概率論-事件發(fā)生的可能性-文庫(kù)吧資料
2025-02-27 21:33本頁(yè)面
【正文】 射擊，中靶的概率是多少？ (2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校 正的概率。 定理 1 (全概率公式 )若事件 A1,A2,… 構(gòu)成一個(gè)完備事件組 并且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)事件 B,有 iiiP B P A P B A? ?( ) ( ) ( | )證： A1,A2,… 兩兩互斥，故 A1B,A2B,… 兩兩互斥 BB??且iiBA()? ? iiAB?＝由加法法則 iiP B P A B( ) ( )? ?再由乘法法則 i i iP A B P A P B A( ) ( ) ( | )?iiiP B P A P B A( ) ( ) ( | )? ?故定理 2 (貝葉斯公式 )若事件 A1,A2,… 構(gòu)成一個(gè)完備事件組， 且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)概率不為零的事件 B,有 mmmiiiP A P B AP A | BP A P B A? ?( ) ( | )()( ) ( | )mmP A BP A BPB＝證 ：()( | )()mmiiiP A P B AP A P B A( ) ( | )( ) ( | )?＝各原因下條件概率已知 求事件發(fā)生概率 求是某種原因造成得概率 事件已發(fā)生 全概率 貝葉斯 例 2 設(shè) 5支槍中有 2支未經(jīng)試射校正， 3支已校正。 P(B)=P(AB+āB) =P(AB)+P(āB) =P(A)P(B|A)+P(ā)P(B|ā) = + = P A BP A BPB()( | )()?P A P B AP A P B A P A P B A( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )? ?0 7 0 9 50 7 0 9 5 0 3 0 8... . . .??? ? ?0 735.?例 1 市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占 70％，乙廠占 30％，甲廠產(chǎn)品的合格率是 95％，乙廠的合格率是 80％ 若用事件 A， ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品， B表示產(chǎn)品 為合格品。 a + b 1P ( A |B )b?求 證 ：P A BP A BPB?證 ：()( | )()P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?由 于P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?故又因 P(A+B)≤1 P A B P A P B P A BP A BP B P B( ) ( ) ( ) ( )( | )( ) ( )? ? ???P A P B 1 a b 1P B b( ) ( )()? ? ? ???例 8 設(shè) A,B為兩個(gè)事件，且 P(A)=a0,P(B)=b0 例 : P62 例 2 167。 錯(cuò)解： 在另 9個(gè)產(chǎn)品中 (含 3個(gè)廢品 )取到廢品的概率 31P 93??正解： 用 A表示第一件是廢品， B表示第二件是廢品 已知有一個(gè)是廢品，即表示至少有一個(gè)廢品，就是 A+B 若另一個(gè)也是廢品，則兩個(gè)都是廢品即 AB 因 (A+B)AB=AB 262102P A B 1 P A B 13CC( ) ( )? ? ? ? ? ? ?且4 3 2P A B P A P B A1 0 9 1 5( ) ( ) ( | )? ? ? ?P A B A B 122P A B A B1 5 3P A B 5(( ) )( | ( ))()?? ? ? ??故例 7 10件產(chǎn)品中有 4件廢品，任取兩件。 解： 設(shè) A表示第一件合格， B表示第二件合格。 4PA10()?25?P A B P A P B A( ) ( ) ( | )? 4310 9?? 215?P A B P A P B A( ) ( ) ( | )? 6410 9?? 415?P A B C P A P B A P C A B( ) ( ) ( | ) ( | )?4 3 21 0 9 8? ? ?130?例 5 10個(gè)考簽中有 4個(gè)難簽， 3人參加抽簽 (不放回 )， 甲先，乙次，丙最后。 例 4 在例 1中求從市場(chǎng)上買(mǎi)一臺(tái)電風(fēng)扇是甲廠生產(chǎn) 的合格品的概率以及是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率。試寫(xiě)出 P A P B P C P B A P A B P A B P C A P A B P A C( ) , ( ) , ( ) , ( | ) , ( | ) , ( ) , ( | ) , ( | ) , ( )解： 由題設(shè) 80PA100() ?＝ 20PB100() ?= = 40PC 100() ? 12P B A 80( | ) ? ＝ 12P A B20( | ) ?= 12P A B 100() ?= 32P C A80( | ) ?= 12P A B80( | ) ?= 32P A C100() ?= 在例 3中可以觀察到 P A B P A BP B A P A BP A P B( ) ( )( | ) , ( | )( ) ( )??它是條件概率的計(jì)算公式。 若用事件 A,ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品， B表示產(chǎn)品為 合格品，試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率。 例 1 有 100件產(chǎn)品，其中有 5件是不合格品，包括 3件次品與 2件廢品，任取一件，求 定義 1 在事件 B已發(fā)生的條件下，事件 A發(fā)生的概率， 稱(chēng)為事件 A在給定 B下的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為 A對(duì) B的條 件概率，記作 P(A|B) 例 2 市場(chǎng)上供應(yīng)的電風(fēng)扇中，甲廠產(chǎn)品占 70％，乙廠占 30％。 解 ： (1)取到廢品用 A表示 2P A 0 0 2100( ) .??(2)基本事件總數(shù)為 5 2P A 0 45( ) .??一般設(shè) P(B)0。 5 條件概率與乘法規(guī)則 (1)取到廢品的概率。 基本事件總數(shù)為 365n A的基本事件數(shù)不易確定。 (2)不能被 6或 8整除的概率。 81 P A B200( ) ( ) ?2 P A B 1 P A B( ) ( ) ( )? ? ? ?1 P A P B P A B( ) ( ) ( )? ? ? ?3 3 2 5 812 0 0 2 0 0 2 0 0? ? ? ?34＝例 6 從 1到 200中任取一數(shù)。 解： 甲盒成分不變，包括兩種情況 從甲盒中取出紅球，從乙盒中也取出紅球 ,記為 A 從甲盒中取出白球，從乙盒中也取出白球 ,記為 B A與 B互斥 基本事件總數(shù)為 3 4＝ 12 A的基本事件數(shù) 2 2＝ 4 B的基本事件數(shù) 1 3=3 437P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = + =1 2 1 2 1 2解： A表示能被 6整除。從甲盒中取一球放入乙盒，再?gòu)囊液? 中取一球放入甲盒。 (3)三張中至多有兩張同號(hào)的概率。 求 (1)三張?zhí)柎a不同的概率。 i＝ 0， 2， 3 0 31 3 1 2 1 1 1 3 21 P A1 3 1 6 9( ) ( )????1 2 3 0A A A A? ? ?考 慮 到1 2 3 0P A A A P A( ) ( )? ? ? 01 P A()??3463501 CC?? 221980?例 4 現(xiàn)有黑桃自 A至 K的 13牌。 解： 用 Ai表示取到 i個(gè)廢品。從中一次取出 3個(gè)，求至少有兩個(gè)是白 球的概率。 這是因?yàn)橛蓤D A B P(A+B+C) =P(A+B)+P(C)P((A+B)C) =P(A)+P(B)P(AB)+P(C)P(AC+BC) =P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) 其中要注意 (AC)(BC)=ABC 類(lèi)似地，可以證明 P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) P(A1A2)P(A1A3)P(A1A4)P(A2A3)P(A2A4)P(A3A4) +P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4) P(A1A2A3A4) 解： 分別用 A2與 A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球。 可見(jiàn)，只需 P(AB)=0加法法則就成立。 (1)如果 n個(gè)事件 A1,A2,…,A n兩兩互斥，則 P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (2)若 A1,A2,…,A n構(gòu)成一個(gè)完備事件組，它們的概率和為 P(A1)+P(A2)+…+P(A n)=1 特別地，對(duì)立事件的概率之和為 1。 規(guī)定一、二等品為合格品。 4 概率的加法法則 解： A、 B分別表示一、二等品， A+B表示產(chǎn)品合格 63P A P B1 0 1 0( ) ( )??6 3 9P A B1 0 1 0()?? ? ?故 P(A+B)=P(A)+P(B) 可以推廣為一般的加法法則： 若 A與 B互斥，則 P(A+B)=P(A)+P(B) 可以得到一些重要的推廣。 則基本事件總數(shù)是 8 8， A的事件數(shù)為 6 6 55P
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