第四章數(shù)字特征-文庫吧資料
2024-10-25 11:49本頁面
【正文】 ????????????dd則上式 = 即 Dξ=1/2= 例 3 三、常用隨機(jī)變量的期望和方差 (一 )、 常用離散型隨機(jī)變量的期望和方差 兩點(diǎn)分布的期望和方差 設(shè)隨機(jī)變量 X具有 (01)分布 , 其分布律為 P{X=0}=1p, P{X=1}=p. 則 E(X)=0?(1p)+1?p=p, E(X2)=02?(1p)+12?p=p D(X)=E(X2)[E(X)]2=pp2=p(1p)=pq 二項(xiàng)分布的期望和方差 設(shè) X~b(n,p),由二項(xiàng)分布的定義知 , 隨機(jī)變量 X是 n重伯努利試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) , 且在每次試驗(yàn)中 A發(fā)生的概率為 p. 引入隨機(jī)變量 易知 X=X1+X2+...+Xn, (1) 由于 Xk只依賴于第 k次試驗(yàn) , 而各次試驗(yàn)相互獨(dú)立 , 于是X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立 . ,2,k,A 在第k 次試驗(yàn)不發(fā)生0,A 在第k 次試驗(yàn)發(fā)生,1,Xk ??????又知 Xk,k=1,2,...,n服從同一 (01)分布 : pp1p10Xkk?(1)式表明以 n,p為參數(shù)的二項(xiàng)分布變量 , 可分解為 n個(gè)相互獨(dú)立且都服從以 p為參數(shù)的 (01)分布的隨機(jī)變量之和 . 由 E(Xk)=p, D(Xk)=p(1p), k=1,2,...,n, 則 又由于 X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立 , 得 n p .)E ( XXEE ( X )n1kkn1kk ????????? ????p).n p ( 1)D(XXDD ( X )n1kkn1kk ?????????? ????即 E(X)=np, D(X)=np(1p) 泊松分布的期望和方差 設(shè) X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，其分布律為 ,0,1,2,k,k!eλk}P{Xλk??????λ,eλe1) !(kλλek!eλkE( X)λλ1k1kλ0kλk????????????????則 E(X2)=E[X(X1)+X]=E[X(X1)]+E(X) λ2)!(k λeλλk!eλ1)k(k2k2kλ20kλk?????? ?????????=l2e?lel+l=l2+ E(X)=l， D(X)=E(X2)?[E(X)]2=l (二 )、正態(tài)分布的期望和方差 設(shè) X~N(m,s 2), 求 E(X),D(X). 解 先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 sm?? XZ的數(shù)學(xué)期望和方差 , Z的概率密度為 0e2π1dtte2π1E( Z)于是,e2π1(t)|/2t/2t/2t222????????????????因 X=m+sZ, 即得 E(X)=E(m+
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