高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法三微元法-文庫(kù)吧資料
2025-01-20 09:43本頁(yè)面
【正文】 找它們之間的速度關(guān)系。如圖3—10所示，過(guò)切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P 、Q兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為α ，當(dāng)α有微小增量時(shí)，則大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元：ΔL1 = R2Δα ，ΔL2 = r2Δα其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為：Δm1 = ρ1Δl1 =ρ1R2Δα ，Δm2 = ρ2Δl2 =ρ2r2Δα由于Δα很小，故Δm1 、Δm2與m的距離可以認(rèn)為分別是：r1 = 2Rcosα ，r2 = 2rcosα所以Δm1 、Δm2與m的萬(wàn)有引力分別為：ΔF1 ==，ΔF2 ==由于α具有任意性，若ΔF1與ΔF2的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì)m的引力的合力也為零， 即：=解得大小圓環(huán)的線密度之比為：=例11：一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？解析：火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)，火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率。又因?yàn)?ΔL = RΔθ ，則繩所受法向支持力線密度為：n === ①以M 、m分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有：Mg－T = Ma ②T－mg = ma ③由②、③解得：T =將④式代入①式得：n =例10：粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切。因?yàn)楸P與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn)受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求解。設(shè)圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對(duì)繩的法向支持力線密度。所以在t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為：N = 2ρgx + ρgx = 3ρgx =例8：一根均勻柔軟的繩長(zhǎng)為L(zhǎng) ，質(zhì)量為m ，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長(zhǎng)短而變化，由此可用微元法求解。從t時(shí)刻起取很小一段時(shí)間Δt ，在Δt內(nèi)又有ΔM = ρΔx落到地面上靜止。設(shè)開(kāi)始下落的時(shí)刻t = 0 ，在t時(shí)刻落在地面上的鏈條長(zhǎng)為x ，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v ，并設(shè)鏈條的線密度為ρ 。由于各質(zhì)元原來(lái)的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同。如圖3—6所示，在圓環(huán)上取一小段ΔL ，對(duì)應(yīng)的圓心角為Δθ ，其質(zhì)量可表示為Δm =M ，受圓環(huán)對(duì)它的張力為T ，則同上例分析可得：2Tsin= Δmrω2因?yàn)棣う群苄?，所以：sin≈，即：2T=M rω2解得最大角速度：ω =例7：一根質(zhì)量為M ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來(lái)，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖3—7所示，求鏈條下落了長(zhǎng)度x時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析：在下落過(guò)程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力。tanθ = 1因此：T = Δmg =Mg ②將①、②聯(lián)立，有：Mg = FΔθ ，解得彈性繩圈的張力為：F =設(shè)彈性繩圈的伸長(zhǎng)量為x ，則：x =πR－πR = (－1) πR所以繩圈的勁度系數(shù)為：k ===例6：一質(zhì)量為M 、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r ，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度。先看俯視圖3—5—甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，Δm所對(duì)的圓心角是Δθ ，則每一小段的質(zhì)量：Δm =MΔm在該平面上受拉力F的作用，合力為：T = 2Fcos= 2Fsin因?yàn)楫?dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ ，所以：T = 2F= FΔθ ①再看正視圖3—5—乙，Δm受重力Δmg ，支持力N ，二力的合力與T平衡。選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系。在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為Δm作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。其中s1 、s2分別為全過(guò)程中人和船對(duì)地位移的大小，又因?yàn)椋篖 = s1 + s2 ⑥由⑤、⑥兩式得船的位移：s2 =L例5：半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長(zhǎng)為πR ，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k ，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖3—5所示，若平衡時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)為πR ，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k 。設(shè)人在走動(dòng)過(guò)程中的Δt時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的位移。即得：vB =vA（此題也可用對(duì)稱法求解。也可根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，用微元法求解。由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：Tθ + ΔTθ = ΔGcosθ + Tθ ，ΔTθ = ΔGcosθ = ρgΔLcosθ由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大ΔTθ ，所以整個(gè)鐵鏈對(duì)A端的拉
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