機械優(yōu)化設(shè)計課程設(shè)計-文庫吧資料
2025-01-18 05:45本頁面
【正文】 k x0k+1← xnk+α n+1kdn+1k α n+1k:minf(xnk+α dn+1k) α dik+1← di+1k(i=m,m+1,…,n) dik+1← di+1k(i=1,2,…,m－ 1) x*← x0k+1 結(jié)束 k← k+1 是 否 是 否 是 否 三、優(yōu)化設(shè)計實例 用鮑威爾法解決 二維問題 1）模型 f（ x） =4（ x1－ 5） 2+(x2－ 6)2 2） 變量 x x2 3）優(yōu)化設(shè)計源程序 include include include double objf(double x[]) {double ff。對于 2 次函數(shù)，最多不超過 n 次就可以找到極小點，而對于一般函數(shù)，往往要超過 n 次才能找到極小點（這里的“ n”表示設(shè)計空間的維數(shù)）。若滿足則取 x0k+1 為極小點，否則應(yīng)置 k← k+1，返回 2，繼續(xù)進(jìn)行下一輪迭代。下輪迭代的始點取為沿 dn+1k 方向進(jìn)行一維搜索的極小點 x0k+1。 若滿足上述判別條件，則下輪迭代應(yīng)對原方向組進(jìn)行替換，將 dn+1k補充到原方向組的最后位置，而除掉 dmk 。 記作 △ i=fi1fi(i=1,2,…,n) 其中最大者記為 △ m=max△ i= fm1fm 根據(jù)是否滿足判定條件 F3＜ F0 和 （ F02F2+F3）（ F0F2△ m） 2＜ △ m（ F0F3） 2 來確定是否要對原方向組進(jìn)行替換。始點、終點和反射點所對應(yīng)的函數(shù)值分別表示為 F0=f(x0k) F2=f(xnk) F3=f(xn+1k) 同時計算各中間點處的函數(shù)值，并記為 fi=f(xik)(i=0,1,2,…,n) 因此有 F0=f0， F2=fn 。因為 x2 相當(dāng)于從 x0 出發(fā)分別沿 G 的兩個共軛方向 d d2 進(jìn)行兩次一維搜索而得到的點，所以 x2 點即是二維問題的極小值點 x* 3)改進(jìn)算法的基本步驟如下 ： ①給定初始點 x0（記作 x00），選取初始方向組，它由 n 個線性無關(guān)的向量 d10,d20,…， dn0(如n 個坐標(biāo)軸單位向量 e1,e2,…,en)所組成，置 k← 0 。 從 x1 出發(fā)，順次沿 e d1 作一維搜索，得到點 x1 x21，兩點連線得一新方向 d2= x21－ x01 x0 x21 兩點是從不同點 x0、 x11 出發(fā)，分別沿 d1 方向進(jìn)行一維搜索而得的極小點，所以x0 x21 兩點連線的方向 d2 同 d1 一同對 G 共軛。 從 x0 出發(fā)，順次沿 e e 2 作一維搜索得點 x x20，兩點連線得一新方向 dl= x20－ x10 用 dl 代替 e1 形成兩個線性無關(guān)向量 e dl，作為下一輪迭代的搜索方向。 2） 基本算法 現(xiàn)在針對二維情況來描述鮑威爾的基本算法，如圖 417 所示。根據(jù)上述分析，則 A、 B 兩點的連線AB 就是與 x1 軸一起對 G 共軛的方向。那么這兩點的連線所給出的方向就是與一起對 G 共軛的方向。根據(jù)梯度和等值面相互垂直的特性， dj和 xk、 xk+1 兩點處的梯度 gg、 gg+1 之間存在關(guān)系 (dj)Tgk=0 (dj)Tgk+1=0 另一方面，對于上述二次函數(shù)，其 xk、 xk+1 兩點處的梯度可表示為 gk=Gxk+b gk+1=G xk+1+b 兩式相減得 gk+1－ gk=G（ xk+1－ xk） 因而有 (dj)T（ gk+1－ gk） =(dj)TG(xk+1－ xk)=0 若取方向 dk= xk+1－ xk,如圖 415 所示，則 dk和 dj 對 G 共軛。其基本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造 G 的共軛方向。 鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法。由 此可見，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設(shè)計方法的基本組成，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。 研究約束優(yōu)化問題的另一個原因是，通過熟悉它的解法可以為研究無約束優(yōu)化問題打下良好的基礎(chǔ)。 圖 37 （二）無約束優(yōu)化方法 前面所舉的機械優(yōu)化設(shè)計問題都是在一定的限制條件下追求某一指標(biāo)為最小，所以它們都屬于約束優(yōu)化問題。 5）如果條件滿足，則取最后 2 試驗點的平均值作為極小點的數(shù)值近似解。為了能用原來的坐標(biāo)點計算公式，需進(jìn)行區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計算一個新的試驗點及其函數(shù)值。 2）按坐標(biāo)點計算公式計算α 1 和α 2，并計算其對應(yīng)的函數(shù)值 f(α 1) ,f(α 2) 。可見黃金分割法能使得相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率，所以黃金分割法又稱為 法。＋λ－ 1＝ 0 取方程正數(shù)解，得 λ＝ (√ 5－ 1)／ 2≈ 若保留下來的區(qū)間為 [α 1, b],根據(jù)插入點的對稱性，也能推得同樣的 λ值。故有 1－λ＝λ178。為了保持相同的比例分布，新插入點α 3應(yīng)在λ﹙ 1－λ﹚位置上，α 1 在原區(qū)間的 1－λ位置應(yīng)相當(dāng)于在保留區(qū)間的λ 178
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