微分幾何課后習(xí)題解答-文庫(kù)吧資料
2025-03-31 01:54本頁(yè)面
【正文】 ,所以,即 M=,N=:: =axy上的曲率線.解 N=0 .={u,u,bv}上的曲率線.解，={0,0,0}，={ucosv,usinv,0}，={sinv,cosv,0},， L=0, M= 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。L==0,7．求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明 因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。 ，={0,0,0},={uucosv,cosv,0},={ucosv,usinv,0},， L= 0, M =I=, II=.3. 證明對(duì)于正螺面={u,u,bv},∞u,v∞處處有EN2FM+GL=0。 計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為,.==,L=, M=0, N==1 . 所以II = +3曲面的第二基本形式1.=arctgu + v , t ==arctgu + v , t == arctgu + v , t=,可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I= ={ucosv,usinv,u+v}和旋轉(zhuǎn)曲面={tcos,tsin,}(t1, 02)之間可建立等距映射 =arctgu + v , t===E ==,F== 0 ,10．求球面=的面積。曲線圍城的三角形的面積是S=展開并化簡(jiǎn)得E(EG)=G(EG),而EG0，消去EG得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9．設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。 ……②將①代入②則得 ER 2FQ + GP = 0 .8. 則=，+=……①又根據(jù)二方向垂直的條件知E,y =的交角.解 曲面的向量表示為={x,y,axy}, 坐標(biāo)曲線x = x的向量表示為={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐標(biāo)曲線y =的向量表示為={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos曲線u + v
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