【正文】 方程組可以得到，進(jìn)而，對(duì)該微分方程組的任一解，因此，因此平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。平衡點(diǎn)在對(duì)一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是（漸近）穩(wěn)定的，若對(duì)該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解，均有。稱點(diǎn)為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，若。 微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介一． 基本概念考慮維空間中的向量值函數(shù)，當(dāng)、時(shí)我們可以將之想象為平面或空間中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線，它描述質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置。四． 混合作戰(zhàn)模型（思考題）最后，直接給出一個(gè)混合作戰(zhàn)模型：讀者試著理解其意義，并通過求解給出甲方取勝的條件。從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于游擊作戰(zhàn)部隊(duì)的綜合戰(zhàn)斗力的評(píng)價(jià)函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評(píng)價(jià)函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、炮彈的有效殺傷范圍的面積、部隊(duì)的有效活動(dòng)區(qū)域的面積、士兵數(shù)四者均服從正比例關(guān)系，這樣在四個(gè)要素中只要有條件使其中的一個(gè)提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時(shí)，它們均可以帶來部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力成倍的提升，即沒有像在正規(guī)作戰(zhàn)模型中所表現(xiàn)出的差別。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率不光與對(duì)方的兵力有關(guān)，同樣設(shè)為是正比關(guān)系；而且與自己一方的士兵數(shù)有關(guān)，這主要是由于其活動(dòng)空間的限制所引起的，士兵數(shù)越多，其分布密度會(huì)越大，顯然二者服從正比例關(guān)系，這樣對(duì)方投來的一枚炮彈的平均殺傷力（期望值）也會(huì)服從正比例關(guān)系增加；3． 若以、分別表示甲乙雙方的有效活動(dòng)區(qū)域的面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵的射擊率，、主要取決于部隊(duì)的武器裝備的性能和貯備；、也取決于士兵的個(gè)人素質(zhì)。因此，正規(guī)作戰(zhàn)模型又被稱為平方率模型。模型建立：根據(jù)模型假設(shè)，得正規(guī)作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型：模型求解：從模型方程得到，進(jìn)而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率僅與對(duì)方的兵力有關(guān)，簡(jiǎn)單的設(shè)為是正比關(guān)系，以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵在單位時(shí)間的殺傷力。以下分正規(guī)戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)來討論。在整個(gè)戰(zhàn)爭(zhēng)期間，雙方的兵力在不斷發(fā)生變化，而影響兵力變化主要有如下三個(gè)因素：1． 戰(zhàn)斗減員率，它取決于雙方的兵力，不妨以、分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率；2． 非戰(zhàn)斗減員率，比方由于疾病或逃跑等因素導(dǎo)致一個(gè)部隊(duì)減員，它通?？杀辉O(shè)與本方的兵力成正比，比例系數(shù)分別對(duì)應(yīng)甲乙雙方；3． 增援率，它通常取決于一個(gè)已投入戰(zhàn)爭(zhēng)部隊(duì)以外的因素，甲乙雙方的增援率函數(shù)分別以表示。本節(jié)介紹幾個(gè)作戰(zhàn)模型，導(dǎo)出評(píng)估一個(gè)部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力的一些方法，以預(yù)測(cè)一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)的大致結(jié)局。四． 點(diǎn)評(píng)本例是在作了相當(dāng)程度的簡(jiǎn)化假設(shè)下考慮了核武器競(jìng)賽問題，我們很難期望模型能對(duì)所考慮問題給出比較樂觀的指導(dǎo)意義，但其整個(gè)建模過程卻對(duì)我們有很大的啟發(fā)：1． 定性分析與定量分析：在對(duì)一個(gè)應(yīng)用問題分析，通常包括定性分析與定量分析這樣兩個(gè)有機(jī)統(tǒng)一的環(huán)節(jié)，定性分析是數(shù)學(xué)建模的初級(jí)階段，在這一環(huán)節(jié)著力解決2． 隨機(jī)性模型：3． 建模的最終目的在于應(yīng)用：167。這一結(jié)果與我們對(duì)當(dāng)前國(guó)際上一些有核國(guó)家在發(fā)展核武器的現(xiàn)狀有一定距離，考察本模型，應(yīng)當(dāng)注意的是在第二條模型假設(shè)中提到的“安全概念”，事實(shí)上，一個(gè)和平國(guó)家在發(fā)展核武器時(shí)所遵循的原則是在遭到強(qiáng)大敵國(guó)的全面入侵，核武器應(yīng)當(dāng)作為一種先發(fā)性威懾力量而進(jìn)行有效阻止——而不應(yīng)當(dāng)作為一種后發(fā)性的在已遭到毀滅性打擊后的純粹報(bào)復(fù)行為。三． 模型分析通過定量分析模型得到的結(jié)果表明，核武器競(jìng)賽是不容樂觀的，要么不存在穩(wěn)定區(qū)域，要么穩(wěn)定區(qū)域是一有界區(qū)域。但實(shí)際當(dāng)中應(yīng)當(dāng)是哪一種呢？定量分析模型：在前述模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，不難得到：，即、分別為甲乙雙方的安全曲線，而上面附圖的后三幅給出的三種可能的典型情形，顯然第四幅表示與兩者至少有一個(gè)滿足時(shí)方可出現(xiàn)。問：是否為空集？若為空集，即說明核軍備競(jìng)賽是沒有盡頭的，其終究構(gòu)成人類持久和平愿望的最大威脅。顯然，、均應(yīng)當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)。二． 模型建立定性分析模型：應(yīng)當(dāng)存在二函數(shù)、分別表示當(dāng)甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目為、時(shí)，對(duì)方在遵照模型假設(shè)中所給出的有關(guān)“國(guó)家安全”概念，乙方、甲方所應(yīng)擁有最少的核武器數(shù)目。 核武器競(jìng)賽問題：甲乙雙方（兩國(guó)），均將對(duì)方視為假想敵，在某種“國(guó)家安全”的定義下發(fā)展核武器，展開核軍備競(jìng)賽。借助線性代數(shù)的特征值理論, 同樣可以給出完全消耗系數(shù)的存在性定理的證明, 然而作為對(duì)一個(gè)很典型的經(jīng)濟(jì)問題的研究, 該論證方式對(duì)模型內(nèi)在的經(jīng)濟(jì)意義揭示很少,而本文的論證過程充分利用了投入產(chǎn)出表的特點(diǎn),其過程非常簡(jiǎn)明,避免了一些相當(dāng)專業(yè)化的理論，這也部分揭示了多數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題具有許多好的性質(zhì)。四． 點(diǎn)評(píng)以下是一張簡(jiǎn)單的投入產(chǎn)出表（外購原料部分略）, 它是投入產(chǎn)出分析模型應(yīng)用的基礎(chǔ)：中 間 產(chǎn) 出最終產(chǎn)出總產(chǎn)出12…n合計(jì)中間投入1…2………………………n…假定一個(gè)企業(yè)或經(jīng)濟(jì)部門生產(chǎn)n種產(chǎn)品, 這n種產(chǎn)品又在生產(chǎn)中同時(shí)又被作為原料, 該投入產(chǎn)出表反映這一產(chǎn)業(yè)在某一生產(chǎn)周期內(nèi)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果: 表示第i種產(chǎn)品在生產(chǎn)第j種產(chǎn)品時(shí)作為原料企業(yè)自己消耗的數(shù)量, 表示在該周期中企業(yè)自己消耗第i種產(chǎn)品的數(shù)量, 則表示作為投放市場(chǎng)的最終產(chǎn)出部分, 則表示第i種產(chǎn)品的總產(chǎn)量.表示生產(chǎn)每單位第j種產(chǎn)品消耗掉第i種產(chǎn)品的數(shù)量, 即直接消耗系數(shù),直接消耗系數(shù)矩陣反映了一個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)工藝.而由此得到的直接消耗系數(shù)矩陣，通常自然地滿足完全消耗系數(shù)的存在性定理的題設(shè)條件。定理：對(duì)于方陣，若1） （此時(shí)稱矩陣非負(fù)，記為）；2） 、（此時(shí)稱向量非負(fù)，記為），使得則：矩陣可逆，且。特別當(dāng)各種外購原料的單位價(jià)格已知的情況下，還可以算出各種產(chǎn)品的理論成本。顯然，模型中所涉及的變量所服從的關(guān)系是線性的，稱之為線性投入產(chǎn)出模型。一． 模型假設(shè)考慮一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，按照產(chǎn)品來劃分其組成部門：1． 種自產(chǎn)產(chǎn)品，種外購原料，其中自產(chǎn)產(chǎn)品有一部分是供應(yīng)市場(chǎng)需求的，也有一部分是在生產(chǎn)其它產(chǎn)品時(shí)作為原料而被中間消耗；2． 每一種產(chǎn)品的生產(chǎn)均有穩(wěn)定的技術(shù)條件：、分別表示生產(chǎn)單位第種產(chǎn)品需要消耗的第種自產(chǎn)產(chǎn)品、第種外購原料的量，分別稱之為對(duì)自產(chǎn)產(chǎn)品、外購原料的直接消耗系數(shù)，它們均為常數(shù)，與產(chǎn)品的產(chǎn)量無關(guān)；3． 、分別表示在某一時(shí)期自產(chǎn)產(chǎn)品的總產(chǎn)（向）量、最終產(chǎn)出（供應(yīng)市場(chǎng)需求的）（向）量、對(duì)自產(chǎn)產(chǎn)品的直接消耗（向）量，以及對(duì)外購原料的直接消耗（向）量。列昂剔夫在20世紀(jì)30年代初提出的，迄今已發(fā)展為一個(gè)內(nèi)容相當(dāng)豐富并有著廣泛應(yīng)用的方法體系。特別對(duì)于一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，其部門數(shù)、原料與產(chǎn)品種類通常都比較多，且不同部門不同產(chǎn)品的間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系非常緊密，生產(chǎn)計(jì)劃、產(chǎn)品價(jià)格的科學(xué)制定，原材料的順利采購等均直接關(guān)系企業(yè)的效益。 投入產(chǎn)出分析模型問題：大到國(guó)家甚至整個(gè)國(guó)際社會(huì)，小到一家企業(yè)，我們均可以將其視為一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系來加以考察。四． 點(diǎn)評(píng)這里并不打算討論Shapley值的推導(dǎo)和給出過程,而是試圖對(duì)其結(jié)果作一些后驗(yàn)的分析,發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果完全可以避開構(gòu)造和求解方程組,而只作一些適當(dāng)?shù)睦硇运伎季涂山o出.事實(shí)上,在利益分配中容易出現(xiàn)矛盾通常是因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)分配規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量,當(dāng)你面對(duì)大自然時(shí),你只能適應(yīng),很少表現(xiàn)不滿.為此,每個(gè)人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然隨機(jī)呈現(xiàn)在你面前的一次機(jī)會(huì),其中, 則可表示出現(xiàn)在 面前可供其選擇的合作機(jī)會(huì),若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應(yīng)相當(dāng)滿意.然而這種39。該公理表示當(dāng)同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)合作時(shí)，而各成員所分得的報(bào)酬應(yīng)等于兩項(xiàng)合作分別分配的收益之和。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關(guān)，而與他被賦予的記號(hào)無關(guān)；5） 有效性：若某成員，對(duì)均有，則；另外。三． 模型求解——Shapley值：許多類似的問題的解答，合理性有賴于特定的價(jià)值體系。以表示對(duì)應(yīng)合作收益的一個(gè)合作對(duì)策的分配算法，表示第個(gè)人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。二． 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，合作收益是集合的冪集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足： 3） ；4） 對(duì)任意，均有。 多人合作分益模型與公理化方法建模問題：設(shè)想n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng), 對(duì)于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會(huì)得到一定的效益, 當(dāng)人們之間的利益是非對(duì)抗性的, 合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少, 這樣, 全體n個(gè)人的合作將帶來最大效益. n個(gè)人組成的集合及各種可能合作的效益就構(gòu)成n人合作對(duì)策, 而一個(gè)重要的問題是如何將合作收益合理的分配給每個(gè)人, Shapley L. ——Shapley值.一． 模型假設(shè)3． 個(gè)人或合作主體地位平等，其利益非對(duì)抗；4． 對(duì)于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。四． 點(diǎn)評(píng)這里并不打算討論Shapley值的推導(dǎo)和給出過程,而是試圖對(duì)其結(jié)果作一些后驗(yàn)的分析,發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果完全可以避開構(gòu)造和求解方程組,而只作一些適當(dāng)?shù)睦硇运伎季涂山o出.事實(shí)上,在利益分配中容易出現(xiàn)矛盾通常是因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)分配規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量,當(dāng)你面對(duì)大自然時(shí),你只能適應(yīng),很少表現(xiàn)不滿.為此,每個(gè)人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然隨機(jī)呈現(xiàn)在你面前的一次機(jī)會(huì),其中, 則可表示出現(xiàn)在 面前可供其選擇的合作機(jī)會(huì),若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應(yīng)相當(dāng)滿意.然而這種39。該公理表示當(dāng)同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)合作時(shí)，而各成員所分得的報(bào)酬應(yīng)等于兩項(xiàng)合作分別分配的收益之和。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關(guān)，而與他被賦予的記號(hào)無關(guān)；2） 有效性：若某成員，對(duì)均有，則；另外。三． 模型求解——Shapley值：許多類似的問題的解答，合理性有賴于特定的價(jià)值體系。以表示對(duì)應(yīng)合作收益的一個(gè)合作對(duì)策的分配算法，表示第個(gè)人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。二． 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，合作收益是集合的冪集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足： 1） ；2） 對(duì)任意，均有。 多人合作分益模型與公理化方法建模問題：設(shè)想n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng), 對(duì)于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會(huì)得到一定的效益, 當(dāng)人們之間的利益是非對(duì)抗性的, 合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少, 這樣, 全體n個(gè)人的合作將帶來最大效益. n個(gè)人組成的集合及各種可能合作的效益就構(gòu)成n人合作對(duì)策, 而一個(gè)重要的問題是如何將合作收益合理的分配給每個(gè)人, Shapley L. ——Shapley值.一． 模型假設(shè)1． 個(gè)人或合作主體地位平等，其利益非對(duì)抗；2． 對(duì)于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。事實(shí)上，對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)條件的討論，后來學(xué)者的研究工作對(duì)生產(chǎn)值（量）的影響因素已不局限于只對(duì)生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力兩個(gè)量的考慮，而是將像對(duì)科技進(jìn)步、對(duì)教育的投入等比較重要的量作為獨(dú)立的生產(chǎn)要素加以討論，所用模型是對(duì)CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)的擴(kuò)展，而上述量綱齊次原則被先驗(yàn)地利用起來。若用財(cái)富的單位來統(tǒng)一考察生產(chǎn)量、生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力等三個(gè)量，生產(chǎn)函數(shù)的形式符合量綱齊次原則。這樣，我們通常首先得到的是我們所關(guān)心的變量的一些微分方程（組）或積分方程（組），然后通過解析的或數(shù)值的方法給出具體的解，這樣的例子可參考幾個(gè)人口增長(zhǎng)模型的建立。統(tǒng)計(jì)分析方法是一類重要的數(shù)學(xué)建模途徑：首先對(duì)一些變量或他們的導(dǎo)出變量之間的關(guān)系，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作定性的分析判斷，比方文中提及的借助對(duì)一些變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的直觀表現(xiàn)作定性分析，然后在用數(shù)據(jù)擬合等方法給出相應(yīng)變量間的具體函數(shù)依賴關(guān)系。因此，就這一具體經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模式，其恒取正值的充分必要條件為，其經(jīng)濟(jì)意義為：只要在初始時(shí)，對(duì)生產(chǎn)資料的相對(duì)增長(zhǎng)率大于勞動(dòng)力的相對(duì)增長(zhǎng)率，就能保證勞動(dòng)生產(chǎn)率的不斷增長(zhǎng)，反之，勞動(dòng)生產(chǎn)率只會(huì)不斷降低。將代入，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后對(duì)求導(dǎo)，可得：令之恒取正值，得等價(jià)條件：恒成立，即對(duì)生產(chǎn)資料投入的相對(duì)增長(zhǎng)率恒大于勞動(dòng)力的相對(duì)增長(zhǎng)率。附表：美國(guó)馬薩諸塞州1890~1926年數(shù)據(jù)94178518761967205821492231023211241122501326114272153162． 勞動(dòng)生產(chǎn)率增長(zhǎng)的條件：根據(jù)模型假設(shè)，勞動(dòng)生產(chǎn)率，其持續(xù)增長(zhǎng)的條件應(yīng)為恒成立。由此不難得到，即生產(chǎn)量、生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力三者的相對(duì)增長(zhǎng)率服從簡(jiǎn)單的線性規(guī)律。當(dāng)然常數(shù)取值通常和相應(yīng)地區(qū)或國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展階段以及主要產(chǎn)業(yè)類型等因素有關(guān)。定性分析，關(guān)于均單調(diào)增，即二． 模型建立與求解1． 道格拉斯（Douglas）生產(chǎn)函數(shù)在附表中美國(guó)馬薩諸塞州1890~1926年生產(chǎn)資料指數(shù)、勞動(dòng)力指數(shù)與總產(chǎn)量指數(shù)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，