡ (ap)q ≡ aq ≡ a（mod p）；同理，apq ≡ (aq)p ≡ ap ≡ a（mod q），而（p，q）= 1，故 apq≡ a（mod pq）.7. 如果（a，m）=1，x≡ ba（mod m），那么 ax≡ b（mod m）.8. 設 A 是十進制數(shù) 44444444的各位數(shù)字之和，B 又是 A 的各位數(shù)字之和，求 B 的各位數(shù)字之和 .9. 當 x∈Z 時，求證：（1）2730 | x13 x；（2）24 | x（x+2）（25x21）.解答：7. ∵ x≡ba(mod m)，∴ ax≡ aba≡ ab (mod m). ∵ (a，m) = 1，a= 1 (mod m)，∴ ax≡ b（mod m）.8. 設 B 的各位數(shù)字之和為 C，∵ lg44444444= 4444lg4444 44444= 17776，即44444444的位數(shù)小于17776，∴ A ≤ 917776 = 159984，B 1 + 95 = 46，C ≤ 4 + 6 = 10. 又 ∵（7，9）= 1，(9) = 6，4444= 6740+4，44444444 ≡ 7 4444 ≡ 74 ≡ (－2)4 ≡ 7（mod 9），∴ B 的各位數(shù)字之和為 7.9.（1）∵ 2730=23 5 7 13，2，3，5，7，13兩兩互質(zhì)，x13 x= x（x12 1），∴當 2 | x或 2 | x時都有 x（x121）≡ 0（mod 2），x（x12 1）≡ 0（mod 13）.又 ∵x13x= x（x6 1）（x6+ 1），∴ 當 7 | x或 7 | x時都有 x（x6 1）（x6+ 1）≡ 0（mod 7）.而x13 x= x（x4 1）（x8+ x4+ 1），∴ 當 5 | x或 5 | x時，都有 x（x41）（x8+ x4+ 1）≡ 0（mod5）.又 x13 x= x（x21）（x2+ 1）（x8+ x4+ 1），∴ 當 3 | x或 3 | x時，都有x（x21）（x2+ 1）（x8+ x4+ 1）≡ 0（mod3）. ∴ 2730 | x13 x. （2）解法一，同上?！?11，13，77，99是模 10的簡化剩余系.5. 當 m 取下列各值時，計算φ（m）的值 .25，32，40，48，60，120，100，200，4200，9450. 答案：φ（25）= 20，φ（32）=16，φ（40）=16，φ（48）= 16，φ（60）=16，φ（120）= 32，φ（100）= 40，φ（200）= 80，φ（4200）= 960，φ（9450）= 2160.6. 若φ（m）是奇數(shù)，試求 m 的值.解：(參看下一題) m = 1或 m =2.7. 當 m 2時，證明φ（m）是偶數(shù) .證：設 m = p1α1p2α2… pkαk，∵ m 2，∴ 至少存在 i，αi 1或存在 j，pj是奇數(shù)，∴ p1α1 p1α1 1，…，pkαk pkαk1中至少有一個為偶數(shù)，知 φ（m）必為偶數(shù)或證： 8. 試證：使φ(m) =14的數(shù) m 不存在.證：φ(m) =14=27= p1α1 1…pkαk1 (p1－1)…(pk－1)，2,7是質(zhì)數(shù)，所以必有p1=2，p1=7，這是不可能的。（2）10的最小簡化剩余系是1, 3, 7, 9。7.（1）解： =9312+0+…+0+19+40+57+76=9504. （2）。4. 解方程：（1）解： （2）原式化為，整理后再由一元二次方程求根公式得 ，與相乘后的積為整數(shù)，只能是。習題16部分習題解答2. , 代入得10。即為答案. 此題也可先考慮10個燈泡。解：由題目可知小明的書的冊數(shù)是35的倍數(shù), 設為35k, 可列出方程28k－5xk=（28－5x）k=303=3101知k=101.11. 分解質(zhì)因數(shù)：884=41317=1752=6813，884的因數(shù)中有4, 13, 52都具有3k+1形式，只有52=符合50人左右的題設，因此學生51人。又所以7|A，11|C，從而設 由因為若B不含2的話，由，A，C就必須同時含2, 與矛盾。 得48，80，112，162，176．7．(1)18． (2)546 (3)18039。 a=3,b=2。 a==5。這樣繼續(xù)下去，每 4分鐘一個周期，問第 200 秒時，明亮的燈泡有多少個？習題 14解答1. 2001= 323 29， 26840= 23511 61， 111111= 3 71113 37.2. —組為：85，111，124，154，354，667；另一組為：87．102，148，230，341，413．3．20．四個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共應該有且 且只有4個2與4個5，需補充2個2與1個5。（180）；（3）amp。 知小明年齡是2, 5的倍數(shù)。 7x +i =4(x+i) , x=i。最后答案： .11. 2個 .12. 設小明 x歲，則爺爺 7x歲，7x +h =6(x+h) , x=5h。 ( 33, 90 ) = 3, 所以 ( a, b ) = 3.10. 因為AB、BC 的中點上都要植上一棵樹，315247。因此只能是8，9. （2）60060；因為1號寫的數(shù)是2到15除8，9之外的整數(shù)的公倍數(shù)，也就是3，4，5，7，11，13的公倍數(shù)，3，4，5，7，11，13兩兩互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)60060就是5位數(shù)。51|(132－65)，而51|102。51|(13611－95)，又51|13566243。51|1361241243。51(2669－15)；又512664 243?！啵╝n，bn）=（a，b）n，,［a，b］（a，b）= a b，等式兩邊同時n次方，得[a，b］n（a，b）n = a n b n， ， ［an，bn］（an，bn）= an bn，∴ ［a，b］n（a，b）n =［an，bn］（an，bn）； ∴ ［a，b］n =［an，bn］。質(zhì)數(shù)p≥ 5，可用前面的方法簡單求解。11.（1）n是合數(shù), 設n=st, 2n1=2st1=（2s1）［（2s）t1+ （2s）t2+ … + 2s+ 1］.（2）1+2+22+ … +2n1=2n1. 當 n=14，15時，2141，2151均為合數(shù)，∴ 不對 .12. 書后提示說取模為6分類討論 p，即設 p=6q+ r（r=0，1，2，3，4，5）.由質(zhì)數(shù) p≥ 5，若p=6q, 6q+2, 6q+3或6q+4, p皆為合數(shù), 不可能. 若p=6q+ 1, 則2p +1=12q+ 3也是合數(shù), 故在題設條件下, 只有p=6q+5, 此時4p+1=24q+21, 是合數(shù). 實際上，這題與第7題完全相同。另一種解法：由習題1—1第1題（2）的結(jié)論，（2+1）|（2859433+1）．9. 設，h、 k 必為奇數(shù), ，而k不能為3, 故只有k =1, 這樣2q－3=p , 代入，同時質(zhì)數(shù) p、q 大于 3. 所以, 只能有h =3, 因而得 q =5, p=7.10. 先證：一切大于 2的質(zhì)數(shù)，不是形如 4n + 1就是形如 4n－1的數(shù)；再證任意多個形如 4n+1的數(shù)，最后用數(shù)學歸納法驗證 . 若形如 4n－1的質(zhì)數(shù)只有有限個：p1, p2, …, pk。故1或 1/8。6. 條件為一個不定方程, 可知1 q≤ 5, 窮舉得q=2, p=7?！?必有a =3k，即a為3的倍數(shù)。2. 為作一般性證明，可如下構造 n 個連續(xù)自然數(shù)：（n + 1）！+ 2，（n + 1）！+ 3，…，（n+ 1）！+ n + 1顯然它們每個都是合數(shù).3. 利用 n4+ n2+1 = n4+ 2n2+1－n2 = (n2+ n+ 1)(n2－n+ 1)，知僅當 n= 177。 x=2k+1時，f (2k+1) = 4ak(k+1) + 2bk + a + b + c, 可知f (x)仍然為整數(shù)。10． 11．1至1001各數(shù)按以下的格式排列成表，像表中所示的那樣用—個正方形框住其中的9個數(shù)，要使9個數(shù)的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否辦到?如能辦到，寫出框里的最小數(shù)與最大數(shù)．如辦不到，說明理由．解：設框里居中心的數(shù)為x,則9個數(shù)的和等于9x. (1) 9不能整除2001，∴和等于2001辦不到；(2) 9x=2529，x=281，是所在行第一個數(shù)，∴和等于2529辦不到；(3) 9x=1989，x=221，和等于1989能辦到，框里的最大數(shù)為x+8=229，最小數(shù)為x－8=213．12．證明：7(或11或13) 的特征是：7(或11或13) 整除解答：因為71113=1001。若q為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但是奇數(shù)，它們的和也不可能為0。證：若有有理根，記為互質(zhì)，代入方程有即，這是不可能的，因為p,q互質(zhì)，二者不可能同時為偶數(shù)?；蚪猓簾o論各□內(nèi)填入加號或減號，1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9總是偶數(shù)，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的結(jié)果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇數(shù)。4．能否在下式的各□內(nèi)填入加號或減號，使下式成立；能的話給出一種填法，否則，說明理由。(6) 當n為單數(shù)時類似可得。(5)當a，b∈Z且a ≠－b，n是雙數(shù)時，；(6)當a，b∈Z且a ≠－b，n是單數(shù)時，．解：利用例5結(jié)論：若a ≠ b，則．令b=－b*, 即得。=.