【正文】 10243423m ax32153214321321?jxxxxxxxxxxxxxxxZj在第一 、 三約束方程中加入人工變量 x x7后 ， 第一階段問題為 ?????????????????????????7,2,1,0122102434m i n732153216432176?jxxxxxxxxxxxxxxxxwj用單純形法求解，得到第一階段問題的計算表如下： Cj 0 0 0 0 0 1 1 b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 0 1 x6 x5 x7 － 4 1 2 3 － 1 － 2 1 2 [1] － 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 10 1→ λj 2 － 1 － 2↑ 1 0 0 0 1 0 0 x6 x5 x3 － 6 － 3 2 [5] 3 － 2 0 0 1 － 1 0 0 0 1 0 1 0 0 3→ 8 1 λj 6 － 5↑ 0 1 0 0 0 0 0 x2 x5 x3 － 6/5 3/5 － 2/5 1 0 0 0 0 1 － 1/5 3/5 － 2/5 0 1 0 3/5 31/5 11/5 λj 0 0 0 0 0 最優(yōu)解為 最優(yōu)值 w=0。 第二階段 ，單純形法求解原問題 第一階段計算得到的最終單純形表中除去人工變量，將目標(biāo)函數(shù)行的系數(shù)，換成原問題的目標(biāo)函數(shù)后，作為第二階段計算的初始表，繼續(xù)求解。也就是，給原問題加入人工變量，構(gòu)造僅含人工變量的目標(biāo)函數(shù)，并要求最小化。 【 例 7】 用大 M法解 下列線性規(guī)劃 ???????????????????????012210243423m a x321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、線性規(guī)劃求解的大 M法舉例 【 解 】 首先將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式 ????????????????????????5,2,1,012210243423m a x32153214321321?jxxxxxxxxxxxxxxxZj式中 x4為剩余變量 ， x5為松弛變量 ， x5可作為一個基變量 ， 第一 、三約束中分別加入人工變量 xx7， 目標(biāo)函數(shù)中加入 ―M x6―M x7一項 ， 得到人工變量單純形法數(shù)學(xué)模型 用前面介紹的單純形法求解，見下表。 線性規(guī)劃求解的大 M法 線性規(guī)劃求解的大 M法 max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n M ( x n + 1 + … + x n + m ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + x n + 1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + x n + 2 = b 2 … … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + x n + m = b m x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 … , x n + m ≥ 0 ?由于人工變量對目標(biāo)函數(shù)有很大的負(fù)影響，單純形法的尋優(yōu)機制會自動將人工變量趕到基外，從而找到原問題的一個可行基。如果在最終單純形表中還存在 非零的人工變量 ，這表示無可行解。 線性規(guī)劃求解的人工變量法 對于如下線性規(guī)劃問題 m a x z =c1 x1+ c2 x2+ …+ cn xn a11 x1+ a12 x2+ …+ a1nxn = b1 a21 x1+ a22 x2+ …+ a2nxn = b2 … … am1 x1+ am2 x2+ …+ amnxn = bm x1, x2,…, xn ≥ 0 線性規(guī)劃求解的人工變量法 分別對每個約束方程中加入一個人工變量 x n + 1 … , x n + m 得到 m a x z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + x n + 1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + x n + 2 = b 2 … … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + x n + m = b m x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 … , x n + m ≥ 0 由于單位陣可以作為基陣，因此，可選加入的人工變量為基變量。 （ 5 ） 計算新的基矩陣的逆矩陣11?B ，求出bB 11? ，重復(fù)（ 2 ）至（ 5 ）。 （ 3 ） 根據(jù)? ? kjjj??? ?? 0|m ax ，所對應(yīng)的非基變量kX 為換入變量，計算kPB1? ，若01 ?? kPB 那問題無解，停止計算，否則進(jìn)行下一步。 單純形法計算的矩陣描述 基于矩陣描述單純形法求解線性規(guī)劃問題的一般計算步驟為： （ 1 ） 根據(jù)給出的線性規(guī)劃問題，在加入松馳變量或人工變量后，得到初始基變量，求初始基矩陣 B 的逆陣 1?B 。 j，迭代后為P j ，則有P jBP 39。 單純形法計算的矩陣描述 非基變量 基變量 BX NX SX X S0 B N I b zc jj ? C B C N 0 當(dāng)?shù)舾刹胶?，基變量為X B 時，該步的單純形中由X B 系數(shù)組成的矩陣為 I ，這時對應(yīng)X S 的系數(shù)矩陣在新表中應(yīng)為B 1? 。 【 例 6】 求解線性規(guī)劃 21 42m a x xxZ ?????????????????0,21024221212121xxxxxxxx【 解 】 :化為標(biāo)準(zhǔn)型后用單純形法計算如下表所示 XB x1 x2 x3 x4 x5 b θ (1) x3 x4 x5 － 1 1 1 [2] 2 － 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4→ 10 2 2 5 — λj 2 4↑ 0 0 0 (2) x2 x4 x5 － 1/2 [2] 1/2 1 0 0 1/2 － 1 1/2 0 1 0 0 0 1 2 6→ 4 — 3 8 λj 4↑ 0 － 2 0 0 (3) x2 x1 x5 0 1 0 1 0 0 1/4 － 1/2 [3/4] 1/4 1/2 － 1/4 0 0 1 7/2 3 5/2→ 14 — 10/3 λj 0 0 0↑ － 2 0 (4) x2 x1 x3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1/3 1/3 － 1/3 － 1/3 2/3 4/3 8/3 14/3 10/3 λj 0 0 0 － 2 0 表 (3)中 λj全部非正 ,則最優(yōu)解為 : 20,)25,0,0,27,3()1( ?? ZX T 表 (3)表明 ,非基變量 x3的檢驗數(shù) λ3=0, 使 x3作為換入變量 ， x5為換入變量繼續(xù)迭代 ,得到表 (4)的另一 基本最優(yōu)解 X(1),X(2)是線性規(guī)劃的兩個最優(yōu)解 ， 它的凸組合 20,),0,0,310,38,314)2( ?? ZX T（)10()1( )2()1( ????? ??? XXX 仍是最優(yōu)解 ， 從而原線性規(guī)劃 有多重最優(yōu)解 。 無界解的判斷 : 某個 且 aij≤０（ i=1， 2,…,m ）則線性規(guī)劃具有無界解 0j? ?【 例 4】 用單純形法求解 ????????????02053115232321321321xxxxxxxxx、321 2m a x xxxZ ???Cj 1 2 1 0 0 b θ CB XB x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 2 － 3 2 1 0 15 0 x5 1/3 1 5 0 1 20 λj 1 2 1 0 0 0 x4 2 x2 λj 1 x1 2 x2 λj 表 1－ 5 1/3 1 5 0 1 20 3 0 17 1 3 75 1/3 0 － 9 0 － 2 M 20 25 60 1 0 17/3 1/3 1